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位相の選択と粒子数

2026年10月17日8分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第8部 第5章 物性での実例と限界：強磁性と BCS 状態
目次
  1. ゲージ変換と位相の違う BCS 状態
  2. 粒子数を決めた状態は混合相
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第8部 第5章 §8.5.4　★★★ 対の振幅の位相 φ\varphi ごとに BCS 状態は別の表現にいて、電荷を保つゲージ変換はその中で実装することができない。粒子数を決めた状態は、位相について平均した混合相になる

ゲージ変換と位相の違う BCS 状態

全電子数 N^=∑kσn^kσ\hat N=\sum_{\bm{k}\sigma}\hat n_{\bm{k}\sigma} が生成する変換 γθ(c^kσ)=e−iθc^kσ\gamma_\theta(\hat c_{\bm{k}\sigma})=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\hat c_{\bm{k}\sigma} を考える。有限体積では γθ\gamma_\theta はユニタリ eiθN^\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta\hat N} で実装され、簡約した BCS のハミルトニアンはこれで変わらない（電荷の保存）。対の生成演算子は P^k†→e2iθP^k†\hat P^\dagger_{\bm{k}}\to\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}\hat P^\dagger_{\bm{k}} と変わるので、eiθN^∣BCS0⟩=∣BCS2θ⟩\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta\hat N}| \mathrm{BCS}_0 \rangle =| \mathrm{BCS}_{2\theta} \rangle で、ゲージ変換は対の振幅の位相を φ=2θ\varphi=2\theta だけずらす。擬スピンの言葉では、zz 軸のまわりの角 φ\varphi の回転である。

位相の違う2つの BCS 状態の重なりは、モードごとに u2+v2eiφu^2+v^2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} で、その絶対値の2乗は 1−4u2v2sin⁡2(φ/2)=1−(Δ/E)2sin⁡2(φ/2)1-4u^2v^2\sin^2(\varphi/2)=1-(\Delta/E)^2\sin^2(\varphi/2) である。体積に比例する和に直すと

ln⁡∣⟨BCS0∣BCSφ⟩∣=N0V2∫−∞∞ln⁡(1−Δ2sin⁡2(φ/2)ξ2+Δ2)dξ=−πN0VΔ(1−∣cos⁡φ2∣)(8.5.15)\ln\lvert \langle \mathrm{BCS}_0 | \mathrm{BCS}_\varphi \rangle \rvert =\frac{N_0V}2\int_{-\infty}^{\infty}\ln\Bigl(1-\frac{\Delta^2\sin^2(\varphi/2)}{\xi^2+\Delta^2}\Bigr)\mathrm{d}\xi =-\pi N_0V\Delta\Bigl(1-\Bigl|\cos\frac\varphi2\Bigr|\Bigr)\tag{8.5.15}

となる（殻の幅を無限大にした。積分は例題 8.5.4）。φ≠0(mod2π)\varphi\ne0\pmod{2\pi} なら無限体積で 00 である。巨視的な量で見ると、(8.5.14) の M^V\hat M_V は ∣BCSφ⟩| \mathrm{BCS}_\varphi \rangle の表現で Ψeiφ\Psi\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} に収束するので、φ\varphi の違う表現は互いにユニタリ同値でない。したがって γθ\gamma_\theta（θ≠0,π\theta\ne0,\pi）は1つの BCS 状態の表現の中でユニタリで実装することができない。証明は第8部第4章の命題 8.4.5 で裏返しの γ\gamma を γθ\gamma_\theta に、磁化を対の振幅に替えたものである。ハミルトニアンは電荷を保つのに、超伝導の状態は位相を1つ選んでいる。これが「超伝導はゲージ対称性を自発的に破る」という言い方の正確な中身である。2つの超伝導体の位相の差は Josephson 効果として観測される量で（第2部第5章）、位相のそろい方が巨視的に意味をもつ。

図

図 8.5.3　位相の違う2つの BCS 状態の重なりの対数を N0VΔN_0V\Delta で割ったもの (8.5.15)。線は殻の幅を無限大にした閉じた形、点は εc/Δ=13.998\varepsilon _{\mathrm c}/\Delta=13.998 の殻で数値積分した値。φ=0\varphi=0 でだけ 00 で、それ以外は体積に比例して重なりが減る。

粒子数を決めた状態は混合相

BCS 状態は全電子数の固有状態でない。モードごとの粒子数の分散は 4u2v2=(Δ/E)24u^2v^2=(\Delta/E)^2 なので

Var⁡N^=∑k4uk2vk2=N0V∫−∞∞Δ2ξ2+Δ2 dξ=πN0VΔ(8.5.16)\operatorname{Var}\hat N=\sum_{\bm{k}}4u_{\bm{k}}^2v_{\bm{k}}^2=N_0V\int_{-\infty}^\infty\frac{\Delta^2}{\xi^2+\Delta^2}\,\mathrm{d}\xi=\pi N_0V\Delta\tag{8.5.16}

である。標準偏差は V\sqrt V に比例し、電子数（VV に比例）に対する比は V−1/2V^{-1/2} で 00 に行く。

有限体積では、位相について平均すると粒子数の決まった状態を取り出すことができる。∣BCSφ⟩| \mathrm{BCS}_\varphi \rangle を展開すると対の数が nn の成分に einφ\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\varphi} が掛かっているので

