量子力学の様々な構成方法 第4部 第5章 §4.5.3 ★★★ 環境を捨てずに測ると、系には確率 Tr ( ρ ^ E ^ k ) \operatorname{Tr}(\hat\rho\hat E_k) Tr ( ρ ^ E ^ k ) E ^ k = K ^ k † K ^ k \hat E_k=\hat K_k^\dagger\hat K_k E ^ k = K ^ k † K ^ k
環境を測る
Stinespring 表示で、相互作用の後に環境を基底 { ∣ k ⟩ E } \{| k \rangle _{\mathrm E}\} { ∣ k ⟩ E } U ^ ( ρ ^ ⊗ ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ ) U ^ † \hat U(\hat\rho\otimes| 0 \rangle \langle 0 |)\hat U^\dagger U ^ ( ρ ^ ⊗ ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ ) U ^ † k k k
p k = Tr [ ( 1 ⊗ ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ ) U ^ ( ρ ^ ⊗ ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ ) U ^ † ] = Tr ( K ^ k ρ ^ K ^ k † ) = Tr ( ρ ^ E ^ k ) , E ^ k = K ^ k † K ^ k (4.5.4) p_k=\operatorname{Tr}\big[(\mathbf 1\otimes| k \rangle \langle k |)\hat U(\hat\rho\otimes| 0 \rangle \langle 0 |)\hat U^\dagger\big]=\operatorname{Tr}\big(\hat K_k\hat\rho\hat K_k^\dagger\big)=\operatorname{Tr}\big(\hat\rho\hat E_k\big),\qquad \hat E_k=\hat K_k^\dagger\hat K_k\tag{4.5.4} p k = Tr [ ( 1 ⊗ ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ ) U ^ ( ρ ^ ⊗ ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ ) U ^ † ] = Tr ( K ^ k ρ ^ K ^ k † ) = Tr ( ρ ^ E ^ k ) , E ^ k = K ^ k † K ^ k ( 4.5.4 )
になる。結果 k k k
ρ ^ k = K ^ k ρ ^ K ^ k † p k (4.5.5) \hat\rho_k=\frac{\hat K_k\hat\rho\hat K_k^\dagger}{p_k}\tag{4.5.5} ρ ^ k = p k K ^ k ρ ^ K ^ k † ( 4.5.5 )
である。結果を読まずに平均すると ∑ k p k ρ ^ k = N ( ρ ^ ) \sum_kp_k\hat\rho_k=\mathcal N(\hat\rho) ∑ k p k ρ ^ k = N ( ρ ^ )
E ^ k \hat E_k E ^ k ∑ k E ^ k = 1 \sum_k\hat E_k=\mathbf 1 ∑ k E ^ k = 1 POVM （正値作用素値測度）と呼ぶ。第4部第3章（第4部第3章 ）は浄化の相手で行う測定として POVM の定義だけを先に使った。ここでそれが Kraus 表示から出てくることが示された。
命題 4.5.3（射影測定は特別な場合・Naimark の構成）
(i) 物理量 A ^ = ∑ a a P ^ a \hat A=\sum_aa\hat P_a A ^ = ∑ a a P ^ a K ^ a = P ^ a \hat K_a=\hat P_a K ^ a = P ^ a (4.5.4) と (4.5.5) は (D2) と (D4) の Lüders の規則に戻る。(ii) 逆に任意の POVM { E ^ k } k = 1 m \{\hat E_k\}_{k=1}^m { E ^ k } k = 1 m V ^ ∣ ψ ⟩ = ∑ k E ^ k ∣ ψ ⟩ ⊗ ∣ k ⟩ E \hat V| \psi \rangle =\sum_k\sqrt{\hat E_k}| \psi \rangle \otimes| k \rangle _{\mathrm E} V ^ ∣ ψ ⟩ = ∑ k E ^ k ∣ ψ ⟩ ⊗ ∣ k ⟩ E m m m 1 ⊗ ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ \mathbf 1\otimes| k \rangle \langle k | 1 ⊗ ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ Tr ( ρ ^ E ^ k ) \operatorname{Tr}(\hat\rho\hat E_k) Tr ( ρ ^ E ^ k )
