量子力学の様々な構成方法 第2部 第5章 §2.5.4 ★★★ 接合のエネルギー − E J cos ( 2 π Φ / Φ 0 ) -E_{\mathrm J}\cos(2\pi\Phi/\Phi_0) − E J cos ( 2 π Φ/ Φ 0 ) H ^ = 4 E C ( n ^ − n g ) 2 − E J cos φ ^ \hat H=4E_{\mathrm C}(\hat n-n_{\mathrm g})^2-E_{\mathrm J}\cos\hat\varphi H ^ = 4 E C ( n ^ − n g ) 2 − E J cos φ ^ E J ≫ E C E_{\mathrm J}\gg E_{\mathrm C} E J ≫ E C
Josephson の2つの関係
2枚の超伝導体を薄い絶縁膜で隔てた接合を考える。Josephson は、超伝導の秩序変数の位相の差 φ \varphi φ
I = I c sin φ , V = ℏ 2 e φ ˙ (2.5.15) I=I_{\mathrm c}\sin\varphi,\qquad V=\frac{\hbar}{2e}\dot\varphi\tag{2.5.15} I = I c sin φ , V = 2 e ℏ φ ˙ ( 2.5.15 )
で結ばれることを予言した（B. D. Josephson (1962), Phys. Lett. 1 , 251）。I c I_{\mathrm c} I c 2 e 2e 2 e (2.5.1) の V = Φ ˙ V=\dot\Phi V = Φ ˙
φ = 2 e ℏ Φ = 2 π Φ Φ 0 , Φ 0 = h 2 e = 2.068 × 10 − 15 W b (2.5.16) \varphi=\frac{2e}{\hbar}\Phi=2\pi\frac{\Phi}{\Phi_0},\qquad \Phi_0=\frac{h}{2e}=2.068\times10^{-15}\,\mathrm{Wb}\tag{2.5.16} φ = ℏ 2 e Φ = 2 π Φ 0 Φ , Φ 0 = 2 e h = 2.068 × 1 0 − 15 Wb ( 2.5.16 )
で結ばれる（定数の差は原点の選び方に吸収する）。Φ 0 \Phi_0 Φ 0
接合にたまるエネルギーは、電源が接合にした仕事 ∫ I V d t \int IV\,\mathrm{d} t ∫ I V d t
I V = I c sin φ ⋅ ℏ 2 e φ ˙ = d d t ( − E J cos φ ) , E J = ℏ I c 2 e = I c Φ 0 2 π (2.5.17) IV=I_{\mathrm c}\sin\varphi\cdot\frac{\hbar}{2e}\dot\varphi=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl(-E_{\mathrm J}\cos\varphi\Bigr),\qquad E_{\mathrm J}=\frac{\hbar I_{\mathrm c}}{2e}=\frac{I_{\mathrm c}\Phi_0}{2\pi}\tag{2.5.17} I V = I c sin φ ⋅ 2 e ℏ φ ˙ = d t d ( − E J cos φ ) , E J = 2 e ℏ I c = 2 π I c Φ 0 ( 2.5.17 )
だから、接合のポテンシャルは U J ( Φ ) = − E J cos ( 2 π Φ / Φ 0 ) U_{\mathrm J}(\Phi)=-E_{\mathrm J}\cos(2\pi\Phi/\Phi_0) U J ( Φ ) = − E J cos ( 2 π Φ/ Φ 0 ) φ \varphi φ U J ≈ − E J + Φ 2 / ( 2 L J ) U_{\mathrm J}\approx-E_{\mathrm J}+\Phi^2/(2L_{\mathrm J}) U J ≈ − E J + Φ 2 / ( 2 L J ) L J = ℏ / ( 2 e I c ) L_{\mathrm J}=\hbar/(2eI_{\mathrm c}) L J = ℏ/ ( 2 e I c ) L J L_{\mathrm J} L J φ \varphi φ
接合の Hamiltonian
図 2.5.1 (b) のように、接合と並列に静電容量 C C C C g C_{\mathrm g} C g V g V_{\mathrm g} V g
L = C 2 Φ ˙ 2 + C g 2 ( Φ ˙ − V g ) 2 + E J cos 2 π Φ Φ 0 L=\frac C2\dot\Phi^2+\frac{C_{\mathrm g}}{2}(\dot\Phi-V_{\mathrm g})^2+E_{\mathrm J}\cos\frac{2\pi\Phi}{\Phi_0} L = 2 C Φ ˙ 2 + 2 C g ( Φ ˙ − V g ) 2 + E J cos Φ 0 2 π Φ
