量子力学の様々な構成方法 第4部 第3章 §4.3.2 ★★★ 同じ ρ ^ \hat\rho ρ ^
前節の弦の作り方は量子ビットに限られていた。一般の次元で、同じ ρ ^ \hat\rho ρ ^ 32 , 446–452）、Hughston, Jozsa, Wootters が有限個の純粋状態のアンサンブルの完全な分類として整えた（Hughston, Jozsa, Wootters (1993), Phys. Lett. A 183 , 14–18）。3人の頭文字から HJW の定理と呼ばれる。
定理 4.3.1（アンサンブルのユニタリ自由度）
{ ∣ ψ ~ i ⟩ } i = 1 m \{| \tilde\psi_i \rangle \}_{i=1}^m { ∣ ψ ~ i ⟩ } i = 1 m { ∣ ϕ ~ j ⟩ } j = 1 m \{| \tilde\phi_j \rangle \}_{j=1}^m { ∣ ϕ ~ j ⟩ } j = 1 m m m m
(a) ∑ i ∣ ψ ~ i ⟩ ⟨ ψ ~ i ∣ = ∑ j ∣ ϕ ~ j ⟩ ⟨ ϕ ~ j ∣ \sum_i| \tilde\psi_i \rangle \langle \tilde\psi_i |=\sum_j| \tilde\phi_j \rangle \langle \tilde\phi_j | ∑ i ∣ ψ ~ i ⟩ ⟨ ψ ~ i ∣ = ∑ j ∣ ϕ ~ j ⟩ ⟨ ϕ ~ j ∣ (b) m × m m\times m m × m u u u ∣ ψ ~ i ⟩ = ∑ j u i j ∣ ϕ ~ j ⟩ | \tilde\psi_i \rangle =\sum_ju_{ij}| \tilde\phi_j \rangle ∣ ψ ~ i ⟩ = ∑ j u ij ∣ ϕ ~ j ⟩ i = 1 , … , m i=1,\dots,m i = 1 , … , m
証明 (b) ⇒ \Rightarrow ⇒ u u u ∑ i u i j u i j ′ ∗ = ( u † u ) j ′ j = δ j j ′ \sum_iu_{ij}u_{ij'}^*=(u^\dagger u)_{j'j}=\delta_{jj'} ∑ i u ij u i j ′ ∗ = ( u † u ) j ′ j = δ j j ′
∑ i ∣ ψ ~ i ⟩ ⟨ ψ ~ i ∣ = ∑ j , j ′ ( ∑ i u i j u i j ′ ∗ ) ∣ ϕ ~ j ⟩ ⟨ ϕ ~ j ′ ∣ = ∑ j ∣ ϕ ~ j ⟩ ⟨ ϕ ~ j ∣ . \sum_i| \tilde\psi_i \rangle \langle \tilde\psi_i |=\sum_{j,j'}\Big(\sum_iu_{ij}u_{ij'}^*\Big)| \tilde\phi_j \rangle \langle \tilde\phi_{j'} |=\sum_j| \tilde\phi_j \rangle \langle \tilde\phi_j |. i ∑ ∣ ψ ~ i ⟩ ⟨ ψ ~ i ∣ = j , j ′ ∑ ( i ∑ u ij u i j ′ ∗ ) ∣ ϕ ~ j ⟩ ⟨ ϕ ~ j ′ ∣ = j ∑ ∣ ϕ ~ j ⟩ ⟨ ϕ ~ j ∣.
