構成の一覧：採るものと採らないもの

2026年10月17日10分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第1部第1章この巻で扱う構成方法とその長所と短所

選び方
階層の違う構成：第二量子化
古典力学もヒルベルト空間で書ける
木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第1部第1章 §1.1.2　★★★ 知られている構成を十数種並べ、主流であること・専攻との関係・同値性の橋の太さの3つの基準で9つを採る

選び方

量子力学を組み立てる出発点として提案されたものは多い。この巻では、次の3つの基準で9つを選んだ。1つ目は、教科書や論文で実際に使われ、読めないと困る構成であること（主流であること）。2つ目は、物理工学科の3年後期で学ぶ内容（量子物理工学・固体物理・光学と量子エレクトロニクス）と、量子情報・統計力学・確率論・解析力学への関心に当たること。3つ目は、ほかの構成との間に同値性を示す道筋がはっきりあること。比べることが目的の巻なので、ほかの構成とつながらない構成は採らない。

表 1.1.1 は、知られている構成を、採るものと採らないものに分けて並べたものである。年は代表的な最初の論文の年で、詳しい経緯は第1部第4章で扱う1代表的な論文の書誌は次のとおり。W. Heisenberg (1925), Zeitschrift für Physik 33, 879–893／R. P. Feynman (1948), Reviews of Modern Physics 20, 367–387／E. Wigner (1932), Physical Review 40, 749–759／J. E. Moyal (1949), Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 45, 99–124／E. Madelung (1927), Zeitschrift für Physik 40, 322–326／D. Bohm (1952), Physical Review 85, 166–179／E. Nelson (1966), Physical Review 150, 1079–1085／G. Birkhoff and J. von Neumann (1936), Annals of Mathematics 37, 823–843／A. M. Gleason (1957), Journal of Mathematics and Mechanics 6, 885–893。下の脚注へ。

表 1.1.1　量子力学の構成の一覧（上の11行が採るもの、下の8行が採らないもの）

構成（代表的な年）	基本の対象と出発点の要請	この巻での扱い
状態ベクトルと演算子（Dirac 1930・von Neumann 1932）	複素ヒルベルト空間の単位ベクトル $\| \psi \rangle$ 、物理量は自己共役演算子、確率は Born の規則	第1部（比べるための基準）
波動関数（Schrödinger 1926）	配位空間の複素関数 $\psi(x,t)$ と Schrödinger 方程式	入門で扱ったので部を立てない。基準の位置表示 $\psi(x)=\langle x \| \psi \rangle$ として第1部第3章で接続
行列力学・正準量子化（Heisenberg 1925・Born と Jordan 1925・Dirac 1925）	物理量の行列（演算子）と正準交換関係 $\left[\hat q,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$	第2部
経路積分（Feynman 1948）	作用 $S[x]$ と、全経路にわたる $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ の和	第3部
密度行列・量子チャネル（von Neumann 1927）	正値でトレース1の $\hat\rho$ 、完全正値でトレースを保つ写像	第4部
位相空間（Wigner 1932・Groenewold 1946・Moyal 1949）	相空間の準確率分布 $W(x,p)$ と $\star$ 積	第5部
第二量子化（Dirac 1927・Jordan と Wigner 1928・Fock 1932）	生成消滅演算子 $\hat a^\dagger,\hat a$ と Fock 空間	第6部
軌道と流体（Madelung 1927・Bohm 1952・Nelson 1966）	密度 $\rho$ と速度場 $\bm{v}$ 、粒子の軌道、拡散過程	第7部
代数的量子論（Gelfand と Naimark 1943・Segal 1947・Haag と Kastler 1964）	観測量の C*代数と、その上の状態（正値で規格化された線形汎関数）	第8部
公理からの再構成（Birkhoff と von Neumann 1936・Gleason 1957・Hardy 2001）	命題の束、準備と測定の確率、凸な状態空間	第9部
幾何学的量子化（Kostant 1970・Souriau 1970）	シンプレクティック多様体上の複素線束とその切断、偏極	第10部
Schwinger の作用原理（Schwinger 1951）	遷移振幅の変分 $\delta\langle a \| b \rangle =\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\langle a \| \delta\hat S \| b \rangle$	独立の部にするほど教科書が無いので、経路積分の微分の形として第3部第7章で1節
変形量子化（Bayen・Flato・Fronsdal・Lichnerowicz・Sternheimer 1978）	相空間の関数の積を $\hbar$ の冪で変形した結合的な積	Moyal の $\star$ 積を一般の相空間へ広げたもの。第5部と第10部第6章で扱う
Parisi–Wu の確率過程量子化（1981）	仮想的な時間についての Langevin 方程式の平衡分布を $\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}/\hbar}$ にする	虚時間の場の理論の計算法で、Nelson の確率過程量子化とは名前が似た別物。第7部で違いを断るだけにする
Koopman–von Neumann（Koopman 1931）	古典力学の確率分布をヒルベルト空間のベクトルとして書く	量子力学の構成でなく古典力学の書き直し。比べる相手として例題 1.1.2 で使う
圏論的量子力学（Abramsky と Coecke 2004）	対称モノイダル圏の図式、ZX 計算	量子回路とプロトコルの推論の道具で、物理系の動力学を書く道具でない。『相対エントロピーから情報と物理を組み立てる』の量子計算の部へ送る
無矛盾な歴史（Griffiths 1984）	時刻ごとの射影の列（歴史）と、歴史の族に確率を割り当てる条件	基準と同じ数学の上で「どの問いに確率を割り当ててよいか」を整理するもので、新しい計算の出発点を与えない
場の波動汎関数	場の配位の汎関数 $\Psi[\phi]$ と汎関数の Schrödinger 方程式	波動関数の構成を場へ広げたもの。第6部で名前だけ
解釈（Copenhagen・多世界 1957・QBism など）	同じ数学に何を読み込むか	構成とは別の軸（同じ予言を与える）なので扱わない。Bohm の軌道だけは構成としての側面を第7部で扱う

