この章のまとめ

(1) $\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}=\frac12$ なので $p_n=(1-\frac12)(\frac12)^n=2^{-(n+1)}$。$Z=1/(2\sinh(\ln2/2))$ で、$\sinh(\ln2/2)=(\sqrt2-1/\sqrt2)/2=1/(2\sqrt2)$ から $Z=\sqrt2$。$\langle n \rangle =1/(2-1)=1$。$S=-\sum_np_n\ln p_n=\sum_n2^{-(n+1)}(n+1)\ln2=2\ln2$（$\sum_n(n+1)2^{-(n+1)}=2$）。

(2) $t_\beta=\tanh(\ln2/2)=(\sqrt2-1/\sqrt2)/(\sqrt2+1/\sqrt2)=\frac13$ で、$\pi\hbar W_\beta(0,0)=t_\beta=\frac13$。純粋度は $\sum_np_n^2=\sum_n4^{-(n+1)}=\frac13$ で、$t_\beta$ に一致する（Gauss の $W_\beta$ で $2\pi\hbar\int W_\beta^2=t_\beta$）。$\langle x^2 \rangle =\frac{\hbar}{2m\omega}\coth(\ln2/2)=\frac{3\hbar}{2m\omega}$（$\coth=1/t_\beta=3$）。

(3) Mehler 核を $t=-\mathrm{i}\beta\hbar$ に延ばしてトレースをとると $Z=1/(2\sinh(\beta\hbar\omega/2))$ で、(1) と同じ $\sqrt2$ になる（第3部第6章の例題 3.6.1）。Matsubara の和は命題 11.1.1 の (c) で、$\frac{\hbar}{2m\omega}\coth(\ln2/2)=\frac{3\hbar}{2m\omega}$ となり (2) と一致する。

(4) $c=\coth(\beta\hbar\omega/2)=3$ で、$\varphi(W(a,b))=\exp\bigl(-\frac34\bigl(\frac{m\omega a^2}{\hbar}+\frac{b^2}{m\omega\hbar}\bigr)\bigr)$。$b$ で2回微分して $\langle x^2 \rangle =3\hbar/(2m\omega)$、$a$ で2回微分して $\langle p^2 \rangle =3\hbar m\omega/2$ を得る（第8部第4章の例題 8.4.3）。

(5) Ornstein–Uhlenbeck 過程 $\mathrm{d} X=-\gamma X\mathrm{d} t+\mathrm{d} W$（$\nu=\hbar/(2m)$）の定常分散は $\nu/\gamma=\hbar/(2m\gamma)$ で、これを $3\hbar/(2m\omega)$ に合わせると $\gamma=\omega/3$。この過程は角振動数 $\gamma$ の振動子の基底状態の Nelson の過程で、速度場 $v=0$、浸透速度 $u=\nu\partial_x\ln\rho=-\gamma x$ である。$\langle p^2 \rangle =m^2\langle u^2 \rangle =m^2\gamma^2\cdot\frac{\hbar}{2m\gamma}=\frac{m\hbar\gamma}{2}$ なので

$$\frac{\langle p^2 \rangle }{2m}+\frac{m\omega^2\langle x^2 \rangle }{2}=\frac{\hbar}{4}\Bigl(\gamma+\frac{\omega^2}{\gamma}\Bigr)=\frac{\hbar\omega}{4}\Bigl(\frac13+3\Bigr)=\frac56\hbar\omega.$$

一般には $\gamma=\omega\tanh(\beta\hbar\omega/2)$ で $\frac{\hbar\omega}{2}\coth(\beta\hbar\omega)$ になる。熱平衡の $\langle H \rangle =\frac{\hbar\omega}{2}\coth(\beta\hbar\omega/2)=\frac32\hbar\omega$ より小さく、位置の分布を合わせても運動量の分布が合わない。1つの定常な Nelson の過程で熱平衡が書けないことの具体例である（第7部第5章）。

(6) $Z=\sum_n2^{-n}=2$、$\langle n \rangle =1/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1)=1$。$Z$ は (1) の $\sqrt2$ の $\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega/2}=\sqrt2$ 倍で、$\langle n \rangle$ は同じである。半形式補正を足すと準位が $\hbar\omega/2$ 上がり、$Z$ は $\sqrt2$ に戻る（第10部第5章の命題 10.5.3）。(1)〜(4) と (6) の補正後では $Z$・$\langle n \rangle$・$\langle x^2 \rangle$ が同じになり、(5) だけが熱平衡のエネルギーを再現しない。