1926 年の前半：波動力学

量子力学の様々な構成方法　第1部 第4章 §1.4.3　★★ 物質波から固有値問題へ。基本の対象は配位空間の関数で、行列力学とは数学の道具も物理の描き方も違った

de Broglie の物質波

L. de Broglie は 1924 年の学位論文で、光が粒子の性質を持つなら電子のような粒子も波の性質を持つとし、運動量 $p$ の粒子に波長

$$\lambda=\frac{h}{p}\tag{1.4.6}$$

の波を対応させた¹1L. de Broglie (1925), Annales de Physique (10e série) 3, 22–128（1924 年の学位論文）。下の脚注へ閉じる。Bohr の軌道の条件 $m_evr=n\hbar$ は、軌道の1周 $2\pi r$ に波長がちょうど $n$ 個乗るという定在波の条件 $2\pi r=n\lambda$ と同じ式になる（例題 1.4.4）。量子条件の整数が、波の節の数として読める。電子の波の性質は 1927 年に C. Davisson と L. H. Germer がニッケルの単結晶での電子の回折として観測した²2C. Davisson and L. H. Germer (1927), Physical Review 30, 705–740。下の脚注へ閉じる。

Schrödinger の4部作（1926 年 1〜6 月）

E. Schrödinger は de Broglie の波を、境界条件つきの微分方程式の固有値問題として書いた。表題はどれも「固有値問題としての量子化」で、Annalen der Physik に4部に分けて出た³3E. Schrödinger (1926), Annalen der Physik 79, 361–376（第1部・1月 27 日受付）；79, 489–527（第2部・2月 23 日受付）；80, 437–490（第3部・5月 10 日受付）；81, 109–139（第4部・6月 21 日受付）。下の脚注へ閉じる。

第1部は水素原子を扱い、時間によらない方程式

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi=E\psi\tag{1.4.7}$$

を変分原理から導いて、$\psi$ が無限遠で有限に留まるという条件から Bohr の準位を固有値として得た。量子数は、もはや後から課す整数条件でなく、方程式の解が境界条件を満たすための条件として出てくる。第2部は、光学と力学の類似（幾何光学と Hamilton の原理の対応）から波動方程式を動機づけ直し、調和振動子・剛体回転子・2原子分子を解いた。調和振動子の固有値は $E_n=\hbar\omega(n+\tfrac12)$ で、Heisenberg が行列で出したものと一致した。第3部は摂動論と Stark 効果、第4部で初めて、時間を含む方程式

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi\tag{1.4.8}$$

が複素数の $\psi$ に対して立てられた。第2部と第3部の間、1926 年 3 月 18 日に受け付けられたのが、次の節で扱う同値の論文である。したがって同値の論文の時点で、波動力学はまだ時間を含む方程式を持っていなかった。

$\psi$ は何か：Schrödinger の解釈と Born の確率

Schrödinger は $\psi$ を実在の波と考え、$e\lvert \psi\rvert ^2$ を電荷の密度とみなした。1926 年 7 月の短い論文では、調和振動子の固有関数を重ね合わせた波束が広がらずに古典の軌道と同じ振動をすることを示し、粒子は波束として理解できると論じた⁴4E. Schrödinger (1926), Die Naturwissenschaften 14, 664–666。下の脚注へ閉じる（この波束は今のコヒーレント状態で、例題 1.4.6 で扱う）。しかし自由粒子の波束は広がる（第1部第1章の共通例題③）ので、一般の粒子を波束とみなすことはできない。

M. Born は 1926 年 6 月 25 日受付の短い論文で衝突の問題を波動力学で解き、散乱波の振幅が、その方向へ粒子が飛ぶ確率を決めると解釈した⁵5M. Born (1926), Zeitschrift für Physik 37, 863–867（1926 年 6 月 25 日受付）。下の脚注へ閉じる。本文では確率を振幅そのもので述べ、校正の段階で加えた注で、確率は振幅の2乗に比例すると改めている。これが基準の公理 Q3（Born の規則）の始まりである。