この章のまとめ

(1) $\hbar\omega=h\times10^{13}\,\mathrm{Hz}=41.36\,\mathrm{meV}$。古い量子論は $E_n=n\hbar\omega$、正しくは $\hbar\omega(n+\tfrac12)$ なので、全ての準位で差は零点エネルギー $\hbar\omega/2=20.68\,\mathrm{meV}$ である。遷移の振動数 (1.4.1) は差しか見ないので、この差は1つの分子のスペクトル線の位置には現れず、例題 1.4.2 のように同位体を比べたときに現れる。

(2) 例題 1.4.3 で $N=3$ とおいて $\left[X,\,P\right]=\mathrm{i}\hbar\operatorname{diag}(1,1,-2)$、$H=\operatorname{diag}(\tfrac12,\tfrac32,1)\hbar\omega$。壊れているのは切り口の成分 $\left[X,\,P\right]_{22}=-2\mathrm{i}\hbar$ と $H_{22}=\hbar\omega$（正しくは $\tfrac52\hbar\omega$）で、どちらもトレースを $0$ に保つために生じた誤差である。

(3) 例題 1.4.5 から $x_{10}=\int\varphi_1x\varphi_0\,\mathrm{d} x=x_0/\sqrt2$。数値は

$$x_0=\sqrt{\frac{1.0546\times10^{-34}}{1.6605\times10^{-27}\times6.283\times10^{13}}}\,\mathrm m=31.79\,\mathrm{pm},\qquad x_{10}=22.48\,\mathrm{pm}.$$

分子の結合の長さ（$100\,\mathrm{pm}$ の桁）より小さいので、振動を調和振動子で扱う模型は大きくは外れない。

(4) 中心は $\sqrt2\,x_0\lvert \alpha\rvert \cos(\omega t-\arg\alpha)$ で振動し、振幅は $\sqrt2\times3\times31.79\,\mathrm{pm}=134.9\,\mathrm{pm}$。エネルギーは $\sum_n\lvert c_n\rvert ^2\hbar\omega(n+\tfrac12)=\hbar\omega(\lvert \alpha\rvert ^2+\tfrac12)=9.5\hbar\omega=392.9\,\mathrm{meV}$（$\sum_nn\lvert c_n\rvert ^2=\lvert \alpha\rvert ^2$ は Poisson 分布の平均）。位置の幅（標準偏差）は $x_0/\sqrt2=22.5\,\mathrm{pm}$ で時間によらない。Heisenberg 描像では、時刻 $0$ の期待値 $\langle x \rangle =\sqrt2\,x_0\operatorname{Re}\alpha$、$\langle p \rangle =\sqrt2\,(\hbar/x_0)\operatorname{Im}\alpha$ を使って$\langle x \rangle (t)=\sqrt2\,x_0\bigl(\operatorname{Re}\alpha\cos\omega t+\operatorname{Im}\alpha\sin\omega t\bigr)=\sqrt2\,x_0\lvert \alpha\rvert \cos(\omega t-\arg\alpha)$（$\hbar/(m\omega x_0)=x_0$ を使った）。状態を動かした例題 1.4.6 の結果と、演算子を動かした結果が一致する。

(5) 行列力学：$X=x_0(a+a^{\mathsf T})/\sqrt2$ と、数列 $c$ が $ac=\alpha c$（$(ac)_n=\sqrt{n+1}\,c_{n+1}=\alpha c_n$）を満たすことから

$$\langle x^2 \rangle =\frac{x_0^2}{2}\bigl(\alpha^2+\alpha^{*2}+2\lvert \alpha\rvert ^2+1\bigr)$$

（$a^{\mathsf T}a$ の期待値が $\lvert \alpha\rvert ^2$、$aa^{\mathsf T}=a^{\mathsf T}a+1$ の分の $1$）。波動力学：$\lvert \psi\rvert ^2$ は中心 $\bar x=\sqrt2\,x_0\operatorname{Re}\alpha$、分散 $x_0^2/2$ の Gauss 分布なので $\langle x^2 \rangle =\bar x^2+x_0^2/2=2x_0^2(\operatorname{Re}\alpha)^2+x_0^2/2$。$\alpha^2+\alpha^{*2}+2\lvert \alpha\rvert ^2=4(\operatorname{Re}\alpha)^2$ なので両者は一致する。$\alpha=3\mathrm{e}^{0.5\mathrm{i}}$ で数値の積分でも一致を確かめた（$\langle x^2 \rangle /x_0^2=14.36$）。