橋：期待値を各構成の言葉で書く

（基準→密度行列）正規直交基底 $\{| k \rangle \}$ でトレースをとると $\operatorname{Tr}(| \psi \rangle \langle \psi |\hat A)=\sum_k\langle k | \psi \rangle \langle \psi | \hat A | k \rangle =\sum_k\langle \psi | \hat A | k \rangle \langle k | \psi \rangle$ となり、$\sum_k| k \rangle \langle k |=1$ を使えば $\langle \psi | \hat A | \psi \rangle$ に等しい。$\langle \phi | \hat\rho | \phi \rangle =\lvert \langle \psi | \phi \rangle \rvert ^2\ge0$、$\operatorname{Tr}\hat\rho=\langle \psi | \psi \rangle =1$、$\hat\rho^2=| \psi \rangle \langle \psi | \psi \rangle \langle \psi |=\hat\rho$ である。

（密度行列→基準）$\hat\rho^2=\hat\rho$ と $\hat\rho=\hat\rho^\dagger$ から $\hat\rho$ は直交射影で、固有値は $0$ か $1$ である。$\operatorname{Tr}\hat\rho=1$ なので固有値 $1$ はちょうど1つで、その固有空間は1次元である。その固有空間の単位ベクトルを $| \psi \rangle$ とすると $\hat\rho=| \psi \rangle \langle \psi |$。固有空間の単位ベクトルは $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}| \psi \rangle$ の形に限られ、$| \psi \rangle$ を $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}| \psi \rangle$ に替えても $| \psi \rangle \langle \psi |$ は変わらない。

左辺に式 (1.1.9) を代入すると、$y$ と $y'$ の2つの積分変数を持つ式になる。

$$\int\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p\,W\!A_W=\frac{1}{\pi\hbar}\int\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d} y'\,\langle x+y | \hat\rho | x-y \rangle \langle x-\tfrac{y'}2 | \hat A | x+\tfrac{y'}2 \rangle \int\mathrm{d} p\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} p(y'-2y)/\hbar}.$$

$p$ の積分は $\int\mathrm{d} p\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} p(y'-2y)/\hbar}=2\pi\hbar\,\delta(y'-2y)$ なので、$y'$ の積分で $y'=2y$ となり、

$$\int\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p\,W\!A_W=2\int\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,\langle x+y | \hat\rho | x-y \rangle \langle x-y | \hat A | x+y \rangle .$$

変数を $u=x+y$、$v=x-y$ に変えると $\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y=\frac12\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v$ なので、右辺は $\int\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v\,\langle u | \hat\rho | v \rangle \langle v | \hat A | u \rangle =\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A)$ になる。最後の等号は位置の完全系 $\int\mathrm{d} v| v \rangle \langle v |=1$ を使った。