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橋の索引（1）：基準と主流の5つの構成

2026年10月17日17分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第11部 第1章 同値性の地図をもう一度
目次
  1. 索引の表
  2. 表の読み方
  3. 2つの一意性の定理
  4. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第11部 第1章 §11.1.2　★★★ 第2〜6部の橋を、どちらの向きをどの定理で示したかと、成り立つ範囲とともに一覧にする

索引の表

表 11.1.1 に、基準と主流の5つの構成をつなぐ橋を、2つの向きと成り立つ範囲に分けて並べた。第1部第1章の表 1.1.4 では置き場の予定だけを書いたが、ここでは示した定理と命題の番号を書く。第2部第6章の表 2.6.1 と第8部第5章の表 8.5.1 も、それぞれの部の中の橋の一覧として使える。

表 11.1.1　橋の索引（基準と第2〜6部）
橋基準 → 構成構成 → 基準成り立つ範囲
基準 ↔ 波動関数位置表示 ψ(x)=⟨x∣ψ⟩\psi(x)=\langle x | \psi \rangle（第1部第3章の命題 1.3.2）同じ命題の逆向き（L2L^2 の関数から ∣ψ⟩| \psi \rangle）∣x⟩| x \rangle の位相は並進の条件で定数を除き一意
行列力学 ↔ 波動力学ℓ2→L2\ell^2\to L^2 のユニタリ（第1部第4章の命題 1.4.1）同じ命題の逆向きHermite 関数の完全性
基準 ↔ 行列力学3つの描像の期待値が一致（第2部第6章の命題 2.6.2）、運動方程式の2つの形の同値（第2部第3章の定理 2.3.4）Stone の定理で U^(t)\hat U(t)、Stone–von Neumann の定理で表現が一意（定理 2.6.5・系 2.6.8）有限自由度・正則な Weyl 表現
基準 → 経路積分時間分割と Trotter の積公式（第3部第2章の命題 3.2.2・定理 3.2.1）1区間の核の展開で Schrödinger 方程式、Stone と Chernoff（第3部第5章の命題 3.5.3）H^0+V^\hat H_0+\hat V が自己共役。逆向きは VV が実で滑らか
経路積分 ↔ 統計力学下半平面への解析接続と縮小半群の Trotter（第3部第6章の命題 3.6.1）対称性・合成則・δ の初期条件から H^\hat H を取り戻す（命題 3.6.3）H^\hat H が下に有界
基準 ↔ 密度行列ρ^=∣ψ⟩⟨ψ∣\hat\rho=| \psi \rangle \langle \psi |（第1部第1章の命題 1.1.1）浄化に Q3〜Q6 を当てると (D2)〜(D5)（第4部第2章の定理 4.2.5・4.2.4）浄化の補助系の次元が階数以上
同じ ρ^\hat\rho のアンサンブルアンサンブル＝浄化の相手の測定（第4部第3章の定理 4.3.3）同じ ρ^\hat\rho を与える組はユニタリで移り合う（定理 4.3.1）有限次元
基準 ↔ 量子チャネル環境を部分トレースで捨てると Kraus 表示（第4部第5章の定理 4.5.2）任意の CPTP 写像は大きな系のユニタリ（同じ定理）、POVM は射影測定（命題 4.5.3）初めに系と環境が積の状態
経路積分 × 密度行列前向きと後ろ向きの2本の経路で ρ^(t)\hat\rho(t)（第4部第6章の命題 4.6.1）振動子の熱浴の影響汎関数は Gauss 型で厳密（式 (4.6.11)）初めの相関なし
密度行列 ↔ 位相空間Wigner 変換、トレースの公式（第5部第2章の定理 5.2.5）「実数・規格化・純粋状態との重なりが非負」の関数は密度行列（定理 5.2.6）1自由度（多自由度も同じ形）
行列力学 ↔ 位相空間積の Weyl 記号は ⋆\star積（第5部第3章の定理 5.3.2）Moyal 方程式と Heisenberg・von Neumann 方程式の同値（定理 5.3.5）ℏ→0\hbar\to0 の Liouville は近似（2次の HH で厳密）
第二量子化 ↔ 位相空間ss 順序の期待値を P・W・Q の積分で（第5部第6章の定理 5.6.2）Fock 空間の ρmn\rho_{mn} と Q の1対1（定理 5.6.4）1モード（多モードは同じ形）
行列力学 → 第二量子化場の基準振動の各モードが振動子（第6部第1章の命題 6.1.1）粒子1個の部分は基準の1粒子と同じ（同じ命題）合流（新しい公理を足さない）
基準 ↔ 第二量子化対称化した空間の直和に a^†\hat a^\dagger を定義（第6部第2章の定理 6.2.2）交換関係と巡回的な真空からユニタリ同値（定理 6.2.3）、演算子の書き換え（定理 6.2.4）真空を持つ表現（無限体積で外れる）
フェルミの Fock ↔ テンソル積Jordan–Wigner 変換（第6部第3章の定理 6.3.4）同じ定理の逆向き有限個のモード
大正準 ↔ 正準大正準を粒子数で切ると正準（第6部第5章の命題 6.5.6）正準を zNZN/Ξz^NZ_N/\Xi の重みで足すと大正準（同じ命題）凝縮体の数の揺らぎは正準で計算
第二量子化 ↔ 経路積分コヒーレント状態の完全系で時間分割（第6部第6章の命題 6.6.2）再生核で Bargmann 表示の Schrödinger 方程式（同じ命題）和の組み方が演算子の順序を決める

