LC 回路を量子化する：共通例題①の回路版

量子力学の様々な構成方法　第2部 第5章 §2.5.2　★★★ $\left[\hat\Phi,\,\hat Q\right]=\mathrm{i}\hbar$ を課すと LC 回路は調和振動子になり、準位 $\hbar\omega(n+\tfrac12)$・熱平衡の $Z$・$\langle n \rangle$ が第4章の式のまま出る。量子化の帰結は零点のゆらぎ $\Phi_{\mathrm{zpf}}=\sqrt{\hbar Z/2}$ に現れる

交換関係を課す

第2部第2章の処方に従い、(2.5.4) の Poisson 括弧 $\{\Phi,Q\}=1$ を交換関係に置き換える：

$$\left[\hat\Phi,\,\hat Q\right]=\mathrm{i}\hbar,\qquad \hat H=\frac{\hat Q^2}{2C}+\frac{\hat\Phi^2}{2L_{\mathrm{ind}}}.\tag{2.5.6}$$

Hamiltonian の右辺は $\hat Q$ だけの項と $\hat\Phi$ だけの項の和なので、積の順序を決める必要がない。この式は表 2.5.1 の置き換えで調和振動子の $\hat H=\hat p^2/(2m)+m\omega^2\hat x^2/2$ に一致するから、第2部第4章で代数だけから出したスペクトルをそのまま使うことができる。生成消滅演算子は $m\to C$、$x\to\Phi$、$p\to Q$、$m\omega\to1/Z$ と置き換えて

$$\hat a=\frac{\hat\Phi}{\sqrt{2\hbar Z}}+\mathrm{i}\sqrt{\frac{Z}{2\hbar}}\,\hat Q,\qquad \hat\Phi=\Phi_{\mathrm{zpf}}(\hat a+\hat a^\dagger),\quad \hat Q=\mathrm{i} Q_{\mathrm{zpf}}(\hat a^\dagger-\hat a)\tag{2.5.7}$$

で、係数は

$$\Phi_{\mathrm{zpf}}=\sqrt{\frac{\hbar Z}{2}},\qquad Q_{\mathrm{zpf}}=\sqrt{\frac{\hbar}{2Z}},\qquad \Phi_{\mathrm{zpf}}Q_{\mathrm{zpf}}=\frac\hbar2\tag{2.5.8}$$

である。確かめると $\left[\hat\Phi,\,\hat Q\right]=\mathrm{i}\Phi_{\mathrm{zpf}}Q_{\mathrm{zpf}}\left[\hat a+\hat a^\dagger,\,\hat a^\dagger-\hat a\right]=\mathrm{i}\frac\hbar2\cdot2=\mathrm{i}\hbar$ となる。Hamiltonian は

$$\hat H=\hbar\omega\Bigl(\hat a^\dagger\hat a+\frac12\Bigr),\qquad E_n=\hbar\omega\Bigl(n+\frac12\Bigr),\quad n=0,1,2,\dots\tag{2.5.9}$$

で、共通例題①の正答と同じ形である。熱平衡でも 第2部第4章の結果がそのまま使え、分配関数は $Z_{\mathrm{th}}=1/(2\sinh(\beta\hbar\omega/2))$、励起の平均個数は $\langle \hat n \rangle =1/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1)$ である（特性インピーダンス $Z$ と区別するため、この章では分配関数を $Z_{\mathrm{th}}$ と書く）。

ここで「量子 $n$ 個」とは何かを確かめておく。共振器の中の電磁場は、集中定数の近似ではコンデンサの電場とインダクタの磁場に分かれて蓄えられ、その全体が1つのモードとして振動する。$\hat a^\dagger$ はこのモードのエネルギーを $\hbar\omega$ だけ上げる演算子で、上がったエネルギーの1単位がマイクロ波の光子1個に当たる。第6部第1章で、空間に広がった場のモードを1つずつ振動子として量子化して光子を数えたのと同じことを、モードが1つだけの回路でしている。

零点のゆらぎと特性インピーダンス

基底状態 $| 0 \rangle$ での磁束と電荷の標準偏差は

$$\Delta\Phi=\Phi_{\mathrm{zpf}}=\sqrt{\frac{\hbar Z}{2}},\qquad \Delta Q=Q_{\mathrm{zpf}}=\sqrt{\frac{\hbar}{2Z}},\qquad \Delta\Phi\,\Delta Q=\frac\hbar2\tag{2.5.10}$$

で、Robertson の不等式（第1部第2章）の等号を満たす。インピーダンスが大きい回路ほど磁束がゆらぎ、電荷のゆらぎは小さくなる。磁束のゆらぎを磁束量子 $\Phi_0=h/(2e)$（2.5.4 節）と比べると

$$\Bigl(\frac{\Phi_{\mathrm{zpf}}}{\Phi_0}\Bigr)^2=\frac{\hbar Z}{2}\cdot\frac{4e^2}{h^2}=\frac{Z}{\pi R_{\mathrm K}},\qquad R_{\mathrm K}=\frac{h}{e^2}=25.8\,\mathrm{k}\Omega\tag{2.5.11}$$

となる。ふつうの回路は $Z\ll R_{\mathrm K}$ なので、磁束の量子ゆらぎは $\Phi_0$ よりずっと小さい。この比は 2.5.4 節で、接合の非線形性がどれだけ見えるかを決める。

なぜ極低温が要るか

準位の間隔 $\hbar\omega$ を温度に直すと、$5\,\mathrm{GHz}$ では $\hbar\omega/ k_{\mathrm B}=0.24\,\mathrm K$ である。熱平衡の励起の平均個数 $\langle \hat n \rangle =1/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1)$ は、室温 $300\,\mathrm K$ で約 $1240$、液体ヘリウムの $4.2\,\mathrm K$ で約 $17$、希釈冷凍機の $20\,\mathrm{mK}$ で $5.7\times10^{-6}$ になる。量子の準位を1つずつ見分けるには、回路を $\hbar\omega\gg k_{\mathrm B} T$ の温度まで冷やして基底状態に落とす必要がある。

高温では古典の等分配則に戻ることも確かめておく。基底状態以外も含めた熱平衡での磁束の2乗平均は、$\langle (\hat a+\hat a^\dagger)^2 \rangle =2\langle \hat n \rangle +1=\coth(\beta\hbar\omega/2)$ から

$$\langle \hat\Phi^2 \rangle =\frac{\hbar Z}{2}\coth\frac{\beta\hbar\omega}{2}\ \xrightarrow{\ \beta\hbar\omega\to0\ }\ \frac{\hbar Z}{2}\cdot\frac{2}{\beta\hbar\omega}= k_{\mathrm B} T\,\frac{Z}{\omega}= k_{\mathrm B} T\,L_{\mathrm{ind}}\tag{2.5.12}$$

である。最後の形は $\langle \Phi^2 \rangle /(2L_{\mathrm{ind}})= k_{\mathrm B} T/2$、すなわちポテンシャルのエネルギーの平均が $k_{\mathrm B} T/2$ という古典の等分配則である。低温の極限では $\langle \hat\Phi^2 \rangle \to\hbar Z/2$ で、温度に依らないゆらぎが残る。