古典ビットと単体：分解が一意な状態空間

量子力学の様々な構成方法　第9部 第4章 §9.4.2　★★★ 古典の状態空間が単体であることと、どの状態も純粋な状態へただ1通りに分解できることが同値であることを証明し、古典と非古典の境目を状態空間の形で定める

古典の系の状態空間

古典の $d$ 準位系（$d$ 面のさいころ）の状態は、確率分布 $\bm{p}=(p_1,\dots,p_d)$（$p_i\ge0$、$\sum_ip_i=1$）である。その全体

$$\Delta_{d-1}=\Bigl\{\bm{p}\in\mathbb{R}^d\;\Big|\;p_i\ge0,\ \sum_ip_i=1\Bigr\}\tag{9.4.2}$$

は $d$ 個の点 $\bm{\delta}_1,\dots,\bm{\delta}_d$（$i$ 番目だけ $1$ の決定的な分布）の凸包である。$d=2$（古典ビット）では線分、$d=3$ では三角形になる。$\bm{\delta}_i$ は他の状態の混合に書けない端点（純粋な状態）で、目の出方が確定した状態に当たる。

効果は $\bm{p}$ の affine な関数で $[0,1]$ に値をとるものなので、$e(\bm{p})=\sum_ie_ip_i$（$e_i=e(\bm{\delta}_i)\in[0,1]$）と書ける。効果の全体は $[0,1]^d$ の超立方体である。どの測定 $\{e^{(k)}\}$ も、「目の値 $i$ を読み、確率 $e^{(k)}_i$ で結果 $k$ を出す」という手順で実現できる。すべての測定が目の値を読む1つの測定の後処理になるので、古典の系の測定はどの組も同時に行うことができる。$N=d$、$K=d$ である。

単体と分解の一意性

$d$ 個の点 $v_1,\dots,v_d$ が affine 独立であるとは、$\sum_i c_iv_i=0$ かつ $\sum_ic_i=0$ を満たす実数 $c_i$ が $c_i=0$ に限ることをいう。affine 独立な点の凸包を単体と呼ぶ。$\Delta_{d-1}$ の頂点 $\bm{\delta}_i$ は affine 独立なので、古典の状態空間は単体である。

物理の言葉に直すと、古典の混合状態は「本当はどの純粋な状態にいるか」の無知として、ただ1通りに読むことができる。量子の混合状態はそう読めない。同じ $\hat\rho$ を作るアンサンブルが無数にあることは 第4部第3章 で示した（Schrödinger–HJW の定理）。定理 9.4.3 はそれを状態空間の形の言葉で言い直したもので、分解が一意でないことは量子論に固有の性質でなく、単体でない状態空間を持つ一般確率論すべてに共通する性質である（J. Barrett (2007), Physical Review A 75, 032304 はこの点を強調した）。端点が無限個ある凸集合（例えば球）でも、2本の異なる弦の交点は2通りに分解されるので、分解は一意でない。

図 9.4.1　4つの状態空間。黒い点が端点（純粋な状態）、赤い点が混合状態、赤い線がその分解である。単体（線分・三角形）では分解が1通りに決まる。Bloch 球の断面では、点 $\bm{r}=(\frac12,0,0)$ を通る弦が無数にあり、どの弦の両端でも分解を書くことができる（図は水平と垂直の2本）。正方形の中心は2本の対角線の2通りに分解される。