(a) ⇒ \Rightarrow ⇒ ρ ^ \hat\rho ρ ^ ρ ^ = ∑ k = 1 r λ k ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ \hat\rho=\sum_{k=1}^r\lambda_k| k \rangle \langle k | ρ ^ = ∑ k = 1 r λ k ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ λ k > 0 \lambda_k>0 λ k > 0 r r r ∣ k ~ ⟩ = λ k ∣ k ⟩ | \tilde k \rangle =\sqrt{\lambda_k}| k \rangle ∣ k ~ ⟩ = λ k ∣ k ⟩
まず各 ∣ ψ ~ i ⟩ | \tilde\psi_i \rangle ∣ ψ ~ i ⟩ ρ ^ \hat\rho ρ ^ ∣ 1 ⟩ , … , ∣ r ⟩ | 1 \rangle ,\dots,| r \rangle ∣1 ⟩ , … , ∣ r ⟩ ∣ χ ⟩ | \chi \rangle ∣ χ ⟩ 0 = ⟨ χ ∣ ρ ^ ∣ χ ⟩ = ∑ i ∣ ⟨ χ ∣ ψ ~ i ⟩ ∣ 2 0=\langle \chi | \hat\rho | \chi \rangle =\sum_i\lvert \langle \chi | \tilde\psi_i \rangle \rvert ^2 0 = ⟨ χ ∣ ρ ^ ∣ χ ⟩ = ∑ i ∣⟨ χ ∣ ψ ~ i ⟩ ∣ 2 i i i ⟨ χ ∣ ψ ~ i ⟩ = 0 \langle \chi | \tilde\psi_i \rangle =0 ⟨ χ ∣ ψ ~ i ⟩ = 0
∣ ψ ~ i ⟩ = ∑ k = 1 r c i k ∣ k ~ ⟩ , c i k = ⟨ k ∣ ψ ~ i ⟩ λ k | \tilde\psi_i \rangle =\sum_{k=1}^rc_{ik}| \tilde k \rangle ,\qquad c_{ik}=\frac{\langle k | \tilde\psi_i \rangle }{\sqrt{\lambda_k}} ∣ ψ ~ i ⟩ = k = 1 ∑ r c ik ∣ k ~ ⟩ , c ik = λ k ⟨ k ∣ ψ ~ i ⟩
と展開できる。これを (a) の左辺に入れると ∑ k , k ′ ( ∑ i c i k c i k ′ ∗ ) ∣ k ~ ⟩ ⟨ k ~ ′ ∣ = ∑ k ∣ k ~ ⟩ ⟨ k ~ ∣ \sum_{k,k'}\big(\sum_ic_{ik}c_{ik'}^*\big)| \tilde k \rangle \langle \tilde k' |=\sum_k| \tilde k \rangle \langle \tilde k | ∑ k , k ′ ( ∑ i c ik c i k ′ ∗ ) ∣ k ~ ⟩ ⟨ k ~ ′ ∣ = ∑ k ∣ k ~ ⟩ ⟨ k ~ ∣ ∣ k ~ ⟩ ⟨ k ~ ′ ∣ | \tilde k \rangle \langle \tilde k' | ∣ k ~ ⟩ ⟨ k ~ ′ ∣ ∑ i c i k ′ ∗ c i k = δ k k ′ \sum_ic_{ik'}^*c_{ik}=\delta_{kk'} ∑ i c i k ′ ∗ c ik = δ k k ′ m × r m\times r m × r c c c c † c = 1 r c^\dagger c=\mathbf 1_r c † c = 1 r c c c r r r m − r m-r m − r m × m m\times m m × m C C C k > r k>r k > r ∣ k ~ ⟩ ≔ 0 | \tilde k \rangle \coloneqq0 ∣ k ~ ⟩ : = 0 ∣ ψ ~ i ⟩ = ∑ k = 1 m C i k ∣ k ~ ⟩ | \tilde\psi_i \rangle =\sum_{k=1}^mC_{ik}| \tilde k \rangle ∣ ψ ~ i ⟩ = ∑ k = 1 m C ik ∣ k ~ ⟩ ∣ ϕ ~ j ⟩ = ∑ k D j k ∣ k ~ ⟩ | \tilde\phi_j \rangle =\sum_kD_{jk}| \tilde k \rangle ∣ ϕ ~ j ⟩ = ∑ k D j k ∣ k ~ ⟩ D D D D D D ∣ k ~ ⟩ = ∑ j D j k ∗ ∣ ϕ ~ j ⟩ | \tilde k \rangle =\sum_jD^*_{jk}| \tilde\phi_j \rangle ∣ k ~ ⟩ = ∑ j D j k ∗ ∣ ϕ ~ j ⟩
∣ ψ ~ i ⟩ = ∑ k C i k ∑ j D j k ∗ ∣ ϕ ~ j ⟩ = ∑ j ( C D † ) i j ∣ ϕ ~ j ⟩ . | \tilde\psi_i \rangle =\sum_kC_{ik}\sum_jD_{jk}^*| \tilde\phi_j \rangle =\sum_j(CD^\dagger)_{ij}| \tilde\phi_j \rangle . ∣ ψ ~ i ⟩ = k ∑ C ik j ∑ D j k ∗ ∣ ϕ ~ j ⟩ = j ∑ ( C D † ) ij ∣ ϕ ~ j ⟩ .
