共通例題③：自由粒子を2つの表示で解く

量子力学の様々な構成方法　第1部 第3章 §1.3.4　★★★ 自由粒子のハミルトニアンは運動量表示で対角なので、伝播関数も波束の広がりも1行の Gauss 積分に帰着する

位置表示で書くと偏微分方程式

自由粒子 $\hat H=\hat p^2/(2m)$ の時間発展を位置表示で書くと、(1.3.5) から

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\tag{1.3.12}$$

で、これは熱方程式に虚数の係数を付けた偏微分方程式である。$\hat H$ の核 $\langle x | \hat H | x' \rangle =-\frac{\hbar^2}{2m}\delta''(x-x')$ は対角のすぐ近くに値を持つが、対角ではない。この表示のまま解こうとすると、偏微分方程式の解法（Fourier 変換か、類似解の仮定）を持ち出すことになる。

運動量表示で書くと掛け算

運動量表示では (1.3.11) から $\langle p | \hat H | \psi \rangle =\frac{p^2}{2m}\tilde\psi(p)$ で、$\hat H$ は対角である。Schrödinger 方程式は各 $p$ ごとの常微分方程式$\mathrm{i}\hbar\,\partial_t\tilde\psi=\frac{p^2}{2m}\tilde\psi$ に分かれ、

$$\tilde\psi(p,t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p^2t/(2m\hbar)}\,\tilde\psi(p,0)\tag{1.3.13}$$

で解き終わる。運動量の分布 $\lvert \tilde\psi(p,t)\rvert ^2$ は時間によらない。自由粒子では運動量が保存するので、これは当然の結果である。

位置表示へ戻すには (1.3.10) を使う。$\tilde\psi(p,0)=\int\langle p | x' \rangle \psi(x',0)\mathrm{d} x'$ を入れて $p$ の積分を先に行うと$\psi(x,t)=\int K(x,t;x',0)\psi(x',0)\,\mathrm{d} x'$ の形になり、核は

$$K(x,t;x',0)=\int\langle x | p \rangle \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p^2t/(2m\hbar)}\langle p | x' \rangle \,\mathrm{d} p=\frac{1}{2\pi\hbar}\int\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i} p(x-x')}{\hbar}-\frac{\mathrm{i} tp^2}{2m\hbar}\Bigr]\mathrm{d} p$$

である。指数を $p$ について平方完成すると $-\frac{\mathrm{i} t}{2m\hbar}\bigl(p-\frac{m(x-x')}{t}\bigr)^2+\frac{\mathrm{i} m(x-x')^2}{2\hbar t}$ になる。$\int\mathrm{e}^{-aq^2}\mathrm{d} q=\sqrt{\pi/a}$ は$\operatorname{Re} a>0$ で成り立つので、$t$ を $t-\mathrm{i}\eta$（$\eta\to+0$）とずらして $a=\mathrm{i} t/(2m\hbar)$ の実部を正にしてから使うと、

$$K(x,t;x',0)=\frac{1}{2\pi\hbar}\sqrt{\frac{2\pi m\hbar}{\mathrm{i} t}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} m(x-x')^2/(2\hbar t)}=\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar t}}\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i} m(x-x')^2}{2\hbar t}\Bigr)\tag{1.3.14}$$

を得る（$\sqrt{\mathrm{i}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}$ の枝を取る）。共通例題③の正答の形（第1部第1章）と一致する。第1部第1章では同じ式を運動量の完全系の挿入として導き、例題で Schrödinger 方程式と合成則を確かめた。ここでの読み方は「$\hat H$ を対角にする表示で解き、最後に表示を取り替えた」ということである。第3部では、同じ $K$ を作用 $m(x-x')^2/(2t)$ の Gauss 積分として読み直す。

波束の広がりを運動量表示で数える

波束の幅も、運動量表示で数えると見通しがよい。$\tilde\psi(p,0)=A(p)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_0(p)}$（$A\ge0$）と書くと、(1.3.13) は位相に$-p^2t/(2m\hbar)$ を足すだけである。位置の演算子 $\hat x=\mathrm{i}\hbar\,\partial_p$ の期待値は、$A$ が実なので $\mathrm{i}\hbar\int AA'\mathrm{d} p=0$ となる項を除いて

$$\langle \hat x \rangle (t)=-\hbar\int A^2\,\partial_p\theta\,\mathrm{d} p=\langle \hat x \rangle (0)+\frac{\langle \hat p \rangle t}{m},\qquad \langle \hat x^2 \rangle (t)=\hbar^2\int\bigl(A'^2+A^2(\partial_p\theta)^2\bigr)\mathrm{d} p$$

となる。初めの状態で位置と運動量の相関が無い場合（$\theta_0$ が $p$ の1次式。下の Gauss 波束はその例）、これを展開すると

$$\sigma_x(t)^2=\sigma_x(0)^2+\frac{\sigma_p^2t^2}{m^2}\tag{1.3.15}$$

になる（$\theta_0=-px_0/\hbar$ とすると $\partial_p\theta=-x_0/\hbar-pt/(m\hbar)$ で、$\hbar^2\int A^2(\partial_p\theta)^2=\langle (x_0+pt/m)^2 \rangle$。$\hbar^2\int A'^2$ は時刻 $0$ の位置の分散 $\sigma_x(0)^2$ に等しい）。運動量の分布が変わらず、各成分が速さ $p/m$ で走るので、位置の分散には運動量の分散が $t^2/m^2$ 倍で足される。Gauss 波束では $\sigma_p=\hbar/(2\sigma_0)$ を入れて

$$\sigma(t)^2=\sigma_0^2+\Bigl(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0}\Bigr)^2=\sigma_0^2\Bigl(1+\frac{t^2}{t_*^2}\Bigr),\qquad t_*\coloneqq\frac{2m\sigma_0^2}{\hbar}\tag{1.3.16}$$

で、共通例題③の正答と一致する。第1部第1章では同じ式を Heisenberg 描像の $\hat x_{\mathrm H}(t)=\hat x+\hat pt/m$ から出した。運動量表示の計算は、その Heisenberg 描像の式を $\hat p$ の固有値ごとに読んだものになっている。この式の形は 第1部第1章の図 に描いた。$t\ll t_*$ では初めの幅がほぼ保たれ、$t\gg t_*$ では $\sigma_pt/m$ で広がり、2つの近似は $t=t_*$ で交わる（そこで厳密な値は $\sqrt2\,\sigma_0$）。