で、運動量は Q = C Σ Φ ˙ − C g V g Q=C_\Sigma\dot\Phi-C_{\mathrm g}V_{\mathrm g} Q = C Σ Φ ˙ − C g V g C Σ = C + C g C_\Sigma=C+C_{\mathrm g} C Σ = C + C g H = ( Q + C g V g ) 2 / ( 2 C Σ ) − E J cos ( 2 π Φ / Φ 0 ) H=(Q+C_{\mathrm g}V_{\mathrm g})^2/(2C_\Sigma)-E_{\mathrm J}\cos(2\pi\Phi/\Phi_0) H = ( Q + C g V g ) 2 / ( 2 C Σ ) − E J cos ( 2 π Φ/ Φ 0 ) − C g V g 2 / 2 -C_{\mathrm g}V_{\mathrm g}^2/2 − C g V g 2 /2
H ^ = 4 E C ( n ^ − n g ) 2 − E J cos φ ^ , n ^ = Q ^ 2 e , φ ^ = 2 e ℏ Φ ^ , E C = e 2 2 C Σ , n g = − C g V g 2 e (2.5.18) \hat H=4E_{\mathrm C}(\hat n-n_{\mathrm g})^2-E_{\mathrm J}\cos\hat\varphi,\qquad
\hat n=\frac{\hat Q}{2e},\quad \hat\varphi=\frac{2e}{\hbar}\hat\Phi,\quad E_{\mathrm C}=\frac{e^2}{2C_\Sigma},\quad n_{\mathrm g}=-\frac{C_{\mathrm g}V_{\mathrm g}}{2e}\tag{2.5.18} H ^ = 4 E C ( n ^ − n g ) 2 − E J cos φ ^ , n ^ = 2 e Q ^ , φ ^ = ℏ 2 e Φ ^ , E C = 2 C Σ e 2 , n g = − 2 e C g V g ( 2.5.18 )
となる（4 E C n 2 = 4 e 2 n 2 / ( 2 C Σ ) = Q 2 / ( 2 C Σ ) 4E_{\mathrm C}n^2=4e^2n^2/(2C_\Sigma)=Q^2/(2C_\Sigma) 4 E C n 2 = 4 e 2 n 2 / ( 2 C Σ ) = Q 2 / ( 2 C Σ ) n g n_{\mathrm g} n g n g n_{\mathrm g} n g (2.5.6) は [ φ ^ , n ^ ] = ( 2 e / ℏ ) ( 1 / 2 e ) i ℏ = i \left[\hat\varphi,\,\hat n\right]=(2e/\hbar)(1/2e)\mathrm{i}\hbar=\mathrm{i} [ φ ^ , n ^ ] = ( 2 e /ℏ ) ( 1/2 e ) i ℏ = i E C E_{\mathrm C} E C n g n_{\mathrm g} n g
電荷は離散、位相は角度
島が接合と容量だけで外とつながっているとき、島の電荷が変わるのは接合を Cooper 対がトンネルするときだけである。そのため島の過剰な Cooper 対の数 n n n n ^ \hat n n ^ n ∈ Z n\in\mathbb{Z} n ∈ Z ∣ n ⟩ | n \rangle ∣ n ⟩ n ^ \hat n n ^ φ \varphi φ 2 π 2\pi 2 π φ \varphi φ φ + 2 π \varphi+2\pi φ + 2 π L ^ z \hat L_z L ^ z
このとき φ ^ \hat\varphi φ ^ e ± i φ ^ \mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\hat\varphi} e ± i φ ^
[ n ^ , e i φ ^ ] = e i φ ^ , e i φ ^ ∣ n ⟩ = ∣ n + 1 ⟩ , cos φ ^ = 1 2 ∑ n ∈ Z ( ∣ n + 1 ⟩ ⟨ n ∣ + ∣ n ⟩ ⟨ n + 1 ∣ ) (2.5.19) \left[\hat n,\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat\varphi}\right]=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat\varphi},\qquad \mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat\varphi}| n \rangle =| n+1 \rangle ,\qquad