u = C D † u=CD^\dagger u = C D †
証明の後半から、どのアンサンブルも固有アンサンブルから等長行列 c c c c c c c † c = 1 r c^\dagger c=\mathbf 1_r c † c = 1 r ∣ ψ ~ i ⟩ = ∑ k c i k ∣ k ~ ⟩ | \tilde\psi_i \rangle =\sum_kc_{ik}| \tilde k \rangle ∣ ψ ~ i ⟩ = ∑ k c ik ∣ k ~ ⟩ ことが分かる。m m m ρ ^ \hat\rho ρ ^ m × r m\times r m × r
混ぜられる状態と、その重みの上限
定理から、特定の状態 ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ ρ ^ \hat\rho ρ ^
命題 4.3.2（混ぜられる重みの上限）
単位ベクトル ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ p > 0 p>0 p > 0 ρ ^ \hat\rho ρ ^ ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ ρ ^ \hat\rho ρ ^
p ≤ p max ( ψ ) ≔ 1 ⟨ ψ ∣ ρ ^ − 1 ∣ ψ ⟩ (4.3.7) p\le p_{\max}(\psi)\coloneqq\frac{1}{\langle \psi | \hat\rho^{-1} | \psi \rangle }\tag{4.3.7} p ≤ p m a x ( ψ ) : = ⟨ ψ ∣ ρ ^ − 1 ∣ ψ ⟩ 1 ( 4.3.7 )
を満たすことである。ρ ^ − 1 \hat\rho^{-1} ρ ^ − 1 ∑ k λ k − 1 ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ \sum_k\lambda_k^{-1}| k \rangle \langle k | ∑ k λ k − 1 ∣ k ⟩ ⟨ k ∣
証明 必要性：∣ ψ ~ 1 ⟩ = p ∣ ψ ⟩ | \tilde\psi_1 \rangle =\sqrt p| \psi \rangle ∣ ψ ~ 1 ⟩ = p ∣ ψ ⟩ c 1 k = p ⟨ k ∣ ψ ⟩ / λ k c_{1k}=\sqrt p\langle k | \psi \rangle /\sqrt{\lambda_k} c 1 k = p ⟨ k ∣ ψ ⟩ / λ k c c c m × r m\times r m × r c c c m × m m\times m m × m C C C ∑ k ∣ c 1 k ∣ 2 = p ∑ k ∣ ⟨ k ∣ ψ ⟩ ∣ 2 / λ k = p ⟨ ψ ∣ ρ ^ − 1 ∣ ψ ⟩ ≤ 1 \sum_k\lvert c_{1k}\rvert ^2=p\sum_k\lvert \langle k | \psi \rangle \rvert ^2/\lambda_k=p\langle \psi | \hat\rho^{-1} | \psi \rangle \le1 ∑ k ∣ c 1 k ∣ 2 = p ∑ k ∣⟨ k ∣ ψ ⟩ ∣ 2 / λ k = p ⟨ ψ ∣ ρ ^ − 1 ∣ ψ ⟩ ≤ 1
