地図を読み直す：両向きの橋とは何を示したことか

量子力学の様々な構成方法　第11部 第1章 §11.1.1　★★★ 両向きの橋は「同じ空間に置く・全単射・予言の読み方をそろえる」の3つを満たすことで、橋の強さは4段階に分かれる

第1部第1章では、この巻で扱う9つの構成を箱に、構成どうしの対応を矢印にした同値性の地図を描き、どの矢印をどの部で証明するかを予定として書いた。第2部から第10部までで、その矢印はすべて証明されたか、証明できる範囲が限られることが示された。この章では、同じ地図をもう一度描き、各矢印に「どの章のどの定理で、どちらの向きを示したか」を書き込む。この章では新しい構成を立てず、巻全体の結果を引くための索引を作る。

11.1.1節で、両向きの橋が何を示したことになるのかを第1部第4章の3つの要件で確かめ直し、橋の強さを4段階に分けて地図を描き直す。11.1.2節と11.1.3節は橋の索引で、前者が基準と主流の5つの構成（第2〜6部）、後者が外側の4つの構成（第7〜10部）を扱う。後者では、同値がどこで終わるか（無限自由度・3次以上の多項式・多時刻の相関など）も一覧にする。11.1.4節と11.1.5節で、共通例題①②③の答えを、各部がどの道具で出したかとともに1表ずつ並べる。11.1.6節は橋の節で、熱平衡の調和振動子の $\langle x^2 \rangle$ を4つの構成の言葉で書いた式が等しいことを証明し、どの書き方が計算に向くかを比べる。11.1.7節でまとめ、熱平衡の振動子を6つの部の言葉で解く総合問題を置く。どの問題をどの構成で解くかという使い分けの早見表は第11部第2章で扱う。

同値を示すのに要る3つ

第1部第1章では、2つの構成が同値であるとは、同じ準備と同じ測定に同じ確率を与えることだと定めた。第1部第4章は、1926年に Schrödinger が行列力学と波動力学の同値を示そうとした論文を読み直し、波動関数から行列を作る片向きしか示していなかったことを確かめた。そこから、同値を示すのに要るものを3つに分けた。1つ目は、2つの構成の対象を同じ空間に置くこと（例：数列の空間 $\ell^2$ と関数の空間 $L^2$ を、Hermite 関数の展開で同じヒルベルト空間とみなす）。2つ目は、その対応が全単射であること（片方のどの状態にも、もう片方の状態がちょうど1つ対応する）。3つ目は、予言の読み方をそろえること（期待値を、片方では $\langle \psi | \hat A | \psi \rangle$、もう片方では $\int WA_W\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p$ と書いたとき、両者が等しいこと）。

この巻の各部は、最後から2番目の節（橋の節）でこの3つを確かめた。基準からその構成へ行く写像が予言を保つことを示すのが「基準→構成」の向きで、その構成で許される対象がすべて基準のどれかから得られることを示すのが「構成→基準」の向きである。後者が全単射の要件に当たる。両方がそろうと、その構成で計算した予言は基準の予言と一致し、基準を経由すれば任意の2つの構成の予言が一致する。

橋の強さの4段階

第2〜10部で示した橋は、強さで4つに分かれる。

1. (i) 両向きの同値。予言が全部一致する。例は、純粋状態の密度行列（第4部第2章の浄化）、Wigner 関数と密度行列の1対1対応（第5部第2章）、Fock 空間と対称化した波動関数の空間（第6部第2章）、GNS 構成（第8部第2章）。
2. (ii) 範囲を限った同値。前提を満たす範囲では両向きの同値だが、前提を外すと成り立たない。Stone–von Neumann の定理は有限自由度でしか表現の一意性を言わない（第2部第6章）。Gleason の定理は3次元以上のヒルベルト空間でしか成り立たない（第9部第2章）。正準量子化は2次以下の多項式でしか Poisson 括弧を厳密に交換子へ写せない（第10部第1章）。
3. (iii) 片向きの合流。ある構成の結果が別の構成の対象になるが、逆向きの写像はない。例は、虚時間の経路積分から熱平衡の密度行列が出ること（逆に一般の密度行列は虚時間の経路積分で書けない）、第二量子化の熱平衡の占有数が密度行列の固有値になること。
4. (iv) 近似。$\hbar\to0$ で量子の構成が古典力学に近づくこと（経路積分の停留位相・流体の Hamilton–Jacobi 方程式・Moyal 括弧から Poisson 括弧）。これは同値と区別して、各部で近似の裏付けの札を付けた。

図 11.1.1 は、第1部第1章の地図に各矢印を示した章を書き込んだ地図である。矢印の線の種類で上の4段階を分けた。

図 11.1.1　同値性の地図（第2〜10部の結果を書き込んだもの）。太い実線の両矢印は両向きの同値（段階 (i)）、破線の両矢印は前提を限った両向きの同値（段階 (ii)）、細い片矢印は合流（段階 (iii)）。矢印の横の「$N$部$M$章」は、その矢印を示した章。$\hbar\to0$ の近似（段階 (iv)）は図に描かず、表 11.1.2 の最後にまとめた。

Stone–von Neumann の定理には「有限自由度で、Weyl の関係を満たす正則な表現」という前提があるので、基準と行列力学の間の矢印を破線にした。Madelung の流体から波動関数を作り直すには循環の量子化を追加の条件として要るので（第7部第1章）、軌道と流体の矢印も破線にした。代数から基準へ戻る GNS 構成は一般に成り立つが、無限自由度では状態ごとに別の表現が出てくる。Gleason の定理は3次元以上でしか成り立たない。この2つの理由で、代数と再構成の矢印も破線にした。これらの前提の一覧は11.1.3節の表 11.1.3 にまとめる。

基準を経由しない橋

地図の矢印はほとんどが基準を経由するが、2つの構成を直接つなぐ橋もある。軌道と流体（第7部）と位相空間（第5部）は、どちらも位置 $x$ ごとの運動量の分布を扱うので、Wigner 関数の運動量についてのモーメントが流体の量になる（第5部第1章の式 (5.1.16)、第7部第1章の式 (7.1.21)）。この対応は基準の公理を使わずに、2つの構成の定義だけから示すことができる。次の例題で、Gauss 波束について確かめる。

この例題の (2) の第3式は、Wigner 関数が正であるかどうかに関係なく成り立つ。運動量の2次までのモーメントだけを見れば、流体と位相空間は同じ情報を持つ。3次以上のモーメントになると、流体の方程式は閉じない（第7部第1章の橋の節）。