\cos\hat\varphi=\frac12\sum_{n\in\mathbb{Z}}\bigl(| n+1 \rangle \langle n |+| n \rangle \langle n+1 |\bigr)\tag{2.5.19} [ n ^ , e i φ ^ ] = e i φ ^ , e i φ ^ ∣ n ⟩ = ∣ n + 1 ⟩ , cos φ ^ = 2 1 n ∈ Z ∑ ( ∣ n + 1 ⟩ ⟨ n ∣ + ∣ n ⟩ ⟨ n + 1∣ ) ( 2.5.19 )
と置き換わる。e i φ ^ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat\varphi} e i φ ^ − E J cos φ ^ -E_{\mathrm J}\cos\hat\varphi − E J cos φ ^ { ∣ n ⟩ } \{| n \rangle \} { ∣ n ⟩} (2.5.18) は3重対角行列
⟨ n ′ ∣ H ^ ∣ n ⟩ = 4 E C ( n − n g ) 2 δ n ′ n − E J 2 ( δ n ′ , n + 1 + δ n ′ , n − 1 ) (2.5.20) \langle n' | \hat H | n \rangle =4E_{\mathrm C}(n-n_{\mathrm g})^2\delta_{n'n}-\frac{E_{\mathrm J}}{2}\bigl(\delta_{n',n+1}+\delta_{n',n-1}\bigr)\tag{2.5.20} ⟨ n ′ ∣ H ^ ∣ n ⟩ = 4 E C ( n − n g ) 2 δ n ′ n − 2 E J ( δ n ′ , n + 1 + δ n ′ , n − 1 ) ( 2.5.20 )
になり、∣ n ∣ ≤ 40 \lvert n\rvert \le40 ∣ n ∣ ≤ 40
命題 2.5.1（n g n_{\mathrm g} n g
(2.5.18) の固有値 E m ( n g ) E_m(n_{\mathrm g}) E m ( n g ) n g n_{\mathrm g} n g E m ( n g + 1 ) = E m ( n g ) E_m(n_{\mathrm g}+1)=E_m(n_{\mathrm g}) E m ( n g + 1 ) = E m ( n g ) E m ( − n g ) = E m ( n g ) E_m(-n_{\mathrm g})=E_m(n_{\mathrm g}) E m ( − n g ) = E m ( n g )
証明 S ^ = e i φ ^ \hat S=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat\varphi} S ^ = e i φ ^ S ^ ∣ n ⟩ = ∣ n + 1 ⟩ \hat S| n \rangle =| n+1 \rangle S ^ ∣ n ⟩ = ∣ n + 1 ⟩ S ^ † n ^ S ^ = n ^ + 1 \hat S^\dagger\hat n\hat S=\hat n+1 S ^ † n ^ S ^ = n ^ + 1 S ^ † cos φ ^ S ^ = cos φ ^ \hat S^\dagger\cos\hat\varphi\,\hat S=\cos\hat\varphi S ^ † cos φ ^ S ^ = cos φ ^ S ^ † H ^ ( n g + 1 ) S ^ = 4 E C ( n ^ + 1 − n g − 1 ) 2 − E J cos φ ^ = H ^ ( n g ) \hat S^\dagger\hat H(n_{\mathrm g}+1)\hat S=4E_{\mathrm C}(\hat n+1-n_{\mathrm g}-1)^2-E_{\mathrm J}\cos\hat\varphi=\hat H(n_{\mathrm g}) S ^ † H ^ ( n g + 1 ) S ^ = 4 E C ( n ^ + 1 − n g − 1 ) 2 − E J cos φ ^ = H ^ ( n g ) P ^ ∣ n ⟩ = ∣ − n ⟩ \hat P| n \rangle =| -n \rangle P ^ ∣ n ⟩ = ∣ − n ⟩ P ^ \hat P P ^ P ^ n ^ P ^ = − n ^ \hat P\hat n\hat P=-\hat n P ^ n ^ P ^ = − n ^ P ^ cos φ ^ P ^ = cos φ ^ \hat P\cos\hat\varphi\hat P=\cos\hat\varphi P ^ cos φ ^ P ^ = cos φ ^ P ^ H ^ ( n g ) P ^ = H ^ ( − n g ) \hat P\hat H(n_{\mathrm g})\hat P=\hat H(-n_{\mathrm g}) P ^ H ^ ( n g ) P ^ = H ^ ( − n g )