表の読み方

表の第2列と第3列がどちらも埋まっている行が、段階 (i) と (ii) の両向きの橋である。第3列が「同じ命題の逆向き」になっている行は、1つの命題の中で全単射まで示したもので、第3列が別の定理になっている行は、逆向きに別の道具が要った行である。基準と経路積分の間では、基準から経路積分へは Trotter の積公式、経路積分から基準へは Stone の定理と Chernoff の積公式と、使う定理が違う。この違いは、経路積分の測度が実時間では定義できず（第3部第7章）、離散化の極限としてしか扱えないことによる。

第4列の「成り立つ範囲」は、前提を外したときに何が起きるかの索引でもある。Stone–von Neumann の定理の前提「有限自由度」を外すと、交換関係を満たす表現が無数に分かれる（第8部第3章の定理 8.3.5）。「正則な表現」を外すと、区間の運動量のように同じ Heisenberg 方程式が別のスペクトルを持つ（第2部第6章の式 (2.6.8)）。第二量子化で「真空を持つ表現」を外すと、無限体積の Bogoliubov 真空や BCS 状態が Fock 空間の外に出る（第6部第7章の式 (6.7.16)・第8部第5章）。

2つの一意性の定理

第2部第6章の Stone–von Neumann の定理（定理 2.6.5）と、第6部第3章の Jordan–Wigner 変換の定理（定理 6.3.4）は、同じ形の主張を持つ。前者は「有限自由度の正準交換関係を満たす既約で正則な表現は Schrödinger 表現だけ」、後者は「有限個のモードの反交換関係の表現は量子ビットのテンソル積と同じで、既約なものは1つ」である。どちらも、交換関係（反交換関係）という代数の規則だけから、ヒルベルト空間とその上の演算子が一意に決まることを言う。違いは証明の道具にある。ボース粒子の a^\hat a は非有界なので、Weyl の関係に直して Gauss 平均の射影 PP を作る（第2部第6章の補題 2.6.6）。フェルミ粒子の c^\hat c は ∥c^∥=1\lVert \hat c\rVert =1 の有界な演算子なので、2n2^n 次元の行列として直接扱える（第8部第3章の命題 8.3.6）。どちらの一意性も、モードを無限個にすると成り立たなくなる（第8部第3章）。