十分性：p ⟨ ψ ∣ ρ ^ − 1 ∣ ψ ⟩ ≤ 1 p\langle \psi | \hat\rho^{-1} | \psi \rangle \le1 p ⟨ ψ ∣ ρ ^ − 1 ∣ ψ ⟩ ≤ 1 ρ ^ − p ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ≥ 0 \hat\rho-p| \psi \rangle \langle \psi |\ge0 ρ ^ − p ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ≥ 0 p ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ p| \psi \rangle \langle \psi | p ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ p p p ∣ χ ⟩ | \chi \rangle ∣ χ ⟩ ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ ⟨ χ ∣ ψ ⟩ = ⟨ χ ∣ ρ ^ 1 / 2 ρ ^ − 1 / 2 ∣ ψ ⟩ \langle \chi | \psi \rangle =\langle \chi | \hat\rho^{1/2}\hat\rho^{-1/2} | \psi \rangle ⟨ χ ∣ ψ ⟩ = ⟨ χ ∣ ρ ^ 1/2 ρ ^ − 1/2 ∣ ψ ⟩
∣ ⟨ χ ∣ ψ ⟩ ∣ 2 ≤ ⟨ χ ∣ ρ ^ ∣ χ ⟩ ⟨ ψ ∣ ρ ^ − 1 ∣ ψ ⟩ . \lvert \langle \chi | \psi \rangle \rvert ^2\le\langle \chi | \hat\rho | \chi \rangle \,\langle \psi | \hat\rho^{-1} | \psi \rangle . ∣⟨ χ ∣ ψ ⟩ ∣ 2 ≤ ⟨ χ ∣ ρ ^ ∣ χ ⟩ ⟨ ψ ∣ ρ ^ − 1 ∣ ψ ⟩ .
よって ⟨ χ ∣ ( ρ ^ − p ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ) ∣ χ ⟩ ≥ ⟨ χ ∣ ρ ^ ∣ χ ⟩ ( 1 − p ⟨ ψ ∣ ρ ^ − 1 ∣ ψ ⟩ ) ≥ 0 \langle \chi | (\hat\rho-p| \psi \rangle \langle \psi |) | \chi \rangle \ge\langle \chi | \hat\rho | \chi \rangle \big(1-p\langle \psi | \hat\rho^{-1} | \psi \rangle \big)\ge0 ⟨ χ ∣ ( ρ ^ − p ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ) ∣ χ ⟩ ≥ ⟨ χ ∣ ρ ^ ∣ χ ⟩ ( 1 − p ⟨ ψ ∣ ρ ^ − 1 ∣ ψ ⟩ ) ≥ 0
量子ビットでは逆行列が ρ ^ − 1 = 2 ( 1 − r ⋅ σ ) / ( 1 − ∣ r ∣ 2 ) \hat\rho^{-1}=2(\mathbf 1-\bm{r}\cdot\bm{\sigma})/(1-\lvert \bm{r}\rvert ^2) ρ ^ − 1 = 2 ( 1 − r ⋅ σ ) / ( 1 − ∣ r ∣ 2 ) ∣ r ∣ < 1 \lvert \bm{r}\rvert <1 ∣ r ∣ < 1 n \bm{n} n
p max ( n ) = 1 − ∣ r ∣ 2 2 ( 1 − r ⋅ n ) (4.3.8) p_{\max}(\bm{n})=\frac{1-\lvert \bm{r}\rvert ^2}{2(1-\bm{r}\cdot\bm{n})}\tag{4.3.8} p m a x ( n ) = 2 ( 1 − r ⋅ n ) 1 − ∣ r ∣ 2 ( 4.3.8 )
となる（⟨ n ∣ r ⋅ σ ∣ n ⟩ = r ⋅ n \langle \bm{n} | \bm{r}\cdot\bm{\sigma} | \bm{n} \rangle =\bm{r}\cdot\bm{n} ⟨ n ∣ r ⋅ σ ∣ n ⟩ = r ⋅ n n \bm{n} n r \bm{r} r n = r / ∣ r ∣ \bm{n}=\bm{r}/\lvert \bm{r}\rvert n = r / ∣ r ∣ ( 1 + ∣ r ∣ ) / 2 (1+\lvert \bm{r}\rvert )/2 ( 1 + ∣ r ∣) /2 n \bm{n} n r \bm{r} r n \bm{n} n r \bm{r} r n \bm{n} n
