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橋：位置表示と基準、表示の選択とほかの部

2026年10月17日13分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第1部 第3章 波動関数は基準の位置表示であること
目次
  1. 位置表示と基準の同値を両向きに示す
  2. 学部の授業での書き方との対応
  3. 表示の選択からほかの部へ
  4. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第1部 第3章 §1.3.6　★★★ 位置表示は基準とユニタリ同値で予言が一致する。表示の選択は、経路積分・位相空間・流体・幾何学的量子化の出発点に現れる

位置表示と基準の同値を両向きに示す

この章の結果を、同値性の地図の一番上の矢印「波動関数（入門）→ 状態ベクトル（基準）」（第1部第1章）として述べ直す。状態ベクトルから波動関数を作る写像を Rx:∣ψ⟩↦ψ(x)=⟨x∣ψ⟩\mathcal R_x:| \psi \rangle \mapsto\psi(x)=\langle x | \psi \rangle と書く。

命題 1.3.3（位置表示と基準の同値 ★★★）

1次元のスピンのない粒子の H\mathcal{H} で、∣x⟩| x \rangle の位相を命題 1.3.2 の条件で選ぶ。

  1. (a) （基準 → 波動関数）Rx\mathcal R_x は H\mathcal{H} から L2(R)L^2(\mathbb{R}) へのユニタリ写像で、Rxx^Rx−1\mathcal R_x\hat x\mathcal R_x^{-1} は xx を掛ける演算子、Rxp^Rx−1=−iℏ d/dx\mathcal R_x\hat p\mathcal R_x^{-1}=-\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x、H^=p^2/(2m)+V(x^)\hat H=\hat p^2/(2m)+V(\hat x) のとき Rxe−iH^t/ℏRx−1\mathcal R_x\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\mathcal R_x^{-1} は Schrödinger 方程式iℏ∂tψ=−ℏ22mψ′′+Vψ\mathrm{i}\hbar\partial_t\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''+V\psi の解の時間発展である。
  2. (b) （波動関数 → 基準）逆に、L2(R)L^2(\mathbb{R}) の関数 ψ\psi、Schrödinger 方程式、確率密度 ∣ψ∣2\lvert \psi\rvert ^2、期待値 (1.3.8) から出発した入門の量子力学は、∣ψ⟩≔∫ψ(x)∣x⟩dx=Rx−1ψ| \psi \rangle \coloneqq\int\psi(x)| x \rangle \mathrm{d} x=\mathcal R_x^{-1}\psi と置くと、公理 Q1〜Q5 のすべての確率と期待値を同じ値で再現する。
証明

(a) ユニタリ性は、完全性の関係 (1.3.1) を内積に挿入した ⟨ϕ∣ψ⟩=∫ϕ(x)∗ψ(x)dx\langle \phi | \psi \rangle =\int\phi(x)^*\psi(x)\mathrm{d} x による。全射であることは、任意の ψ∈L2\psi\in L^2 に∫ψ(x)∣x⟩dx\int\psi(x)| x \rangle \mathrm{d} x が H\mathcal{H} の元として対応することによる。x^\hat x と p^\hat p の像は (1.3.5) そのもので、H^\hat H の像は p^\hat p の像の2乗と V(x)V(x) の掛け算の和である。∣ψ(t)⟩=e−iH^t/ℏ∣ψ⟩| \psi(t) \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}| \psi \rangle は iℏ∂t∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩\mathrm{i}\hbar\partial_t| \psi(t) \rangle =\hat H| \psi(t) \rangle を満たし、左から ⟨x∣\langle x | を掛けると位置表示の Schrödinger 方程式になる。