例題 11.1.2　3つの部の結果を1つの式で確かめる：振動子の 1/4 周期は Fourier 変換 ★★

オリジナル調和振動子の Mehler 核（共通例題①、第3部第3章の式 (3.3.28)）

K(xf,t;xi,0)=mω2πiℏsin⁡ωtexp⁡{imω2ℏsin⁡ωt[(xf2+xi2)cos⁡ωt−2xfxi]}K(x_f,t;x_i,0)=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\mathrm{i}\hbar\sin\omega t}}\exp\Bigl\{\frac{\mathrm{i} m\omega}{2\hbar\sin\omega t}\bigl[(x_f^2+x_i^2)\cos\omega t-2x_fx_i\bigr]\Bigr\}

を使う。

  1. (1) ωt=π/2\omega t=\pi/2 での KK を求め、位置表示から運動量表示への Fourier 変換の核（第1部第3章）と比べよ。
  2. (2) 振動子の固有関数 ψn\psi_n は Fourier 変換 F^\hat F の固有関数で、固有値は (−i)n(-\mathrm{i})^n である。(1) の結果と U^(t)ψn=e−iωt(n+1/2)ψn\hat U(t)\psi_n=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t(n+1/2)}\psi_n が矛盾しないことを確かめよ。
  3. (3) (1) を4回合成すると U^(2π/ω)=−1\hat U(2\pi/\omega)=-1 になることを示し、第2部第6章の例題 2.6.5 の結論と比べよ。
解答

(1) sin⁡(π/2)=1\sin(\pi/2)=1、cos⁡(π/2)=0\cos(\pi/2)=0 なので K=mω/(2πiℏ) exp⁡(−imωxfxi/ℏ)K=\sqrt{m\omega/(2\pi\mathrm{i}\hbar)}\,\exp(-\mathrm{i} m\omega x_fx_i/\hbar) である。1/i=e−iπ/41/\sqrt{\mathrm{i}}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}（tt に負の小さな虚部を足す枝）を使うと

K(xf,π2ω;xi,0)=e−iπ/4mω2πℏ e−imωxfxi/ℏ.K\Bigl(x_f,\frac{\pi}{2\omega};x_i,0\Bigr)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\hbar}}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} m\omega x_fx_i/\hbar}.

長さを ℓ=ℏ/(mω)\ell=\sqrt{\hbar/(m\omega)} で測って ξ=x/ℓ\xi=x/\ell と書くと、右辺は e−iπ/4\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4} と、ξ\xi についての Fourier 変換の核 e−iξfξi/2π\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\xi_f\xi_i}/\sqrt{2\pi} の積になる。運動量表示の核 ⟨p∣x⟩=e−ipx/ℏ/2πℏ\langle p | x \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i} px/\hbar}/\sqrt{2\pi\hbar} で p=mωxfp=m\omega x_f とおいたものと同じ形である。1/4 周期の間に、位置の分布が運動量の分布に入れ替わる。

(2) (1) は U^(π/(2ω))=e−iπ/4F^\hat U(\pi/(2\omega))=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}\hat F を意味する。ψn\psi_n に当てると e−iπ/4(−i)nψn=e−iπ/4e−iπn/2ψn=e−i(π/2)(n+1/2)ψn\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}(-\mathrm{i})^n\psi_n=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi n/2}\psi_n=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\pi/2)(n+1/2)}\psi_n で、e−iωt(n+1/2)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t(n+1/2)} の ωt=π/2\omega t=\pi/2 と一致する。零点の 12\frac12 は、前の因子 e−iπ/4\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4} の中にある。n=1n=1 では U^ψ1=e−3iπ/4ψ1\hat U\psi_1=\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}\pi/4}\psi_1 で、これは数値の積分でも確かめられる。

(3) U^(2π/ω)=U^(π/(2ω))4=e−iπF^4\hat U(2\pi/\omega)=\hat U(\pi/(2\omega))^4=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi}\hat F^4 で、F^4=1\hat F^4=1 なので −1-1 である。第2部第6章では、Stone–von Neumann の定理の系として、交換関係を保つ時間発展は位相を除いて一意で、その位相 cc の選び方が H^\hat H の定数項（零点）に当たることを示し、c=12c=\frac12 で同じ −1-1 を得た。同じ結論が、第3部の Gauss 積分（Mehler 核）、第1部の表示の取り替え（Fourier 変換）、第2部の代数（一意性の系）の3つから出る。

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