重みのばらつきは固有値より大きい
固有アンサンブルは、すべてのアンサンブルの中で重みの偏りが最も大きい。固有値を大きい順に λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ \lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ m m m 0 0 0 p [ 1 ] ≥ p [ 2 ] ≥ ⋯ p_{[1]}\ge p_{[2]}\ge\cdots p [ 1 ] ≥ p [ 2 ] ≥ ⋯
∑ i = 1 k p [ i ] ≤ ∑ i = 1 k λ i ( k = 1 , … , m ) (4.3.9) \sum_{i=1}^kp_{[i]}\le\sum_{i=1}^k\lambda_i\qquad(k=1,\dots,m)\tag{4.3.9} i = 1 ∑ k p [ i ] ≤ i = 1 ∑ k λ i ( k = 1 , … , m ) ( 4.3.9 )
が成り立つ（p p p λ \lambda λ 多数化される という）。理由は定理の証明から読める。p i = ⟨ ψ ~ i ∣ ψ ~ i ⟩ = ∑ k ∣ C i k ∣ 2 λ k p_i=\langle \tilde\psi_i | \tilde\psi_i \rangle =\sum_k\lvert C_{ik}\rvert ^2\lambda_k p i = ⟨ ψ ~ i ∣ ψ ~ i ⟩ = ∑ k ∣ C ik ∣ 2 λ k B i k = ∣ C i k ∣ 2 B_{ik}=\lvert C_{ik}\rvert ^2 B ik = ∣ C ik ∣ 2 C C C p = B λ p=B\lambda p = B λ λ \lambda λ k k k λ \lambda λ k k k H ( p ) = − ∑ i p i ln p i H(p)=-\sum_ip_i\ln p_i H ( p ) = − ∑ i p i ln p i
H ( p ) ≥ H ( λ ) = S ( ρ ^ ) = − Tr ( ρ ^ ln ρ ^ ) (4.3.10) H(p)\ge H(\lambda)=S(\hat\rho)=-\operatorname{Tr}(\hat\rho\ln\hat\rho)\tag{4.3.10} H ( p ) ≥ H ( λ ) = S ( ρ ^ ) = − Tr ( ρ ^ ln ρ ^ ) ( 4.3.10 )
を得る。von Neumann エントロピーは、ρ ^ \hat\rho ρ ^ で、最小は固有アンサンブルで達成される。第4部第4章（第4部第4章 ）で熱平衡のエントロピーを S ( ρ ^ ) S(\hat\rho) S ( ρ ^ )
図 4.3.2 は、図 4.3.1 の ρ ^ = d i a g ( 3 4 , 1 4 ) \hat\rho=\mathrm{diag}(\tfrac34,\tfrac14) ρ ^ = diag ( 4 3 , 4 1 ) φ \varphi φ 0 0 0 π \pi π H ( p ) H(p) H ( p ) φ = 0 , π \varphi=0,\pi φ = 0 , π S ( ρ ^ ) = h b ( 1 4 ) = 0.5623 S(\hat\rho)=h_{\mathrm b}(\tfrac14)=0.5623 S ( ρ ^ ) = h b ( 4 1 ) = 0.5623 φ = π / 2 \varphi=\pi/2 φ = π /2 1 2 \tfrac12 2 1 ln 2 = 0.6931 \ln2=0.6931 ln 2 = 0.6931