(b) Rx\mathcal R_x はユニタリなので内積を保つ。射影 P^(B)\hat P(B) の像は BB の定義関数を掛ける演算子で、⟨ψ∣P^(B)∣ψ⟩=∫B∣ψ∣2dx\langle \psi | \hat P(B) | \psi \rangle =\int_B\lvert \psi\rvert ^2\mathrm{d} x（(1.3.3)）。期待値は (1.3.8)、時間発展は (a) の最後の行による。位置以外の観測量 A^\hat A の確率は、A^\hat A のスペクトル分解の射影を Rx\mathcal R_x で写して同じ式で計算できる。

数学の言葉では、(a) の前半は「単純なスペクトルを持つ自己共役演算子 x^\hat x は、スペクトル定理の乗算作用素の形により L2L^2 上の掛け算の演算子にユニタリ同値である」という主張で、これが ∣x⟩| x \rangle を使わずに位置表示の存在を述べる方法である（自己共役演算子のスペクトル定理は 近似の数理 第3章）。同じ命題を運動量表示で述べるには Rp=FRx\mathcal R_p=\mathcal F\mathcal R_x（F\mathcal F は (1.3.10) の Fourier 変換）とすればよい。

学部の授業での書き方との対応

入門の式と基準の式は、次のように1行ずつ対応する。

規格化：∫∣ψ∣2dx=1⟷ ⟨ψ∣ψ⟩=1 に ∫∣x⟩⟨x∣dx=1^ を挿入,運動量：p→−iℏ∂∂x⟷ T^(a)=e−iap^/ℏ, T^(a)∣x⟩=∣x+a⟩,期待値：∫ψ∗f(x,−iℏ∂x)ψ dx⟷ ⟨ψ∣f(x^,p^)∣ψ⟩,運動量分布：ψ~(p)=12πℏ∫e−ipx/ℏψ dx⟷ ⟨p∣ψ⟩=∫⟨p∣x⟩⟨x∣ψ⟩ dx,固有関数展開：ψ=∑ncnφn(x)⟷ ∣ψ⟩=∑n∣n⟩⟨n∣ψ⟩.\begin{aligned}&\text{規格化：}&&\textstyle\int\lvert \psi\rvert ^2\mathrm{d} x=1 &&\longleftrightarrow\ \langle \psi | \psi \rangle =1\ \text{に}\ \textstyle\int| x \rangle \langle x |\mathrm{d} x=\hat1\ \text{を挿入},\\ &\text{運動量：}&&p\to-\mathrm{i}\hbar\frac{\partial }{\partial x} &&\longleftrightarrow\ \hat T(a)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} a\hat p/\hbar},\ \hat T(a)| x \rangle =| x+a \rangle ,\\ &\text{期待値：}&&\textstyle\int\psi^*f(x,-\mathrm{i}\hbar\partial_x)\psi\,\mathrm{d} x &&\longleftrightarrow\ \langle \psi | f(\hat x,\hat p) | \psi \rangle ,\\ &\text{運動量分布：}&&\tilde\psi(p)=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\textstyle\int\mathrm{e}^{-\mathrm{i} px/\hbar}\psi\,\mathrm{d} x &&\longleftrightarrow\ \langle p | \psi \rangle =\textstyle\int\langle p | x \rangle \langle x | \psi \rangle \,\mathrm{d} x,\\ &\text{固有関数展開：}&&\psi=\textstyle\sum_nc_n\varphi_n(x) &&\longleftrightarrow\ | \psi \rangle =\textstyle\sum_n| n \rangle \langle n | \psi \rangle .\end{aligned}

左の列は、右の列に位置の完全系を挿入したものである。左の列だけで書くと、運動量表示やエネルギー表示へ移る操作がすべて「積分変換」として個別に現れるが、右の列では「別の完全系を挿入する」という1つの操作にまとまる。