証明 (i) P ^ a † P ^ a = P ^ a \hat P_a^\dagger\hat P_a=\hat P_a P ^ a † P ^ a = P ^ a E ^ a = P ^ a \hat E_a=\hat P_a E ^ a = P ^ a (4.5.5) は P ^ a ρ ^ P ^ a / Tr ( ρ ^ P ^ a ) \hat P_a\hat\rho\hat P_a/\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P_a) P ^ a ρ ^ P ^ a / Tr ( ρ ^ P ^ a ) V ^ † V ^ = ∑ k E ^ k 2 = ∑ k E ^ k = 1 \hat V^\dagger\hat V=\sum_k\sqrt{\hat E_k}^{\,2}=\sum_k\hat E_k=\mathbf 1 V ^ † V ^ = ∑ k E ^ k 2 = ∑ k E ^ k = 1 Tr [ ( 1 ⊗ ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ ) V ^ ρ ^ V ^ † ] = Tr ( E ^ k ρ ^ E ^ k ) = Tr ( ρ ^ E ^ k ) \operatorname{Tr}[(\mathbf 1\otimes| k \rangle \langle k |)\hat V\hat\rho\hat V^\dagger]=\operatorname{Tr}(\sqrt{\hat E_k}\hat\rho\sqrt{\hat E_k})=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat E_k) Tr [( 1 ⊗ ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ ) V ^ ρ ^ V ^ † ] = Tr ( E ^ k ρ ^ E ^ k ) = Tr ( ρ ^ E ^ k ) 4.5.2 の証明と同じく全体のユニタリへ延ばせる。
(ii) の Kraus 演算子 E ^ k \sqrt{\hat E_k} E ^ k K ^ k = W ^ k E ^ k \hat K_k=\hat W_k\sqrt{\hat E_k} K ^ k = W ^ k E ^ k W ^ k \hat W_k W ^ k 第1部第2章 ）の射影測定は、装置が理想的で結果ごとに系を射影する場合に当たる。
第4部第2章の指針の例では E ^ 0 = K ^ 0 † K ^ 0 = ∣ ↑ ⟩ ⟨ ↑ ∣ + cos 2 θ ∣ ↓ ⟩ ⟨ ↓ ∣ \hat E_0=\hat K_0^\dagger\hat K_0=| \uparrow \rangle \langle \uparrow |+\cos^2\theta| \downarrow \rangle \langle \downarrow | E ^ 0 = K ^ 0 † K ^ 0 = ∣ ↑ ⟩ ⟨ ↑ ∣ + cos 2 θ ∣ ↓ ⟩ ⟨ ↓ ∣ E ^ 1 = sin 2 θ ∣ ↓ ⟩ ⟨ ↓ ∣ \hat E_1=\sin^2\theta| \downarrow \rangle \langle \downarrow | E ^ 1 = sin 2 θ ∣ ↓ ⟩ ⟨ ↓ ∣ θ = π / 2 \theta=\pi/2 θ = π /2 σ z \sigma_z σ z 0 < θ < π / 2 0<\theta<\pi/2 0 < θ < π /2 ∣ ↓ ⟩ | \downarrow \rangle ∣ ↓ ⟩
射影測定にできないこと
POVM は結果の数を系の次元より多くでき、互いに直交しない E ^ k \hat E_k E ^ k ∣ ψ A ⟩ | \psi_{\mathrm A} \rangle ∣ ψ A ⟩ ∣ ψ B ⟩ | \psi_{\mathrm B} \rangle ∣ ψ B ⟩ 123 , 257；Peres (1988), Phys. Lett. A 128 , 19）。
例題 4.5.3 ∣ e ⟩ | e \rangle ∣ e ⟩ ∣ + ⟩ | + \rangle ∣ + ⟩
