橋：1926 年の2つの理論を、基準の中で並べる

量子力学の様々な構成方法　第1部 第4章 §1.4.6　★★★ 行列力学と波動力学は、基準の同じ状態と演算子をエネルギー表示と位置表示で書いたもので、ユニタリ写像で両向きに移り合う

両向きの同値を示す

1926 年に欠けていた逆向きを、1.4.5 節の道具で閉じる。調和振動子の固有関数 $\{\varphi_n\}$ を完全系に取り、行列力学の数列の空間 $\ell^2$ から波動力学の $L^2(\mathbb{R})$ への写像を $(\mathcal U c)(x)\coloneqq\sum_nc_n\varphi_n(x)$ と定める（$\mathcal U$ は時間発展の $\hat U$ と区別するため筆記体で書く）。$X$, $P$ は例題 1.4.3 の Born–Jordan の行列（切らない無限の行列）とし、有限個を除いて $0$ の数列の集合を $\mathcal F$ と書く。

定義域についての注意を1つ書く。$X$, $P$ は有界でないので、$\ell^2$ の全体には作用しない。(ii) は稠密な $\mathcal F$ の上で示したもので、閉包を取ると$\mathcal UX\mathcal U^{-1}$ と掛け算 $x$ の自己共役な拡張が一致する。この種の議論を整えたのが von Neumann の 1929〜1932 年の仕事で、1926 年の Schrödinger の論文が扱えなかった所である。また、命題は調和振動子の固有関数という特定の基底を使ったが、Stone–von Neumann の定理（第2部第6章）は、交換関係を Weyl の形 (1.4.12) で満たす既約な表現がどれもこれとユニタリ同値であることを保証するので、基底の選び方には依らない。

基準と、同値性の地図の中での位置

命題 1.4.1 を基準の言葉に直すと、抽象的なヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ の状態 $| \psi \rangle$ を、エネルギーの固有ベクトル $| n \rangle$ で成分表示したものが行列力学の数列 $c_n=\langle n | \psi \rangle$、位置の一般化固有ベクトル $| x \rangle$ で成分表示したものが波動関数 $\psi(x)=\langle x | \psi \rangle$ で、$\mathcal U$ は表示の取り替え $\langle x | n \rangle =\varphi_n(x)$ そのものである。並べると次のようになる。

$$\langle \hat A \rangle =\sum_{m,n}c_m^*A_{mn}c_n=\int\psi^*(x)\,A\!\left(x,-\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\right)\psi(x)\,\mathrm{d} x=\langle \psi | \hat A | \psi \rangle .\tag{1.4.14}$$

左が行列力学、中が波動力学、右が基準の書き方である。時間の扱いでは、行列力学は時間を行列の側 $A_{mn}(t)=A_{mn}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{mn}t}$ に、波動力学は関数の側 $\psi(x,t)$ に持たせた。前者が Heisenberg 描像、後者が Schrödinger 描像で、構成の違いと描像の違いが1926 年には重なっていた。2つが別の軸であることは第1部第1章で示した。

第1部第1章の同値性の地図の矢印のうち、この7年間に示されたものを年で並べると次の表になる。地図の残りの矢印（経路積分・位相空間・第二量子化・流体・代数・再構成・幾何学的量子化）は、すべてこの基準ができた後に、基準を経由して架けられた。

第1部第1章の一覧表の年を書誌で確かめる

第1部第1章の構成の一覧表は、各構成に代表的な年を添えている。その年を、代表の論文または本の書誌と照らした結果が表 1.4.2 である。一覧表の年はすべて書誌の刊行年と一致した。投稿と刊行の年がまたがるもの（この章で引いた Hilbert–von Neumann–Nordheim は 1927 年受付で 1928 年刊）は、刊行年を採る。

学部の授業での書き方との対応

学部の授業では、行列要素を $A_{mn}=\int\psi_m^*\hat A\psi_n\,\mathrm{d} x$ と定義し、「エネルギー固有関数で挟んだ積分を並べた表が行列」と説明することが多い。これは (1.4.10) そのもの、つまり 1926 年 3 月の Schrödinger の向きである。逆向き（行列から関数へ）を授業で扱わないのは、基準の公理を先に置いて、両方を同じ $| \psi \rangle$ の成分として定義してしまえば、命題 1.4.1 の (i) が「完全系による展開」という1行に縮むからである。1926 年に問題だったのは、その「先に置く基準」がまだ無かったことである。