表示の選択からほかの部へ

表示を選ぶ操作は、この巻のいくつかの構成の出発点に現れる。

表 1.3.1　位置表示と表示の選択が現れるほかの部。どの式も、この章の ∣x⟩| x \rangle と完全性の関係 (1.3.1) から書ける。
部位置表示・表示の選択がどこに現れるか式
第3部 経路積分時間発展の演算子の位置表示の核K(xf,t;xi,0)=⟨xf∣e−iH^t/ℏ∣xi⟩K(x_f,t;x_i,0)=\langle x_f | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} | x_i \rangle
第5部 位相空間密度行列の位置表示を中心と差で並べ直し、差について Fourier 変換W=1πℏ∫dy ⟨x+y∣ρ^∣x−y⟩e−2ipy/ℏW=\frac{1}{\pi\hbar}\int\mathrm{d} y\,\langle x+y | \hat\rho | x-y \rangle \mathrm{e}^{-2\mathrm{i} py/\hbar}
第7部 流体位置表示の波動関数を極形式に分けるψ(x)=ρ eiS/ℏ\psi(x)=\sqrt{\rho}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}
第10部 幾何学的量子化偏極の選択＝表示の選択実偏極＝位置表示、正則偏極＝Bargmann 表示

第7部の極形式では、波動関数の位相 S(x)S(x) の勾配が速度場 v=∂xS/mv=\partial_xS/m になる。例題 1.3.3 で見たように、位相の勾配は ∣x⟩| x \rangle の位相の選び方に依存し、命題 1.3.2 の条件で位相を固定して初めて「運動量」と読める。第10部では、この位相の選び方の自由度 (1.3.6) が相空間の上の線束の接続として現れ、「どの変数の関数として状態を書くか」を偏極と呼ぶ。位置の関数として書く実偏極が位置表示、複素変数 zz の正則関数として書く正則偏極が次の Bargmann 表示である。

Bargmann 表示1V. Bargmann, Commun. Pure Appl. Math. 14, 187 (1961)。下の脚注へは、調和振動子のエネルギー表示の係数 cnc_n を正則関数f(z)=∑ncnzn/n!f(z)=\sum_nc_nz^n/\sqrt{n!} の Taylor 係数に詰めたもので、内積は ⟨f∣g⟩=∫f(z)‾g(z)e−∣z∣2d2zπ\langle f | g \rangle =\int\overline{f(z)}g(z)\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2}\frac{\mathrm{d}^2z}{\pi}（d2z=dRe⁡z dIm⁡z\mathrm{d}^2z=\mathrm{d}\operatorname{Re} z\,\mathrm{d}\operatorname{Im} z）である。この表示では消滅演算子が微分 a^→d/dz\hat a\to\mathrm{d}/\mathrm{d} z、生成演算子が掛け算 a^†→z\hat a^\dagger\to z になり、[d/dz, z]=1\left[\mathrm{d}/\mathrm{d} z,\,z\right]=1 が [a^, a^†]=1\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1 を実現する。調和振動子のハミルトニアンは ℏω(z d/dz+12)\hbar\omega(z\,\mathrm{d}/\mathrm{d} z+\frac12) で、znz^n がそのまま固有関数になる。この表示は、a^†a^\hat a^\dagger\hat a が一番大きい項である系（光の1モード・調和振動子の近く）を表すのに向いていて、コヒーレント状態との関係は 光学と量子エレクトロニクス 第31章で扱った。

例題 1.3.7　調和振動子の基底状態を4つの表示で書く ★★★

オリジナル共通例題①の調和振動子 H^=p^22m+12mω2x^2\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+\frac12m\omega^2\hat x^2 の基底状態 ∣0⟩| 0 \rangle と第1励起状態 ∣1⟩=a^†∣0⟩| 1 \rangle =\hat a^\dagger| 0 \rangle を考える。a^=mω2ℏ(x^+ip^mω)\hat a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\bigl(\hat x+\frac{\mathrm{i}\hat p}{m\omega}\bigr) とする。

