共通例題①：調和振動子の答えを全部の部の言葉で

量子力学の様々な構成方法　第11部 第1章 §11.1.4　★★★ エネルギー準位・分配関数・平均の量子数は全部の部で同じ形に出て、零点の $\frac12$ は演算子の並べ方の約束から決まる

答えの一覧

共通例題①の正答は $E_n=\hbar\omega(n+\frac12)$、$Z=1/(2\sinh(\beta\hbar\omega/2))$、$\langle n \rangle =1/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1)$ である。表 11.1.4 に、各部がどの道具でこれを出したかを並べた。どの行の式も、本文の式番号の所で正答と同じ形になっていることを各章の検算で確かめた。

第9部は共通例題①を扱わず、共通例題②（量子ビット）で状態空間を比べた（第9部第4章）。第1部では第1部第1章が $\langle x^2 \rangle$ を4通りに出し、第1部第3章が基底状態を位置・運動量・エネルギー・Bargmann の4つの表示で書いた。

零点の $\tfrac12$ を出さない構成

表 11.1.4 の外に、零点の $\frac12$ を出さない構成がいくつか現れた。どれも、何かを省いたときにどの量が変わるかを見せる例になっている。

古い量子論の Bohr–Sommerfeld の条件 $J=n\hbar$ からは $E_n=n\hbar\omega$ が出る（第1部第4章の例題 1.4.1）。作用角変数で正準量子化しても同じで（第2部第2章の式 (2.2.17)）、これがデカルト座標で量子化する理由になった。前量子化ではスペクトルが $\hbar\omega_0\mathbb Z$ で各準位が無限に縮退し（第10部第3章の式 (10.3.18)）、半形式補正のない正則偏極では準位が $\hbar\omega_0n$ になる（第10部第4章の命題 10.4.4）。

最後の例は、演算子の並べ方の約束と結びついている。第10部では、補正なし・半形式・$\mathrm{d} z$ 全体の3つが、正規順序・Weyl 順序・反正規順序に当たり、準位が $n\hbar\omega$・$(n+\frac12)\hbar\omega$・$(n+1)\hbar\omega$ になることを示した（第10部第5章・第10部第6章の図 10.6.1）。第6部第6章では、連続の Matsubara 積をどう組むかが同じ選択に当たることを示した（第6部第6章の6.6.3節）。第5部第6章の P・W・Q 表示も、正規・対称・反正規順序の期待値を計算するための3つの分布だった（第5部第6章の定理 5.6.2）。図 11.1.3 に3つの準位を並べる。

図 11.1.3　調和振動子の準位を3つの並べ方の約束で量子化したもの（下から4本）。間隔はどれも $\hbar\omega$ で、違うのは定数のずれだけ。Weyl 順序（第10部では半形式補正、第3部では Mehler 核の前の因子）で共通例題①の正答 $\hbar\omega(n+\frac12)$ になる。

準位の間隔が同じなので、熱平衡の確率 $p_n=(1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega})\mathrm{e}^{-n\beta\hbar\omega}$ と平均の量子数 $\langle n \rangle$ は3つの約束で同じになる。違うのは分配関数 $Z$ と自由エネルギー $F=- k_{\mathrm B} T\ln Z$ で、定数のずれ $c\hbar\omega$ が $Z$ に $\mathrm{e}^{-c\beta\hbar\omega}$ を掛ける。基準の $\hat H=\hat p^2/(2m)+m\omega^2\hat x^2/2$ は Weyl 順序の量子化なので、零点の $\frac12$ は「どの並べ方の約束を物理の $\hat H$ とするか」の選択である。この選択は、振動子を内部状態として持つ2つの系の干渉のように、零点のエネルギーの差が位相として測られる場合にだけ観測にかかる（第2部第6章の系 2.6.8）。