2つの領域：Cooper 対の箱と transmon
比 E J / E C E_{\mathrm J}/E_{\mathrm C} E J / E C 2.5.2 ）。E J ≲ E C E_{\mathrm J}\lesssim E_{\mathrm C} E J ≲ E C n g n_{\mathrm g} n g ∣ n ⟩ | n \rangle ∣ n ⟩ et al. (1998), Phys. Scr. T76 , 165）。準位が n g n_{\mathrm g} n g
E J ≫ E C E_{\mathrm J}\gg E_{\mathrm C} E J ≫ E C − E J cos φ -E_{\mathrm J}\cos\varphi − E J cos φ φ = 0 \varphi=0 φ = 0 n g n_{\mathrm g} n g et al. (2007), Phys. Rev. A 76 , 042319）。
図 2.5.2 (2.5.18) の低い3準位の n g n_{\mathrm g} n g n g = 1 2 n_{\mathrm g}=\frac12 n g = 2 1 E 1 − E 0 E_1-E_0 E 1 − E 0 E J / E C = 1 E_{\mathrm J}/E_{\mathrm C}=1 E J / E C = 1 n g n_{\mathrm g} n g n g = ± 1 2 n_{\mathrm g}=\pm\frac12 n g = ± 2 1 m = 0 m=0 m = 0 1 1 1 E J E_{\mathrm J} E J E J / E C = 10 E_{\mathrm J}/E_{\mathrm C}=10 E J / E C = 10 m m m 2.5.1 ）。
transmon の準位：非調和な振動子
E J ≫ E C E_{\mathrm J}\gg E_{\mathrm C} E J ≫ E C φ \varphi φ cos φ = 1 − φ 2 / 2 + φ 4 / 24 − ⋯ \cos\varphi=1-\varphi^2/2+\varphi^4/24-\cdots cos φ = 1 − φ 2 /2 + φ 4 /24 − ⋯ φ \varphi φ H ^ ≈ − E J + 4 E C n ^ 2 + E J φ ^ 2 / 2 \hat H\approx-E_{\mathrm J}+4E_{\mathrm C}\hat n^2+E_{\mathrm J}\hat\varphi^2/2 H ^ ≈ − E J + 4 E C n ^ 2 + E J φ ^ 2 /2 1 / ( 8 E C ) 1/(8E_{\mathrm C}) 1/ ( 8 E C ) ℏ \hbar ℏ E J E_{\mathrm J} E J
ℏ ω p = 8 E J E C (2.5.21) \hbar\omega_{\mathrm p}=\sqrt{8E_{\mathrm J}E_{\mathrm C}}\tag{2.5.21} ℏ ω p = 8 E J E C ( 2.5.21 )
で、接合のプラズマ振動数と呼ぶ（ω p = 1 / L J C Σ \omega_{\mathrm p}=1/\sqrt{L_{\mathrm J}C_\Sigma} ω p = 1/ L J C Σ b ^ \hat b b ^ b ^ † \hat b^\dagger b ^ †
φ ^ = ( 2 E C E J ) 1 / 4 ( b ^ + b ^ † ) , n ^ = i 2 ( E J 2 E C ) 1 / 4 ( b ^ † − b ^ ) (2.5.22) \hat\varphi=\Bigl(\frac{2E_{\mathrm C}}{E_{\mathrm J}}\Bigr)^{1/4}(\hat b+\hat b^\dagger),\qquad
\hat n=\frac{\mathrm{i}}2\Bigl(\frac{E_{\mathrm J}}{2E_{\mathrm C}}\Bigr)^{1/4}(\hat b^\dagger-\hat b)\tag{2.5.22} φ ^ = ( E J 2 E C ) 1/4 ( b ^ + b ^ † ) , n ^ = 2 i ( 2 E C E J ) 1/4 ( b ^ † − b ^ ) ( 2.5.22 )