図 4.3.2 ρ ^ = d i a g ( 3 4 , 1 4 ) \hat\rho=\mathrm{diag}(\tfrac34,\tfrac14) ρ ^ = diag ( 4 3 , 4 1 ) x z xz x z z z z φ \varphi φ H ( p ) H(p) H ( p ) (4.3.4) ・(4.3.5) から計算）。点線は S ( ρ ^ ) S(\hat\rho) S ( ρ ^ ) H ( p ) ≥ S ( ρ ^ ) H(p)\ge S(\hat\rho) H ( p ) ≥ S ( ρ ^ ) φ = 0 , 180 ∘ \varphi=0,180^\circ φ = 0 , 18 0 ∘
例題 4.3.2 移り合うユニタリと、混ぜられる重みの上限 ★★
オリジナル ρ ^ = d i a g ( 3 4 , 1 4 ) \hat\rho=\mathrm{diag}(\tfrac34,\tfrac14) ρ ^ = diag ( 4 3 , 4 1 ) ∣ ↑ ⟩ , ∣ ↓ ⟩ | \uparrow \rangle ,| \downarrow \rangle ∣ ↑ ⟩ , ∣ ↓ ⟩
(1) 固有アンサンブルの規格化しないベクトル ∣ ψ ~ 1 ⟩ = 3 2 ∣ ↑ ⟩ | \tilde\psi_1 \rangle =\tfrac{\sqrt3}{2}| \uparrow \rangle ∣ ψ ~ 1 ⟩ = 2 3 ∣ ↑ ⟩ ∣ ψ ~ 2 ⟩ = 1 2 ∣ ↓ ⟩ | \tilde\psi_2 \rangle =\tfrac12| \downarrow \rangle ∣ ψ ~ 2 ⟩ = 2 1 ∣ ↓ ⟩ (4.3.6) の ∣ ϕ ~ ± ⟩ = 1 2 ∣ a ± ⟩ | \tilde\phi_\pm \rangle =\tfrac{1}{\sqrt2}| a_\pm \rangle ∣ ϕ ~ ± ⟩ = 2 1 ∣ a ± ⟩ (2) ∣ ↑ ⟩ | \uparrow \rangle ∣ ↑ ⟩ ∣ + ⟩ | + \rangle ∣ + ⟩ ∣ a + ⟩ | a_+ \rangle ∣ a + ⟩ ρ ^ \hat\rho ρ ^ (4.3.7) と (4.3.8) の両方で求めよ。(3) (1) の2つのアンサンブルの重みについて (4.3.10) を確かめよ。
解答 (1) ∣ ϕ ~ ± ⟩ = 1 2 ( 3 2 ∣ ↑ ⟩ ± 1 2 ∣ ↓ ⟩ ) = 1 2 ( ∣ ψ ~ 1 ⟩ ± ∣ ψ ~ 2 ⟩ ) | \tilde\phi_\pm \rangle =\tfrac1{\sqrt2}\big(\tfrac{\sqrt3}{2}| \uparrow \rangle \pm\tfrac12| \downarrow \rangle \big)=\tfrac1{\sqrt2}\big(| \tilde\psi_1 \rangle \pm| \tilde\psi_2 \rangle \big) ∣ ϕ ~ ± ⟩ = 2 1 ( 2 3 ∣ ↑ ⟩ ± 2 1 ∣ ↓ ⟩ ) = 2 1 ( ∣ ψ ~ 1 ⟩ ± ∣ ψ ~ 2 ⟩ )
( ∣ ϕ ~ + ⟩ ∣ ϕ ~ − ⟩ ) = 1 2 ( 1 1 1 − 1 ) ( ∣ ψ ~ 1 ⟩ ∣ ψ ~ 2 ⟩ ) . \begin{pmatrix}| \tilde\phi_+ \rangle \\ | \tilde\phi_- \rangle \end{pmatrix}=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}| \tilde\psi_1 \rangle \\ | \tilde\psi_2 \rangle \end{pmatrix}. ( ∣ ϕ ~ + ⟩ ∣ ϕ ~ − ⟩ ) = 2 1 ( 1 1 1 − 1 ) ( ∣ ψ ~ 1 ⟩ ∣ ψ ~ 2 ⟩ ) .
