橋：基準・位相空間・解析力学との対応

量子力学の様々な構成方法　第7部 第1章 §7.1.6　★★★ この章の結果が同値性の地図の「波動関数 ↔ 流体」の橋に当たること、基準と第5部の言葉で同じ量がどう書けるかを式で並べる

地図の上の位置

第1部第1章の同値性の地図（第1部第1章）では、第7部は「波動関数 ──Madelung 変換──▶ 流体」の矢印から始まる。この章で示したのはその矢印の両向きで、基準から流体へは第2節と第3節、流体から基準へは第4節の定理 7.1.4 が受け持つ。図 7.1.3 に、この章の結果がほかの部とつながる所をまとめた。

基準の言葉で：密度と流れは演算子の期待値

第1部の基準では、$\rho$ と $\bm{j}$ は演算子の期待値として書ける。1次元で書くと、$\delta(\hat x-x)=| x \rangle \langle x |$ を使って

$$\rho(x)=\langle \psi | \delta(\hat x-x) | \psi \rangle ,\qquad j(x)=\langle \psi | \frac{1}{2m}\bigl\{\hat p,\ \delta(\hat x-x)\bigr\} | \psi \rangle\tag{7.1.19}$$

である（$\{\cdot,\cdot\}$ は反交換子）。2つ目は、$\langle \psi |\hat p| x \rangle =\bigl(\langle x |\hat p| \psi \rangle \bigr)^*=(-\mathrm{i}\hbar\psi'(x))^*$ から$\frac{1}{2m}\bigl[\psi^*(-\mathrm{i}\hbar\psi')+\psi(\mathrm{i}\hbar\psi'^*)\bigr]=\frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}(\psi^*\psi')$ となり、(7.1.3) と一致する。連続の式は、演算子 $\delta(\hat x-x)$ の Heisenberg の運動方程式（第2部第3章）の期待値である。運動量の保存則 (7.1.11) を全空間で積分したものは $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat p \rangle =-\langle V'(\hat x) \rangle$ で、Heisenberg 方程式 $\dot{\hat p}=-V'(\hat x)$ の期待値と同じ式になる。流体の側では「量子応力は表面の項なので積分すると消える」、基準の側では「$[\hat p,\hat p^2]=0$ なので運動エネルギーの項は $\hat p$ を変えない」という別の理由で同じ式になっている。

運動量の分散も2つに分かれる。(7.1.12) を1次元で書き直し、$\langle \hat p \rangle =\int\rho\,mv\,\mathrm{d} x$ を引くと

$$\langle \hat p^2 \rangle -\langle \hat p \rangle ^2=\Bigl[\int\rho\,(mv)^2\mathrm{d} x-\Bigl(\int\rho\,mv\,\mathrm{d} x\Bigr)^2\Bigr]+\frac{\hbar^2}{4}J[\rho] \ \ge\ \frac{\hbar^2}{4}J[\rho]\ \ge\ \frac{\hbar^2}{4\,(\langle \hat x^2 \rangle -\langle \hat x \rangle ^2)}\tag{7.1.20}$$

となる。最初の括弧は流れの速さのばらつき（分散なので $0$ 以上）、2つ目の不等号は位置の Fisher 情報についての Cramér–Rao の不等式 $J[\rho]\,\mathrm{Var}(x)\ge1$（相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第1部第7章）である。両端を結ぶと Heisenberg の不確定性関係 $\Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2$ が出る。流体の言葉では、不確定性関係の下限は「流れが一様で、密度が Fisher 情報の下限を達成するガウス分布」のときに等号になる。

第5部の言葉で：Wigner 関数の運動量のモーメント

第5部の Wigner 関数 $W(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int\mathrm{d} y\,\psi(x+y)\psi^*(x-y)\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} py/\hbar}$ を運動量で積分すると、$\int p^kW\,\mathrm{d} p$ は $\psi(x+y)\psi^*(x-y)$ を $y=0$ で $k$ 回微分したものに $(\hbar/(2\mathrm{i}))^k$ を掛けた形になる。$k=0,1,2$ を極形式で計算すると

$$\int W\,\mathrm{d} p=\rho,\qquad\int p\,W\,\mathrm{d} p=\rho\,mv,\qquad\int p^2\,W\,\mathrm{d} p=\rho\,(mv)^2+m\,P\tag{7.1.21}$$

となる（$P=P_{xx}$。3本目は一般の $R,S$ について検算で確かめた）。つまり、流体の密度・運動量密度・運動量の流れは Wigner 関数の運動量についての0次・1次・2次のモーメントで、量子応力 $P$ は「その点での運動量の条件付き分散」に当たる。Moyal 方程式（第5部第3章）を $p$ で積分していくとモーメントの方程式が無限に続くが、純粋状態では高次のモーメントも $\rho$ と $S$ で決まるので、2次で閉じて Madelung の方程式になる。混合状態ではこの閉じ方が成り立たない。第5節の終わりで熱平衡を1つの流体で書けないと述べたのは、この事情による。

解析力学と授業の形

解析力学の巻の第1部第13章（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第13章）は、同じ極形式から量子 HJ 方程式と連続の式を導き、$\hbar\to0$ の古典極限の条件を出した。その章は「古典力学の Hamilton–Jacobi 方程式が量子力学の位相の式の極限になる」向きに読み、この章は「量子力学を流体として書き直す構成の出発点」として読む。$\hbar\to0$ の極限そのものは次の章で扱う。

学部の量子力学の授業では、確率流密度 $\bm{j}=\frac{\hbar}{2m\mathrm{i}}(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*)$ と連続の式 $\partial_t\lvert \psi\rvert ^2+\nabla\cdot\bm{j}=0$ を、Schrödinger 方程式に $\psi^*$ を掛けて複素共役と引き算する形で導く。この章の (7.1.6) はそれと同じ式で、授業の導き方は第2節の虚部だけを取り出したものに当たる。授業で通常省かれる実部の式が、この部の中心になる量子 HJ 方程式である。