である（φ z p f n z p f = 1 2 \varphi_{\mathrm{zpf}}n_{\mathrm{zpf}}=\frac12 φ zpf n zpf = 2 1 [ φ ^ , n ^ ] = i \left[\hat\varphi,\,\hat n\right]=\mathrm{i} [ φ ^ , n ^ ] = i E J / E C E_{\mathrm J}/E_{\mathrm C} E J / E C φ \varphi φ ( 2 E C / E J ) 1 / 4 (2E_{\mathrm C}/E_{\mathrm J})^{1/4} ( 2 E C / E J ) 1/4 (2.5.11) の「Z ≪ R K Z\ll R_{\mathrm K} Z ≪ R K Φ 0 \Phi_0 Φ 0
4次の項 − E J φ 4 / 24 = − ( E C / 12 ) ( b ^ + b ^ † ) 4 -E_{\mathrm J}\varphi^4/24=-(E_{\mathrm C}/12)(\hat b+\hat b^\dagger)^4 − E J φ 4 /24 = − ( E C /12 ) ( b ^ + b ^ † ) 4 ⟨ k ∣ ( b ^ + b ^ † ) 4 ∣ k ⟩ = 6 k 2 + 6 k + 3 \langle k | (\hat b+\hat b^\dagger)^4 | k \rangle =6k^2+6k+3 ⟨ k ∣ ( b ^ + b ^ † ) 4 ∣ k ⟩ = 6 k 2 + 6 k + 3 第2部第4章 の行列要素 k \sqrt k k
E k ≈ − E J + 8 E J E C ( k + 1 2 ) − E C 12 ( 6 k 2 + 6 k + 3 ) , (2.5.23) E_k\approx-E_{\mathrm J}+\sqrt{8E_{\mathrm J}E_{\mathrm C}}\Bigl(k+\frac12\Bigr)-\frac{E_{\mathrm C}}{12}(6k^2+6k+3),\tag{2.5.23} E k ≈ − E J + 8 E J E C ( k + 2 1 ) − 12 E C ( 6 k 2 + 6 k + 3 ) , ( 2.5.23 )
E 01 ≡ E 1 − E 0 ≈ 8 E J E C − E C , α ≡ ( E 2 − E 1 ) − ( E 1 − E 0 ) ≈ − E C (2.5.24) E_{01}\equiv E_1-E_0\approx\sqrt{8E_{\mathrm J}E_{\mathrm C}}-E_{\mathrm C},\qquad
\alpha\equiv(E_2-E_1)-(E_1-E_0)\approx-E_{\mathrm C}\tag{2.5.24} E 01 ≡ E 1 − E 0 ≈ 8 E J E C − E C , α ≡ ( E 2 − E 1 ) − ( E 1 − E 0 ) ≈ − E C ( 2.5.24 )
を得る。準位の間隔は上へ行くほど E C E_{\mathrm C} E C α \alpha α 2.5.5 節）。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第15章 は同じ間隔の狭まりを古典の作用変数 H ( J ) H(J) H ( J ) (2.5.24) はその量子版である。
近似の裏付け
型 B（極限） ｜ 小さいもの E C / E J → 0 E_{\mathrm C}/E_{\mathrm J}\to0 E C / E J → 0 ( 2 E C / E J ) 1 / 4 (2E_{\mathrm C}/E_{\mathrm J})^{1/4} ( 2 E C / E J ) 1/4 証明 証明済み（非退化な極小のまわりの調和近似で、低い固有値が E C / E J \sqrt{E_{\mathrm C}/E_{\mathrm J}} E C / E J 38 , 295） ｜ 行き先 近似の数理 第7章
図 2.5.3 は E J / E C = 10 E_{\mathrm J}/E_{\mathrm C}=10 E J / E C = 10
図 2.5.3 E J / E C = 10 E_{\mathrm J}/E_{\mathrm C}=10 E J / E C = 10 n g = 0 n_{\mathrm g}=0 n g = 0 − E J cos φ -E_{\mathrm J}\cos\varphi − E J cos φ − E J + E J φ 2 / 2 -E_{\mathrm J}+E_{\mathrm J}\varphi^2/2 − E J + E J φ 2 /2 E k / E C = − 5.80 , 2.10 , 7.45 , 16.65 E_k/E_{\mathrm C}=-5.80,\ 2.10,\ 7.45,\ 16.65 E k / E C = − 5.80 , 2.10 , 7.45 , 16.65 − 5.53 , 3.42 , 12.36 -5.53,\ 3.42,\ 12.36 − 5.53 , 3.42 , 12.36 7.90 , 5.35 7.90,\ 5.35 7.90 , 5.35