係数行列は Hadamard 行列で、ユニタリである。
(2) ρ ^ − 1 = d i a g ( 4 3 , 4 ) \hat\rho^{-1}=\mathrm{diag}(\tfrac43,4) ρ ^ − 1 = diag ( 3 4 , 4 ) ∣ ↑ ⟩ | \uparrow \rangle ∣ ↑ ⟩ ⟨ ↑ ∣ ρ ^ − 1 ∣ ↑ ⟩ = 4 3 \langle \uparrow | \hat\rho^{-1} | \uparrow \rangle =\tfrac43 ⟨ ↑ ∣ ρ ^ − 1 ∣ ↑ ⟩ = 3 4 p max = 3 4 p_{\max}=\tfrac34 p m a x = 4 3 ∣ + ⟩ | + \rangle ∣ + ⟩ 1 2 ( 4 3 + 4 ) = 8 3 \tfrac12(\tfrac43+4)=\tfrac83 2 1 ( 3 4 + 4 ) = 3 8 p max = 3 8 p_{\max}=\tfrac38 p m a x = 8 3 ∣ a + ⟩ | a_+ \rangle ∣ a + ⟩ 3 4 ⋅ 4 3 + 1 4 ⋅ 4 = 2 \tfrac34\cdot\tfrac43+\tfrac14\cdot4=2 4 3 ⋅ 3 4 + 4 1 ⋅ 4 = 2 p max = 1 2 p_{\max}=\tfrac12 p m a x = 2 1 (4.3.8) では ∣ r ∣ 2 = 1 4 \lvert \bm{r}\rvert ^2=\tfrac14 ∣ r ∣ 2 = 4 1 1 − ∣ r ∣ 2 = 3 4 1-\lvert \bm{r}\rvert ^2=\tfrac34 1 − ∣ r ∣ 2 = 4 3 n = ( 0 , 0 , 1 ) \bm{n}=(0,0,1) n = ( 0 , 0 , 1 ) r ⋅ n = 1 2 \bm{r}\cdot\bm{n}=\tfrac12 r ⋅ n = 2 1 p max = 3 / 4 2 ⋅ 1 / 2 = 3 4 p_{\max}=\tfrac{3/4}{2\cdot1/2}=\tfrac34 p m a x = 2 ⋅ 1/2 3/4 = 4 3 n = ( 1 , 0 , 0 ) \bm{n}=(1,0,0) n = ( 1 , 0 , 0 ) r ⋅ n = 0 \bm{r}\cdot\bm{n}=0 r ⋅ n = 0 p max = 3 8 p_{\max}=\tfrac38 p m a x = 8 3 n = ( 3 2 , 0 , 1 2 ) \bm{n}=(\tfrac{\sqrt3}2,0,\tfrac12) n = ( 2 3 , 0 , 2 1 ) r ⋅ n = 1 4 \bm{r}\cdot\bm{n}=\tfrac14 r ⋅ n = 4 1 p max = 3 / 4 3 / 2 = 1 2 p_{\max}=\tfrac{3/4}{3/2}=\tfrac12 p m a x = 3/2 3/4 = 2 1 ∣ ↑ ⟩ | \uparrow \rangle ∣ ↑ ⟩ ∣ a + ⟩ | a_+ \rangle ∣ a + ⟩ r \bm{r} r ∣ + ⟩ | + \rangle ∣ + ⟩ 1 2 \tfrac12 2 1 ∣ ↑ ⟩ | \uparrow \rangle ∣ ↑ ⟩ ρ ^ \hat\rho ρ ^ 3 8 \tfrac38 8 3
(3) 固有アンサンブルは H = h b ( 1 4 ) = − 1 4 ln 1 4 − 3 4 ln 3 4 = 0.5623 H=h_{\mathrm b}(\tfrac14)=-\tfrac14\ln\tfrac14-\tfrac34\ln\tfrac34=0.5623 H = h b ( 4 1 ) = − 4 1 ln 4 1 − 4 3 ln 4 3 = 0.5623 S ( ρ ^ ) S(\hat\rho) S ( ρ ^ ) H = ln 2 = 0.6931 H=\ln2=0.6931 H = ln 2 = 0.6931 0.6931 ≥ 0.5623 0.6931\ge0.5623 0.6931 ≥ 0.5623 (4.3.10) が成り立つ。重みで見ると ( 1 2 , 1 2 ) (\tfrac12,\tfrac12) ( 2 1 , 2 1 ) ( 3 4 , 1 4 ) (\tfrac34,\tfrac14) ( 4 3 , 4 1 ) 1 2 ≤ 3 4 \tfrac12\le\tfrac34 2 1 ≤ 4 3
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
