1926 年 3 月：Schrödinger の同値の証明と、示されなかった向き

量子力学の様々な構成方法　第1部 第4章 §1.4.4　★★★ 波動関数の完全系があれば行列力学の行列が作れる。逆向きは 1926 年には示されていなかった

波動関数から行列を作る

Schrödinger の論文「Heisenberg・Born・Jordan の量子力学と私の量子力学の関係について」は 1926 年 3 月 18 日に受け付けられた¹1E. Schrödinger (1926), Annalen der Physik 79, 734–756（1926 年 3 月 18 日受付）。下の脚注へ閉じる。その要点は次の構成である。区間（または全空間）上の関数の正規直交な完全系 $\{u_k(x)\}$ を1つ取る。正規直交と完全は

$$\int u_k^*(x)u_l(x)\,\mathrm{d} x=\delta_{kl},\qquad \sum_k u_k(x)u_k^*(x')=\delta(x-x')\tag{1.4.9}$$

である。古典の物理量 $F(x,p)$ に対して、$p$ を微分 $-\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x$ に置き換えた微分演算子を $F(x,-\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x)$ と書き、行列

$$F_{kl}\coloneqq\int u_k^*(x)\,F\!\left(x,-\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\right)u_l(x)\,\mathrm{d} x\tag{1.4.10}$$

を作る。すると次の3つが成り立つ。

第一に、積の規則が行列の積になる。演算子 $\hat F\hat G$ の行列要素は、間に (1.4.9) の完全性を挟むと

$$(FG)_{kl}=\int u_k^*\,\hat F\hat G\,u_l\,\mathrm{d} x=\sum_m\int u_k^*\hat Fu_m\,\mathrm{d} x\int u_m^*\hat Gu_l\,\mathrm{d} x=\sum_mF_{km}G_{ml}$$

である。第二に、関数に作用する演算子として $x(-\mathrm{i}\hbar\psi')-(-\mathrm{i}\hbar)(x\psi)'=\mathrm{i}\hbar\psi$ が恒等的に成り立つので、$(xp-px)_{kl}=\mathrm{i}\hbar\delta_{kl}$、つまり (1.4.4) が出る。第三に、$u_k$ を (1.4.7) の固有関数（エネルギー $E_k$）に取ると$H_{kl}=E_k\delta_{kl}$ は対角になり、行列に時間の因子を付けた $x_{kl}(t)=x_{kl}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{kl}t}$ は Heisenberg の運動方程式を満たす。こうして、波動力学の解から行列力学の解が組み立てられる。Schrödinger は、完全系の取り方は任意であり、エネルギーの固有関数を選んだときにHeisenberg の行列そのものになることも注意している。この構成は、今の言葉では「エネルギー表示で行列要素を取る」ことである（第1部第3章）。

同じ年の 4 月 12 日に Pauli は Jordan への手紙で同じ対応を独立に示したが、公表しなかった。C. Eckart は演算子の計算規則として同じ内容をPhysical Review に出した²2C. Eckart (1926), Physical Review 28, 711–726（1926 年 10 月 1 日刊）。下の脚注へ閉じる。

行列から関数への向き

(1.4.10) は、波動関数の側から行列の側への写像である。逆向き、つまり行列力学の側に与えられた無限の行列 $X$, $P$ から出発して、それを $x$ と $-\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x$ に戻す関数の系を作れるか、という問いには、1926 年の論文は答えていない。F. A. Muller はこの点を詳しく論じ、Schrödinger と Eckart の証明は写像が全単射であることを示しておらず、当時の2つの理論は数学的にも経験的にも同値でなかったと結論している³3F. A. Muller (1997), Studies in History and Philosophy of Modern Physics 28, 35–61（第1部）・219–247（第2部）。下の脚注へ閉じる。理由は少なくとも3つある。1つ目に、行列力学には状態の空間がなく、波動力学には関数の空間があった。行列が作用する数列の空間と関数の空間が同じ構造を持つことは、まだ誰も示していなかった。2つ目に、どんな数列が許されるか（行列の列として和が収束する範囲）が決まっていなかった。3つ目に、3 月の時点で波動力学には時間を含む方程式 (1.4.8) が無く、Schrödinger は $\lvert \psi\rvert ^2$ を電荷の密度と読んでいたので、2つの理論は観測の予言の読み方も違っていた。Muller によれば、2つの理論が同じものの2つの書き方になったのは、どちらも作り直されてvon Neumann のヒルベルト空間の上に置かれた後である。

図 1.4.1　1926 年の同値の証明と、その後の統合。Schrödinger の構成 (1.4.10) は波動力学から行列力学への向き（赤の実線）だけを与えた。逆向き（破線）は、両者を抽象的なヒルベルト空間の2つの表示として並べ、$\ell^2$ と $L^2$ が同じ構造を持つこと（Riesz–Fischer の定理）を使って初めて閉じる（1.4.5 節・1.4.6 節）。