共通例題を流体で読む

量子力学の様々な構成方法　第7部 第1章 §7.1.5　★★★ 共通例題①の定常状態は静水圧のつり合い、③の波束の広がりは量子圧力で膨らむ流れとして解く

① 調和振動子の定常状態：静止した流体

実数の固有関数 $\psi_n(x)$ を持つ定常状態 $\psi=\psi_n(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_nt/\hbar}$ では、節の外で $S=-E_nt$（$\psi_n<0$ の区間では $S=\pi\hbar-E_nt$）なので$v=0$ である。流体は止まっていて、量子 HJ 方程式 (7.1.7) は

$$V(x)+Q(x)=E_n\qquad(\rho>0\ \text{の所})\tag{7.1.15}$$

になる。外のポテンシャルの起伏を量子ポテンシャルがちょうど打ち消して、和が一定値 $E_n$ になる。Euler 方程式の言葉では $-\partial_xP=\rho\,\partial_xV$ で、量子圧力の勾配が外の力とつり合う静水圧のつり合いである。

共通例題①の調和振動子 $V=m\omega^2x^2/2$ で確かめる。長さの単位を $\ell=\sqrt{\hbar/(m\omega)}$ とする。基底状態 $\psi_0\propto\mathrm{e}^{-x^2/(2\ell^2)}$ は、例題 7.1.2 で $\sigma^2=\ell^2/2$ と置いた場合で、

$$Q_0=\frac{\hbar^2}{4m\sigma^2}-\frac{\hbar^2x^2}{8m\sigma^4}=\frac{\hbar\omega}{2}-\frac{m\omega^2x^2}{2},\qquad V+Q_0=\frac{\hbar\omega}{2}$$

となる。これが共通例題①の基底状態の流体での答え「$\bm{v}=0$ で $V+Q=\hbar\omega/2$」で、零点エネルギー $\hbar\omega/2$ は流体の言葉では量子圧力が調和ポテンシャルの力とつり合うために要るエネルギーである。量子圧力は例題 7.1.3 の (1) で $k_{\mathrm B} T_{\mathrm{eff}}=\hbar^2/(4m\sigma^2)=\hbar\omega/2$ と置いたもので、$P_0=(\hbar\omega/2)\rho_0$ となる。$n=0$ から $4$ まで、Hermite 多項式を使った $\psi_n$ で (7.1.15) が $E_n=\hbar\omega(n+\frac12)$ で成り立つことを検算で確かめた。

③ 自由粒子の波束：量子圧力で膨らむ流れ

共通例題③の自由なガウス波束（初めの位置と運動量の相関なし、平均運動量 $0$）は、時刻 $t$ で$\rho(x,t)=(2\pi\sigma(t)^2)^{-1/2}\exp(-x^2/(2\sigma(t)^2))$、

$$\sigma(t)^2=\sigma_0^2+\Bigl(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0}\Bigr)^2\tag{7.1.16}$$

と広がる（伝播関数からの導出は 第3部第3章）。流体の言葉では、これを「量子圧力で一様に膨らむ流れ」として、Schrödinger 方程式を解かずに導ける。

ガウス分布の形を保ったまま幅だけが変わる流れを探し、速度場を $v(x,t)=a(t)\,x$ と置く。連続の式に入れると、$\partial_t\rho=\rho\,(\dot\sigma/\sigma)(x^2/\sigma^2-1)$、$\partial_x(\rho v)=\rho\,a\,(1-x^2/\sigma^2)$ なので、$a=\dot\sigma/\sigma$ と選べば連続の式が成り立つ。つまり

$$v(x,t)=\frac{\dot\sigma}{\sigma}\,x .\tag{7.1.17}$$

中心からの距離に比例した速さで外へ流れる一様な膨張である。次に Euler 方程式 (7.1.9)（$V=0$）に入れる。左辺は$\partial_tv+v\,\partial_xv=x\bigl(\ddot\sigma/\sigma-\dot\sigma^2/\sigma^2\bigr)+x\,\dot\sigma^2/\sigma^2=x\,\ddot\sigma/\sigma$、右辺は例題 7.1.2 の $Q$ から $-\partial_xQ/m=\hbar^2x/(4m^2\sigma^4)$ なので、

$$\ddot\sigma=\frac{\hbar^2}{4m^2\sigma^3}\tag{7.1.18}$$

が出る。幅 $\sigma$ は、$1/\sigma^3$ に比例する外向きの力を受けて加速される。初期条件 $\sigma(0)=\sigma_0$、$\dot\sigma(0)=0$（相関なし）で解くと、$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\bigl(\dot\sigma^2+\tfrac{\hbar^2}{4m^2\sigma^2}\bigr)=0$ より $\dot\sigma^2=\tfrac{\hbar^2}{4m^2}\bigl(\tfrac{1}{\sigma_0^2}-\tfrac{1}{\sigma^2}\bigr)$、これを積分すれば (7.1.16) になる（(7.1.16) を2回微分して (7.1.18) に戻ることを検算で確かめた）。十分時間が経つと $\dot\sigma/\sigma\to1/t$ で、$v\to x/t$ となる。これは時刻 $0$ に原点を出た粒子がそれぞれの速さで等速に飛んだときの速度場である。量子圧力の力は $1/\sigma^3$ に比例して弱まるので、波束が広がったあとの流れは等速の自由な流れに近づく。

熱平衡（共通例題①の $Z$ と $\langle n \rangle$）は1つの波動関数で書けない混合状態なので、1つの流体 $(\rho,\bm{v})$ では表せない。第7部では、熱平衡を Nelson の確率過程の言葉で第5章（第7部第5章）と第6章で扱う。