運動量表示と表示の取り替え

量子力学の様々な構成方法　第1部 第3章 §1.3.3　★★★ 表示の取り替えはユニタリ変換で、位置と運動量の間では Fourier 変換になる

$\langle x | p \rangle$ を求める

$\hat p$ の一般化固有ベクトル $| p \rangle$ を位置表示で書く。$\varphi_p(x)\coloneqq\langle x | p \rangle$ は (1.3.5) から $-\mathrm{i}\hbar\varphi_p'=p\varphi_p$ を満たすので$\varphi_p(x)=C(p)\mathrm{e}^{\mathrm{i} px/\hbar}$ である。$p$ が複素数なら $\varphi_p$ は $x\to+\infty$ か $x\to-\infty$ の一方で指数関数的に増え、緩増加超関数にならないので一般化固有ベクトルとして使えない。したがって $p$ は実数に限られる。規格化は、$\int\mathrm{e}^{\mathrm{i}(p-p')x/\hbar}\mathrm{d} x=2\pi\hbar\,\delta(p-p')$ から$\langle p | p' \rangle =\lvert C(p)\rvert ^2\,2\pi\hbar\,\delta(p-p')$ なので、$C=1/\sqrt{2\pi\hbar}$ と選んで

$$\langle x | p \rangle =\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} px/\hbar},\qquad \langle p | p' \rangle =\delta(p-p'),\qquad \int| p \rangle \langle p |\,\mathrm{d} p=\hat1\tag{1.3.9}$$

とする。$| p \rangle$ にも $p$ の関数の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi(p)}$ を掛ける自由度があるが、運動量の並進 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} b\hat x/\hbar}| p \rangle =| p+b \rangle$ を課すと、命題 1.3.2 と同じ議論で定数の位相しか残らない。その定数を選んで $C$ を正の実数にした。

運動量表示

状態 $| \psi \rangle$ を $| p \rangle$ で展開した係数 $\tilde\psi(p)\coloneqq\langle p | \psi \rangle$ を運動量表示の波動関数と呼ぶ。位置の完全系を挿入すると

$$\tilde\psi(p)=\int\langle p | x \rangle \langle x | \psi \rangle \,\mathrm{d} x=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\mathrm{e}^{-\mathrm{i} px/\hbar}\psi(x)\,\mathrm{d} x,\qquad \psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\mathrm{e}^{\mathrm{i} px/\hbar}\tilde\psi(p)\,\mathrm{d} p\tag{1.3.10}$$

で、位置表示と運動量表示は Fourier 変換で結ばれる。全巻の記法の Fourier 変換は $2\pi$ を逆変換の側にだけ置くが、量子力学の表示の取り替えでは$\langle x | p \rangle$ の規格化から $1/\sqrt{2\pi\hbar}$ が両側に1つずつ入る。この対称な置き方にすると、変換がそのままユニタリになる。実際、

$$\int\lvert \tilde\psi(p)\rvert ^2\mathrm{d} p=\int\langle \psi | p \rangle \langle p | \psi \rangle \,\mathrm{d} p=\langle \psi | \psi \rangle =\int\lvert \psi(x)\rvert ^2\mathrm{d} x$$

で、これは Fourier 解析の Plancherel の定理を、2つの完全系 (1.3.1)・(1.3.9) の言葉で書いたものである。

運動量表示での演算子は、(1.3.5) と同じ計算を $\hat x$ と $\hat p$ の役を入れ替えて行えば

$$\langle p | \hat p | \psi \rangle =p\,\tilde\psi(p),\qquad \langle p | \hat x | \psi \rangle =\mathrm{i}\hbar\,\frac{\mathrm{d} \tilde\psi}{\mathrm{d} p}\tag{1.3.11}$$

になる（$\hat x$ は運動量の並進 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} b\hat x/\hbar}| p \rangle =| p+b \rangle$ の生成子で、符号は (1.3.4) と逆になる）。

表示の取り替えは一般にユニタリ

位置と運動量に限らず、2つの完全系 $\{| a \rangle \}$ と $\{| b \rangle \}$ の間の取り替えは、$\langle a | \psi \rangle =\sum_b\langle a | b \rangle \langle b | \psi \rangle$（連続なら和を積分に）で、係数 $\langle a | b \rangle$ を並べた行列（または核）はユニタリである。$\sum_b\langle a | b \rangle \langle b | a' \rangle =\langle a | a' \rangle$ がそのユニタリ性の式にあたる。離散の完全系の代表は、ハミルトニアンの固有ベクトル $| n \rangle$ によるエネルギー表示である。状態は数列 $c_n=\langle n | \psi \rangle$、演算子は行列$A_{mn}=\langle m | \hat A | n \rangle$ になり、ハミルトニアンは対角行列 $\operatorname{diag}(E_0,E_1,\dots)$ になる。Heisenberg が 1925 年に組み立てた行列力学は、この表示の中だけで書いた量子力学と読める（第2部第1章）。調和振動子なら $\langle x | n \rangle$ が Hermite 関数で、エネルギー表示と位置表示の取り替えの核になる。