∫02πdφ2π e−iNpφ∣BCSφ⟩=(対の数が Np の成分)(8.5.17)\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}\varphi}{2\pi}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} N_{\mathrm p}\varphi}| \mathrm{BCS}_\varphi \rangle =\bigl(\text{対の数が }N_{\mathrm p}\text{ の成分}\bigr)\tag{8.5.17}

で、これは電子数 2Np2N_{\mathrm p} の固有空間への射影である。超伝導の基底状態を粒子数の決まった形で書きたいときは、この射影を使う。

無限体積では、この関係が状態の分解として残る。粒子数を保つ状態（ゲージ変換で変わらない状態）は、M^V\hat M_V の期待値が 00 でなければならないが、M^V†M^V\hat M_V^\dagger\hat M_V の期待値は∣Ψ∣2\lvert \Psi\rvert ^2 に収束する。巨視的な量の分散 ∣Ψ∣2−0\lvert \Psi\rvert ^2-0 が消えないので、この状態は前の章の言葉で端点（純粋な相）でなく、位相について平均した混合相

ωˉ=∫02πdφ2π ωBCSφ(8.5.18)\bar\omega=\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}\varphi}{2\pi}\,\omega_{\mathrm{BCS}_\varphi}\tag{8.5.18}

になる。これは Curie–Weiss 模型の低温の Gibbs 状態の極限 12(ω++ω−)\tfrac12(\omega_++\omega_-)（第8部第4章）の、相が円周の点の数だけある版である。Thirring は簡約した BCS 模型のうち1粒子のエネルギーがすべて等しい（縮退した）ものについて、有限温度の Green 関数が、無限体積の極限で位相の違う Bogoliubov–Haag の解のゲージ不変な平均に近づくことを示した1W. Thirring (1968), Commun. Math. Phys. 7, 181.下の脚注へ。粒子数を決めて計算しても、位相を1つ選んで計算しても、局所的な観測量の期待値は無限体積で一致する。違いが出るのは、位相に敏感な P^k\hat P_{\bm{k}} のような量の期待値と、巨視的な量のゆらぎである。

例題 8.5.4　位相の重なりと粒子数のゆらぎ ★★

オリジナル

  1. (1) ∫−∞∞ln⁡x2+b2x2+c2 dx=2π(b−c)\int_{-\infty}^\infty\ln\dfrac{x^2+b^2}{x^2+c^2}\,\mathrm{d} x=2\pi(b-c)（b,c>0b,c>0）を使って、(8.5.15) の右辺を導け。
  2. (2) φ=π/3\varphi=\pi/3 と π/2\pi/2 のとき、ln⁡∣⟨BCS0∣BCSφ⟩∣/(N0VΔ)\ln\lvert \langle \mathrm{BCS}_0 | \mathrm{BCS}_\varphi \rangle \rvert /(N_0V\Delta) を求めよ。
  3. (3) N0VΔ=50N_0V\Delta=50 のとき、Var⁡N^\operatorname{Var}\hat N と標準偏差を求めよ。体積を 100100 倍にすると、標準偏差と、それを電子数で割った比はそれぞれ何倍になるか。
解答

(1) 1−Δ2s2/(ξ2+Δ2)=(ξ2+Δ2(1−s2))/(ξ2+Δ2)1-\Delta^2s^2/(\xi^2+\Delta^2)=\bigl(\xi^2+\Delta^2(1-s^2)\bigr)/(\xi^2+\Delta^2)（s=sin⁡(φ/2)s=\sin(\varphi/2)）なので、b=Δ1−s2=Δ∣cos⁡(φ/2)∣b=\Delta\sqrt{1-s^2}=\Delta\lvert \cos(\varphi/2)\rvert、c=Δc=\Delta として積分は 2πΔ(∣cos⁡(φ/2)∣−1)2\pi\Delta(\lvert \cos(\varphi/2)\rvert -1)。N0V/2N_0V/2 を掛けて −πN0VΔ(1−∣cos⁡(φ/2)∣)-\pi N_0V\Delta(1-\lvert \cos(\varphi/2)\rvert ) になる。与えた公式は、両辺を bb で微分すると ∫2b/(x2+b2)dx=2π\int2b/(x^2+b^2)\mathrm{d} x=2\pi になり、b=cb=c で両辺が 00 になることから確かめることができる。

(2) φ=π/3\varphi=\pi/3 では −π(1−cos⁡30∘)=−π×0.1340=−0.4209-\pi(1-\cos30^\circ)=-\pi\times0.1340=-0.4209、φ=π/2\varphi=\pi/2 では −π(1−cos⁡45∘)=−π×0.2929=−0.9202-\pi(1-\cos45^\circ)=-\pi\times0.2929=-0.9202。殻の幅を λ=0.3\lambda=0.3 の εc\varepsilon _{\mathrm c} にした数値積分では −0.4031-0.4031 と −0.8845-0.8845 で（図 8.5.3 の点）、殻の外の裾の分だけ小さい。

(3) Var⁡N^=50π=157.1\operatorname{Var}\hat N=50\pi=157.1、標準偏差 12.512.5。体積を 100100 倍にすると分散が 100100 倍、標準偏差は 1010 倍の 125125。電子数は 100100 倍なので、比は 1/101/10 になる。粒子数のゆらぎは絶対値では増えるが、電子数に比べると消えていく。

1　W. Thirring (1968), Commun. Math. Phys. 7, 181.

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