橋の索引（2）：外側の4つの構成と、同値が終わる所

(1) Heisenberg 描像で $\hat x_H(t)=\hat x\cos\omega t+(\hat p/(m\omega))\sin\omega t$ なので、$C(t)=\langle \hat x^2 \rangle \cos\omega t+\langle \hat p\hat x \rangle \sin\omega t/(m\omega)$ である。基底状態では $\langle \hat x^2 \rangle =\sigma_{\mathrm g}^2$、$\langle \hat p\hat x \rangle =-\mathrm{i}\hbar/2$ なので $C(t)=\sigma_{\mathrm g}^2(\cos\omega t-\mathrm{i}\sin\omega t)=\sigma_{\mathrm g}^2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$。虚部は交換子 $\left[\hat x_H(t),\,\hat x_H(0)\right]$ の半分から来るもので、実部 $\operatorname{Re} C=\sigma_{\mathrm g}^2\cos\omega t$ が対称化した相関である（第7部第6章の式 (7.6.8)）。

(2) $\mathrm{d} X=-\omega X\mathrm{d} t+\mathrm{d} W$ を解くと $X_t=\mathrm{e}^{-\omega t}X_0+\int_0^t\mathrm{e}^{-\omega(t-s)}\mathrm{d} W_s$ で、雑音の項は $X_0$ と独立である。したがって $\mathbb E[X_tX_0]=\mathrm{e}^{-\omega t}\mathbb E[X_0^2]=\sigma_{\mathrm g}^2\mathrm{e}^{-\omega t}$。符号を変えずに減衰し、基準の $\cos\omega t$ とは違う。

(3) 基底状態は実の波動関数で、位相 $S$ が一定なので速度場 $v=\partial_xS/m=0$ である。Bohm の粒子は静止していて $X(t)=X(0)$、相関は $\sigma_{\mathrm g}^2$ のまま変わらない。

(4) $\sigma_{\mathrm g}^2=\hbar/(2m\omega)=1.0546\times10^{-34}/(2\times1.443\times10^{-25}\times2\pi\times100)\,\mathrm m^2=0.582\,\mu\mathrm m^2$（$\sigma_{\mathrm g}=0.763\,\mu\mathrm m$）。$\omega t=\pi$ で、基準は $-0.582\,\mu\mathrm m^2$、Nelson は $0.582\,\mathrm{e}^{-\pi}=0.0251\,\mu\mathrm m^2$、Bohm は $0.582\,\mu\mathrm m^2$ である。時刻 $0$ に分解能のある位置の測定を入れると、Nelson の過程も Bohm の軌道も測定で変わり、相関は基準の $\sigma_{\mathrm g}^2\cos\omega t$ に一致する（第7部第6章の例題 7.6.4）。3つの構成の予言が一致するのは測定の統計に限られ、測らない量は構成ごとの追加の構造である。