表の下半分は採らないものである。採らない理由は大きく2つに分かれる。1つは、量子力学の別の組み立て方でなく、組み立てたものの別の読み方（解釈）であるもの。もう1つは、物理系の動力学を書く道具としては範囲が狭いか、ほかの部の中の1節で足りるものである。

階層の違う構成：第二量子化

採る9つのうち、第二量子化だけは階層が違う。ほかの8つは「1粒子の量子力学を何から組み立てるか」の選択であるのに対し、第二量子化は、すでに組み立てた1粒子の量子力学から多粒子の量子力学を作る手続きである。 $N$ 個の同種粒子の状態を、1粒子状態の（反）対称化したテンソル積で書き、粒子数の違う空間を直和でつないだ Fock 空間を使う。それでも、物性の計算でいちばん使う言語であり、行列力学（ $\hat a$ , $\hat a^\dagger$ の代数の起源）、経路積分（コヒーレント状態の経路積分）、密度行列（熱平衡の占有数）の3つと同値性の道筋がつながっているので、1つの部として採る。

古典力学もヒルベルト空間で書ける

表の中の Koopman–von Neumann の行は、比べる相手として使う。この構成では古典力学の相空間の確率分布を、2乗が分布になる複素関数 $\phi(x,p,t)$ で表し、Liouville 方程式をヒルベルト空間の上の Schrödinger 型の方程式 $\mathrm{i}\,\partial_t\phi=\hat L\phi$ （ $\hat L=-\mathrm{i}\{\,\cdot\,,H\}$ から作る自己共役演算子）として書く。ここでは位置と運動量はどちらも掛け算の演算子なので交換する。したがって「ヒルベルト空間で書くこと」そのものは量子力学を特徴づけない。量子力学と古典力学の違いは、 $\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ という交換関係と、そこから出る不確定性 $\sigma_x\sigma_p\ge\hbar/2$ にある。次の例題で、この違いを③の波束の広がりで見る。

例題 1.1.2　古典の分布と量子の波束の広がりを比べる ★★

オリジナル質量 $m$ の自由粒子の古典的な確率分布 $f(x,p,t)$ は Liouville 方程式 $\partial_tf+\frac pm\partial_xf=0$ に従う。

(1) $f(x,p,t)=f_0(x-pt/m,\,p)$ が Liouville 方程式を満たすことを示せ。
(2) 初めの分布を、 $x$ と $p$ が独立で平均 $0$ 、標準偏差 $\sigma_0$ , $\sigma_p$ の Gauss 分布とする。 $x$ の分散 $\langle x^2 \rangle _t$ を求めよ。
(3) (2) を式 (1.1.3) と比べ、古典と量子の違いがどこにあるかを述べよ。

解答

(1) $u=x-pt/m$ とおくと $\partial_tf=-\frac pm\partial_uf_0$ 、 $\partial_xf=\partial_uf_0$ なので $\partial_tf+\frac pm\partial_xf=0$ 。

(2) 時刻 $t$ の $x$ は $x=u+pt/m$ で、 $u$ と $p$ は独立な Gauss 分布（分散 $\sigma_0^2$ と $\sigma_p^2$ ）に従う。独立な確率変数の和の分散は分散の和なので $\langle x^2 \rangle _t=\sigma_0^2+\sigma_p^2t^2/m^2$ 。

(3) 形は式 (1.1.3) と同じである。違うのは $\sigma_p$ の取り方だけで、古典では $\sigma_0$ と $\sigma_p$ を独立に小さくでき、 $\sigma_p\to0$ なら分布は広がらない。量子では $\sigma_0\sigma_p\ge\hbar/2$ なので、 $\sigma_0$ を小さくすると $\sigma_p\ge\hbar/(2\sigma_0)$ が大きくなり、広がりを避けられない。自由粒子のように $H$ が $x$ , $p$ の2次式なら、量子の時間発展は相空間の分布の古典的な流れと同じ形で書ける。これは第5部第3章で Moyal 方程式が Liouville 方程式と一致する場合として扱う。

1　代表的な論文の書誌は次のとおり。W. Heisenberg (1925), Zeitschrift für Physik 33, 879–893／R. P. Feynman (1948), Reviews of Modern Physics 20, 367–387／E. Wigner (1932), Physical Review 40, 749–759／J. E. Moyal (1949), Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 45, 99–124／E. Madelung (1927), Zeitschrift für Physik 40, 322–326／D. Bohm (1952), Physical Review 85, 166–179／E. Nelson (1966), Physical Review 150, 1079–1085／G. Birkhoff and J. von Neumann (1936), Annals of Mathematics 37, 823–843／A. M. Gleason (1957), Journal of Mathematics and Mechanics 6, 885–893。

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。連絡先：support@tecktom.com

この記事が含まれている連載

連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下智貴

← AI生成教科書『虎の巻』の記事一覧へ