オリジナル 量子ビットが ∣ ψ A ⟩ = ∣ e ⟩ | \psi_{\mathrm A} \rangle =| e \rangle ∣ ψ A ⟩ = ∣ e ⟩ ∣ ψ B ⟩ = ∣ + ⟩ | \psi_{\mathrm B} \rangle =| + \rangle ∣ ψ B ⟩ = ∣ + ⟩ s = ∣ ⟨ ψ A ∣ ψ B ⟩ ∣ s=\lvert \langle \psi_{\mathrm A} | \psi_{\mathrm B} \rangle \rvert s = ∣⟨ ψ A ∣ ψ B ⟩∣ E ^ A = c ∣ ψ B ⊥ ⟩ ⟨ ψ B ⊥ ∣ \hat E_{\mathrm A}=c| \psi_{\mathrm B}^\perp \rangle \langle \psi_{\mathrm B}^\perp | E ^ A = c ∣ ψ B ⊥ ⟩ ⟨ ψ B ⊥ ∣ E ^ B = c ∣ ψ A ⊥ ⟩ ⟨ ψ A ⊥ ∣ \hat E_{\mathrm B}=c| \psi_{\mathrm A}^\perp \rangle \langle \psi_{\mathrm A}^\perp | E ^ B = c ∣ ψ A ⊥ ⟩ ⟨ ψ A ⊥ ∣ E ^ ? = 1 − E ^ A − E ^ B \hat E_?=\mathbf 1-\hat E_{\mathrm A}-\hat E_{\mathrm B} E ^ ? = 1 − E ^ A − E ^ B ⊥ \perp ⊥
(1) E ^ A \hat E_{\mathrm A} E ^ A (2) POVM になる c c c
解答 (1) ⟨ ψ B ⊥ ∣ ψ B ⟩ = 0 \langle \psi_{\mathrm B}^\perp | \psi_{\mathrm B} \rangle =0 ⟨ ψ B ⊥ ∣ ψ B ⟩ = 0 ⟨ ψ B ∣ E ^ A ∣ ψ B ⟩ = 0 \langle \psi_{\mathrm B} | \hat E_{\mathrm A} | \psi_{\mathrm B} \rangle =0 ⟨ ψ B ∣ E ^ A ∣ ψ B ⟩ = 0 E ^ B \hat E_{\mathrm B} E ^ B
(2) s = ⟨ e ∣ + ⟩ = 1 / 2 s=\langle e | + \rangle =1/\sqrt2 s = ⟨ e ∣ + ⟩ = 1/ 2 ∣ ψ B ⊥ ⟩ = ∣ − ⟩ = ( ∣ e ⟩ − ∣ g ⟩ ) / 2 | \psi_{\mathrm B}^\perp \rangle =| - \rangle =(| e \rangle -| g \rangle )/\sqrt2 ∣ ψ B ⊥ ⟩ = ∣ − ⟩ = ( ∣ e ⟩ − ∣ g ⟩) / 2 ∣ ψ A ⊥ ⟩ = ∣ g ⟩ | \psi_{\mathrm A}^\perp \rangle =| g \rangle ∣ ψ A ⊥ ⟩ = ∣ g ⟩ E ^ A \hat E_{\mathrm A} E ^ A E ^ B \hat E_{\mathrm B} E ^ B c ≥ 0 c\ge0 c ≥ 0 E ^ ? ≥ 0 \hat E_?\ge0 E ^ ? ≥ 0 ( e , g ) (e,g) ( e , g )
E ^ ? = ( 1 − c 2 c 2 c 2 1 − c 2 − c ) , \hat E_?=\begin{pmatrix}1-\tfrac c2&\tfrac c2\\ \tfrac c2&1-\tfrac c2-c\end{pmatrix}, E ^ ? = ( 1 − 2 c 2 c 2 c 1 − 2 c − c ) ,
固有値が非負である条件は、トレース 2 − 2 c ≥ 0 2-2c\ge0 2 − 2 c ≥ 0 ( 1 − c 2 ) ( 1 − 3 c 2 ) − c 2 4 = 1 − 2 c + c 2 2 ≥ 0 (1-\tfrac c2)(1-\tfrac{3c}2)-\tfrac{c^2}4=1-2c+\tfrac{c^2}2\ge0 ( 1 − 2 c ) ( 1 − 2 3 c ) − 4 c 2 = 1 − 2 c + 2 c 2 ≥ 0 c = 2 − 2 c=2-\sqrt2 c = 2 − 2 c ≤ 2 − 2 = 1 / ( 1 + s ) c\le2-\sqrt2=1/(1+s) c ≤ 2 − 2 = 1/ ( 1 + s ) c ∣ ⟨ − ∣ e ⟩ ∣ 2 = c / 2 = 1 − 1 / 2 = 0.293 c\,\lvert \langle - | e \rangle \rvert ^2=c/2=1-1/\sqrt2=0.293 c ∣⟨ − ∣ e ⟩ ∣ 2 = c /2 = 1 − 1/ 2 = 0.293 c ∣ ⟨ g ∣ + ⟩ ∣ 2 = c / 2 = 0.293 c\,\lvert \langle g | + \rangle \rvert ^2=c/2=0.293 c ∣⟨ g ∣ + ⟩ ∣ 2 = c /2 = 0.293 1 − s 1-s 1 − s 1 − 0.293 = 0.707 1-0.293=0.707 1 − 0.293 = 0.707 { ∣ − ⟩ ⟨ − ∣ , ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ } \{| - \rangle \langle - |,| + \rangle \langle + |\} { ∣ − ⟩ ⟨ − ∣ , ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ } − - − 4.5.3 (ii) により、この測定は量子ビットに3次元の補助系を付けた射影測定として実現できる。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