  1. (1) 位置表示で a^∣0⟩=0\hat a| 0 \rangle =0 を微分方程式として解き、ψ0(x)\psi_0(x) を求めよ。
  2. (2) 運動量表示の ψ~0(p)\tilde\psi_0(p) を、運動量表示で a^∣0⟩=0\hat a| 0 \rangle =0 を解いて求めよ。
  3. (3) エネルギー表示と Bargmann 表示で ∣0⟩| 0 \rangle、∣1⟩| 1 \rangle を書き、Bargmann 表示で H^\hat H の固有値を確かめよ。
  4. (4) 4つの表示のうち H^\hat H が対角になるものはどれか。位置表示で H^\hat H が対角にならない理由を一言で述べよ。
解答

(1) (1.3.5) で a^→mω2ℏ(x+ℏmωddx)\hat a\to\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\bigl(x+\frac{\hbar}{m\omega}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\bigr) なので、ψ0′=−mωℏxψ0\psi_0'=-\frac{m\omega}{\hbar}x\psi_0、ψ0=(mωπℏ)1/4e−mωx2/(2ℏ)\psi_0=\bigl(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\bigr)^{1/4}\mathrm{e}^{-m\omega x^2/(2\hbar)}（例題 1.3.1 の式。規格化定数は ∫e−mωx2/ℏdx=πℏ/(mω)\int\mathrm{e}^{-m\omega x^2/\hbar}\mathrm{d} x=\sqrt{\pi\hbar/(m\omega)} から）。

(2) (1.3.11) で a^→mω2ℏ(iℏddp+ipmω)\hat a\to\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\bigl(\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} p}+\frac{\mathrm{i} p}{m\omega}\bigr) なので、ψ~0′=−pmωℏψ~0\tilde\psi_0'=-\frac{p}{m\omega\hbar}\tilde\psi_0、ψ~0(p)=(πmωℏ)−1/4e−p2/(2mωℏ)\tilde\psi_0(p)=(\pi m\omega\hbar)^{-1/4}\mathrm{e}^{-p^2/(2m\omega\hbar)}。位置表示を (1.3.10) で変換しても同じ結果になり（例題 1.3.4 で σ02=ℏ/(2mω)\sigma_0^2=\hbar/(2m\omega) と置く）、σp2=mωℏ/2\sigma_p^2=m\omega\hbar/2 である。

(3) エネルギー表示では ∣0⟩→(1,0,0,… )| 0 \rangle \to(1,0,0,\dots)、∣1⟩→(0,1,0,… )| 1 \rangle \to(0,1,0,\dots)。Bargmann 表示では f0(z)=1f_0(z)=1、f1(z)=zf_1(z)=z。ℏω(z d/dz+12)zn=ℏω(n+12)zn\hbar\omega(z\,\mathrm{d}/\mathrm{d} z+\frac12)z^n=\hbar\omega(n+\frac12)z^n なのでEn=ℏω(n+12)E_n=\hbar\omega(n+\frac12) で、共通例題①の正答と一致する。∫∣zn∣2e−∣z∣2d2zπ=n!\int\lvert z^n\rvert ^2\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2}\frac{\mathrm{d}^2z}{\pi}=n! なので、zn/n!z^n/\sqrt{n!} は規格化されている。

(4) 行列として対角になるのはエネルギー表示で、Bargmann 表示はその基底 ∣n⟩| n \rangle を単項式 zn/n!z^n/\sqrt{n!} に写しただけなので、H^=ℏω(z d/dz+12)\hat H=\hbar\omega(z\,\mathrm{d}/\mathrm{d} z+\frac12) は単項式の基底で同じく対角になる。位置表示と運動量表示では対角にならない。位置表示では運動エネルギー（核が δ′′\delta''）とポテンシャル（掛け算）の2つの項が同じ大きさを持ち、どちらも単独では一番大きい項にならないので、1.3.5 節の指針は H^\hat H 全体の固有状態、すなわちエネルギー表示を選べと言う。

1　V. Bargmann, Commun. Pure Appl. Math. 14, 187 (1961)。

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