橋：Nelson の実時間は基準の虚時間

定常な Ornstein–Uhlenbeck 過程では $(X(0),X(t))$ は分散 $\sigma_{\mathrm g}^2$・相関係数 $\mathrm{e}^{-\omega t}$ の2次元ガウス分布なので、Isserlis の公式（Gauss 分布の4次のモーメントを2次の積の和に分ける公式）から$\mathrm E[X(0)^2X(t)^2]=\sigma_{\mathrm g}^4(1+2\mathrm{e}^{-2\omega t})$。$t\to\mathrm{i} t$ と置くと $\sigma_{\mathrm g}^4(1+2\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\omega t})$ になる。基準では $\hat x^2| 0 \rangle =\sigma_{\mathrm g}^2(| 0 \rangle +\sqrt2| 2 \rangle )$ なので $\langle 0 | \hat x_{\mathrm H}(t)^2\hat x^2 | 0 \rangle =\sigma_{\mathrm g}^4(1+2\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\omega t})$ で、一致する。指数 $\mathrm{e}^{-2\omega t}$ の $2\omega$ は、$\hat x^2$ が基底状態をつなぐ先 $| 2 \rangle$ との励起エネルギーで、Nelson の相関の減衰の速さが基準のスペクトルをそのまま運んでいる。

第1励起状態の Nelson の相関 $C_1(t)=\sum_kc_k^2\mathrm{e}^{-(k-1)\omega t}$ を同じく接続すると $\sum_kc_k^2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(k-1)\omega t}$ になる。これは Dirichlet 条件を課した半直線の振動子の相関で、基準の $\sigma_{\mathrm g}^2(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}+2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t})$ とは違う（$t=0$ の値は同じ $3\sigma_{\mathrm g}^2$ だが、周波数が $0,2\omega,4\omega,\dots$ で、基準の $\pm\omega$ と合わない）。節で区切られた過程が知っているのは $\hat H_D$ であって $\hat H$ ではないので、命題の前提（正の基底状態）が外れると橋は架からない。