電荷分散：周期ポテンシャルのバンドとして
展開で φ \varphi φ n g n_{\mathrm g} n g n ^ → n ^ − n g \hat n\to\hat n-n_{\mathrm g} n ^ → n ^ − n g n g n_{\mathrm g} n g φ \varphi φ φ + 2 π \varphi+2\pi φ + 2 π φ \varphi φ (2.5.18) を見ると、これは周期 2 π 2\pi 2 π − E J cos φ -E_{\mathrm J}\cos\varphi − E J cos φ n g n_{\mathrm g} n g 2.5.6 節で境界条件の形にする）。準位の n g n_{\mathrm g} n g n g = 1 2 n_{\mathrm g}=\frac12 n g = 2 1 0 0 0 ϵ m \epsilon_m ϵ m
ϵ m ≈ ( − 1 ) m E C 2 4 m + 5 m ! 2 π ( E J 2 E C ) m 2 + 3 4 e − 8 E J / E C (2.5.25) \epsilon_m\approx(-1)^mE_{\mathrm C}\,\frac{2^{4m+5}}{m!}\sqrt{\frac2\pi}\Bigl(\frac{E_{\mathrm J}}{2E_{\mathrm C}}\Bigr)^{\frac m2+\frac34}\mathrm{e}^{-\sqrt{8E_{\mathrm J}/E_{\mathrm C}}}\tag{2.5.25} ϵ m ≈ ( − 1 ) m E C m ! 2 4 m + 5 π 2 ( 2 E C E J ) 2 m + 4 3 e − 8 E J / E C ( 2.5.25 )
と与えた（同論文の式 (2.5)）。指数 e − 8 E J / E C \mathrm{e}^{-\sqrt{8E_{\mathrm J}/E_{\mathrm C}}} e − 8 E J / E C E J / E C E_{\mathrm J}/E_{\mathrm C} E J / E C α ≈ − E C \alpha\approx-E_{\mathrm C} α ≈ − E C E J / E C = 50 E_{\mathrm J}/E_{\mathrm C}=50 E J / E C = 50 (2.5.25) に対する数値の比は m = 0 m=0 m = 0 0.96 0.96 0.96 m = 1 m=1 m = 1 0.83 0.83 0.83 E J / E C = 20 E_{\mathrm J}/E_{\mathrm C}=20 E J / E C = 20 0.93 0.93 0.93 0.73 0.73 0.73 E J / E C → ∞ E_{\mathrm J}/E_{\mathrm C}\to\infty E J / E C → ∞
近似の裏付け
型 B（極限） ｜ 小さいもの トンネルの作用 8 E J / E C → ∞ \sqrt{8E_{\mathrm J}/E_{\mathrm C}}\to\infty 8 E J / E C → ∞ φ ± 2 π \varphi\pm2\pi φ ± 2 π 証明 証明済み（周期作用素の孤立したバンドの幅が井戸間の Agmon 距離で指数的に小さいこと：B. Simon (1984)、Helffer–Sjöstrand (1984)。(2.5.25) の前の因子は Mathieu 方程式の漸近形による） ｜ 行き先 近似の数理 第12章
例題 2.5.4 transmon の設計値を読む ★★★
オリジナル E C / h = 0.3 G H z E_{\mathrm C}/h=0.3\,\mathrm{GHz} E C / h = 0.3 GHz E J / h = 15 G H z E_{\mathrm J}/h=15\,\mathrm{GHz} E J / h = 15 GHz E J / E C = 50 E_{\mathrm J}/E_{\mathrm C}=50 E J / E C = 50
