この章のまとめ

(1) 式 (1.1.2) の期待値をとる。$\psi_0$ は実数で偶関数なので $\langle \hat x\hat p+\hat p\hat x \rangle =-\mathrm{i}\hbar\int\bigl(2x\psi_0\psi_0'+\psi_0^2\bigr)\mathrm{d} x=-\mathrm{i}\hbar\int\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x\psi_0^2)\,\mathrm{d} x=0$。$\langle \hat x^2 \rangle =\sigma_0^2$、$\langle \hat p^2 \rangle =\hbar^2\int(\psi_0')^2\mathrm{d} x=\hbar^2\cdot\frac{1}{4\sigma_0^4}\langle x^2 \rangle =\frac{\hbar^2}{4\sigma_0^2}=\sigma_p^2$ なので、$\langle \hat x_H(t)^2 \rangle =\sigma_0^2+\sigma_p^2t^2/m^2$。

(2) $\psi(x,t)$ の被積分関数の指数は $\frac{\mathrm{i} m(x-x_i)^2}{2\hbar t}-\frac{x_i^2}{4\sigma_0^2}$ で、$x_i$ について2次である。$x_i^2$ の係数を $-a$、$x_i$ の係数を $b$ とすると$a=\frac{1}{4\sigma_0^2}-\frac{\mathrm{i} m}{2\hbar t}$、$b=-\frac{\mathrm{i} mx}{\hbar t}$。Gauss 積分の公式で $x_i$ を積分すると、$\tau=\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}$ として

$$\psi(x,t)=(2\pi\sigma_0^2)^{-1/4}(1+\mathrm{i}\tau)^{-1/2}\exp\Bigl[-\frac{x^2}{4\sigma_0^2(1+\mathrm{i}\tau)}\Bigr]$$

となる（指数は $\frac{\mathrm{i} mx^2}{2\hbar t}+\frac{b^2}{4a}$ を通分して得る）。$\operatorname{Re}\frac{1}{1+\mathrm{i}\tau}=\frac{1}{1+\tau^2}$ なので$\lvert \psi\rvert ^2\propto\exp\bigl(-\frac{x^2}{2\sigma_0^2(1+\tau^2)}\bigr)$ で、分散は $\sigma_0^2(1+\tau^2)=\sigma_0^2+\bigl(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0}\bigr)^2$。$\sigma_p=\hbar/(2\sigma_0)$ を代入すれば(1)と一致する。

(3) $W_0$ は $x$ と $p$ の Gauss 関数の積で、$\int\mathrm{d} x\,\mathrm{e}^{-x^2/(2\sigma_0^2)}=\sqrt{2\pi}\sigma_0$、$\int\mathrm{d} p\,\mathrm{e}^{-p^2/(2\sigma_p^2)}=\sqrt{2\pi}\sigma_p$ から$\int W_0=\frac{2\pi\sigma_0\sigma_p}{\pi\hbar}=\frac{2\sigma_0\sigma_p}{\hbar}=1$。$W(x,p,t)=W_0(x-pt/m,p)$ は、$u=x-pt/m$ と $p$ が独立な Gauss 分布に従うことを表すので、$x=u+pt/m$ の分散は $\sigma_0^2+\sigma_p^2t^2/m^2$ で、(1)と一致する。命題 1.1.2 で $A_W=x^2$ ととれば、この分散は $\operatorname{Tr}(\hat\rho(t)\hat x^2)$ に等しい。式は例題 1.1.2 の古典の結果と同じ形で、違いは $\sigma_0\sigma_p=\hbar/2$ が課されていることだけである。

(4) $\mathrm{e}^{\mathrm{i} p_0\hat x/\hbar}$ は運動量を $p_0$ だけずらすので、ずらした波束では $\langle \hat x \rangle =0$、$\langle \hat p \rangle =p_0$、$\langle \hat p^2 \rangle =\sigma_p^2+p_0^2$、$\langle \hat x\hat p+\hat p\hat x \rangle =2p_0\langle \hat x \rangle +0=0$ である。式 (1.1.2) は演算子の恒等式なので、$\operatorname{Tr}(\hat\rho\,\hat x_H(t)^2)$ は各波束の値を $g$ で平均すればよく、

$$\operatorname{Tr}(\hat\rho\,\hat x_H(t)^2)=\sigma_0^2+\bigl(\sigma_p^2+m k_{\mathrm B} T\bigr)\frac{t^2}{m^2}.$$

$\langle \hat x_H(t) \rangle =\int g(p_0)p_0t/m\,\mathrm{d} p_0=0$ なので、これが位置の分散である。時刻 $0$ の位置の分布は純粋状態と同じ（分散 $\sigma_0^2$）だが、運動量の分散が $m k_{\mathrm B} T$ だけ大きいので速く広がる。広がりを決めるのは $\langle \hat p^2 \rangle$ と相関だけで、それが純粋状態のゆらぎ（$\sigma_p^2$）か熱的な混合（$m k_{\mathrm B} T$）かは式 (1.1.2) の中では区別されない。

(5) $\sigma_p^2=\hbar^2/(4\sigma_0^2)=(1.0546\times10^{-34})^2/(4\times10^{-18})\approx2.78\times10^{-51}\,\mathrm{kg^2\,m^2\,s^{-2}}$、$m k_{\mathrm B} T=9.109\times10^{-31}\times1.3806\times10^{-23}\times300\approx3.77\times10^{-51}\,\mathrm{kg^2\,m^2\,s^{-2}}$ で、比は約 $1.36$ である。純粋状態では例題 1.1.1 と同じく $\sigma\approx57.9\,\mathrm{nm}$。混合状態では $\sqrt{\sigma_p^2+m k_{\mathrm B} T}/m\approx8.89\times10^4\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ に $t=10^{-12}\,\mathrm s$ を掛けて（$\sigma_0^2$ は無視できる）$\sigma\approx88.9\,\mathrm{nm}$。比は $\sqrt{1+1.36}\approx1.54$ で、室温の熱的な速度のばらつき $\sqrt{ k_{\mathrm B} T/m}\approx6.74\times10^4\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ が、閉じ込めによる運動量のゆらぎと同じ程度の大きさを持つことが分かる。