2準位系を切り出す：共通例題②

量子力学の様々な構成方法　第2部 第5章 §2.5.5　★★★ Cooper 対の箱を $n=0,1$ へ、transmon を最低の2準位へ射影すると共通例題②の Hamiltonian になり、Rabi 振動 $(\Omega/\Omega')^2\sin^2(\Omega't/2)$ が回路の言葉で出る

Cooper 対の箱：静的な2準位系

$E_{\mathrm J}\ll E_{\mathrm C}$ で $n_{\mathrm g}$ が $\frac12$ に近いとき、電荷の状態 $| 0 \rangle$ と $| 1 \rangle$ のエネルギー $4E_{\mathrm C}n_{\mathrm g}^2$ と $4E_{\mathrm C}(1-n_{\mathrm g})^2$ は近く、ほかの電荷の状態は $\sim4E_{\mathrm C}$ 以上離れている。(2.5.20) を $\{| 1 \rangle ,| 0 \rangle \}$ の張る部分空間へ射影し、$| e \rangle =| 1 \rangle$、$| g \rangle =| 0 \rangle$（$\sigma_z| e \rangle =+| e \rangle$）と置くと、定数を除いて

$$\hat H_{\mathrm{box}}=\frac{4E_{\mathrm C}(1-2n_{\mathrm g})}{2}\sigma_z-\frac{E_{\mathrm J}}{2}\sigma_x =-\frac{\hbar\Delta}{2}\sigma_z-\frac{\hbar\Omega}{2}\sigma_x,\qquad \hbar\Omega=E_{\mathrm J},\quad \hbar\Delta=-4E_{\mathrm C}(1-2n_{\mathrm g})\tag{2.5.26}$$

となる。2つの電荷の状態の差 $4E_{\mathrm C}(1-2n_{\mathrm g})$ は $4E_{\mathrm C}(1-n_{\mathrm g})^2-4E_{\mathrm C}n_{\mathrm g}^2$ から出る。

これは共通例題②の Hamiltonian $-(\hbar\Delta/2)\sigma_z-(\hbar\Omega/2)\sigma_x$ と同じ形で、ここでは $\Omega$ が外から当てた駆動でなく接合のトンネル、$\Delta$ がゲート電圧で決まる電荷のエネルギーの差である。$n_{\mathrm g}$ を $\frac12$ から遠い値（基底状態がほぼ $| 0 \rangle$）から急に $n_{\mathrm g}$ へ切り替えて時間 $t$ だけ置くと、第1部第2章・第2部第3章で出した式のとおり

$$P_{| 1 \rangle }(t)=\Bigl(\frac{\Omega}{\Omega'}\Bigr)^2\sin^2\frac{\Omega't}{2},\qquad \Omega'=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2}\tag{2.5.27}$$

で島に Cooper 対が1個入っている確率が振動する。縮退点 $n_{\mathrm g}=\frac12$ では $\Delta=0$ で、周期 $h/E_{\mathrm J}$ で完全に入れ替わる。Nakamura・Pashkin・Tsai は、ゲートに短い電圧パルスを加えてこの振動を観測し、固体の電子回路で2準位の量子状態を時間領域で制御した最初の実験とした（Y. Nakamura, Yu. A. Pashkin and J. S. Tsai (1999), Nature 398, 786）。

transmon：マイクロ波で駆動する2準位系

transmon の最低の2準位 $| g \rangle =| k=0 \rangle$、$| e \rangle =| k=1 \rangle$ の間隔は $\hbar\omega_{\mathrm q}=E_{01}$ である。ゲートに $V_{\mathrm g}=V_{\mathrm{dc}}+V_0\cos\omega_{\mathrm d}t$ を加えると、(2.5.18) の $(\hat n-n_{\mathrm g})^2$ の交差項から

$$\hat H_{\mathrm d}(t)=2e\,\frac{C_{\mathrm g}}{C_\Sigma}\,V_0\cos(\omega_{\mathrm d}t)\,\hat n\tag{2.5.28}$$

が出る（$8E_{\mathrm C}/(2e)=2e/C_\Sigma$）。$\hat n$ の行列要素は (2.5.22) により $\langle e | \hat n | g \rangle \approx(\mathrm{i}/\sqrt2)(E_{\mathrm J}/8E_{\mathrm C})^{1/4}$ で、純虚数である。$| e \rangle$ の位相を選び直して行列要素を実数 $n_{01}=\lvert \langle e | \hat n | g \rangle \rvert$ にし、2準位へ射影すると$\hat H=(\hbar\omega_{\mathrm q}/2)\sigma_z+\hbar\Omega\cos(\omega_{\mathrm d}t)\sigma_x$、$\hbar\Omega=2e(C_{\mathrm g}/C_\Sigma)V_0n_{01}$ である（$\hat n$ の対角要素は $\sigma_z$ の係数を少しずらすだけなので落とした）。$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{\mathrm d}t\sigma_z/2}$ で回る座標へ移り、$\mathrm{e}^{\pm2\mathrm{i}\omega_{\mathrm d}t}$ で振動する項を捨てると（回転波近似）

$$\hat H_{\mathrm{rot}}=-\frac{\hbar\Delta}{2}\sigma_z+\frac{\hbar\Omega}{2}\sigma_x,\qquad \Delta=\omega_{\mathrm d}-\omega_{\mathrm q}\tag{2.5.29}$$

を得る。$\sigma_x$ の係数の符号は駆動の位相 $\pi$ のずれで反転でき、(2.5.27) は $\Omega^2$ にしか依らないので、共通例題②の正答がそのまま当てはまる。この節の行列要素を $E_{\mathrm J}/E_{\mathrm C}=50$ で対角化と比べると、$n_{01}=1.088$（振動子の近似 $1.118$）、$\lvert \langle 2 | \hat n | 1 \rangle \rvert /n_{01}=1.370$（振動子なら $\sqrt2=1.414$）である。

第3準位への漏れ

transmon は Cooper 対の箱と違い、第3準位 $| 2 \rangle$ が $| e \rangle$ から $E_{01}+\alpha$ の所にあって、$\alpha$ は $E_{01}$ の数 % にすぎない。駆動は $| e \rangle \to| 2 \rangle$ の遷移も $\sqrt2\,\Omega$ 程度の強さで起こし、その離調は $\alpha$ である。$| e \rangle$ と $| 2 \rangle$ だけの2準位として見積もると、漏れの確率の最大は $2\Omega^2/(2\Omega^2+\alpha^2)$ で、$\Omega$ を $\lvert \alpha\rvert$ より十分小さくすれば抑えることができる。そのため transmon の操作のパルスは数十 ns の長さにとり、さらに漏れを打ち消すようにパルスの形を整える（Motzoi らの DRAG）。2準位への射影は、$\hbar\Omega\ll\lvert \alpha\rvert$ の条件でだけ使える近似である。

回路の2準位系を LC 共振器と容量でつなぐと、共振器の光子と量子ビットの間の結合 $\hbar g(\hat a\sigma_++\hat a^\dagger\sigma_-)$ が得られ、原子と共振器の量子電磁力学と同じ Jaynes–Cummings 模型になる（A. Blais et al. (2004), Phys. Rev. A 69, 062320）。その物理は光学と量子エレクトロニクス 第34章、量子計算の部品としての使い方は相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第6部第1章にある。共振器どうしの結合は章末の総合問題で扱う。