(1) 全静電容量 C Σ C_\Sigma C Σ I c I_{\mathrm c} I c (2) (2.5.24) で f 01 = E 01 / h f_{01}=E_{01}/h f 01 = E 01 / h α / h \alpha/h α / h f 01 = 5.683 G H z f_{01}=5.683\,\mathrm{GHz} f 01 = 5.683 GHz α / h = − 0.345 G H z \alpha/h=-0.345\,\mathrm{GHz} α / h = − 0.345 GHz (3) 第1励起準位の電荷分散 ∣ ϵ 1 ∣ / h \lvert \epsilon_1\rvert /h ∣ ϵ 1 ∣ / h 12 k H z 12\,\mathrm{kHz} 12 kHz n g n_{\mathrm g} n g f 01 f_{01} f 01
解答 (1) C Σ = e 2 / ( 2 E C ) = ( 1.602 × 10 − 19 ) 2 / ( 2 × 6.626 × 10 − 34 × 0.3 × 10 9 ) = 64.6 f F C_\Sigma=e^2/(2E_{\mathrm C})=(1.602\times10^{-19})^2/(2\times6.626\times10^{-34}\times0.3\times10^9)=64.6\,\mathrm{fF} C Σ = e 2 / ( 2 E C ) = ( 1.602 × 1 0 − 19 ) 2 / ( 2 × 6.626 × 1 0 − 34 × 0.3 × 1 0 9 ) = 64.6 fF I c = 2 e E J / ℏ = 2 e ⋅ 2 π × 15 × 10 9 s − 1 = 30.2 n A I_{\mathrm c}=2eE_{\mathrm J}/\hbar=2e\cdot2\pi\times15\times10^9\,\mathrm{s^{-1}}=30.2\,\mathrm{nA} I c = 2 e E J /ℏ = 2 e ⋅ 2 π × 15 × 1 0 9 s − 1 = 30.2 nA
(2) 8 E J E C / h = 8 × 15 × 0.3 G H z = 6.0 G H z \sqrt{8E_{\mathrm J}E_{\mathrm C}}/h=\sqrt{8\times15\times0.3}\,\mathrm{GHz}=6.0\,\mathrm{GHz} 8 E J E C / h = 8 × 15 × 0.3 GHz = 6.0 GHz f 01 ≈ 6.0 − 0.3 = 5.7 G H z f_{01}\approx6.0-0.3=5.7\,\mathrm{GHz} f 01 ≈ 6.0 − 0.3 = 5.7 GHz α / h ≈ − 0.3 G H z \alpha/h\approx-0.3\,\mathrm{GHz} α / h ≈ − 0.3 GHz f 01 f_{01} f 01 0.017 G H z 0.017\,\mathrm{GHz} 0.017 GHz 0.06 E C 0.06E_{\mathrm C} 0.06 E C α \alpha α 0.045 G H z 0.045\,\mathrm{GHz} 0.045 GHz 0.15 E C 0.15E_{\mathrm C} 0.15 E C (2.5.22) の小さいパラメータは ( E C / E J ) 1 / 2 (E_{\mathrm C}/E_{\mathrm J})^{1/2} ( E C / E J ) 1/2 E C × O ( ( E C / E J ) 1 / 2 ) E_{\mathrm C}\times\mathcal{O}((E_{\mathrm C}/E_{\mathrm J})^{1/2}) E C × O (( E C / E J ) 1/2 ) E C × 0.14 E_{\mathrm C}\times0.14 E C × 0.14
(3) f 01 f_{01} f 01 ∣ ϵ 1 − ϵ 0 ∣ / h ≈ ∣ ϵ 1 ∣ / h ≈ 12 k H z \lvert \epsilon_1-\epsilon_0\rvert /h\approx\lvert \epsilon_1\rvert /h\approx12\,\mathrm{kHz} ∣ ϵ 1 − ϵ 0 ∣ / h ≈ ∣ ϵ 1 ∣ / h ≈ 12 kHz 5.7 G H z 5.7\,\mathrm{GHz} 5.7 GHz 2 × 10 − 6 2\times10^{-6} 2 × 1 0 − 6 E J / E C = 1 E_{\mathrm J}/E_{\mathrm C}=1 E J / E C = 1 2.5.2 左）。
量子化された位相の実験
接合の位相 φ \varphi φ 55 , 1543）。測った準位の位置は、古典の領域で測った接合の値を入れた量子の計算と一致した。この一連の研究に 2025 年のノーベル物理学賞が与えられた（電気回路での巨視的な量子トンネルとエネルギーの量子化の発見）。この章の言葉で言えば、正準量子化の処方を回路の磁束と電荷に当ててよいことの実験的な裏付けである。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
