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密度演算子の要請を基準の公理から導く

2026年10月17日12分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第4部 第2章 基準との同値：部分トレース・Schmidt 分解・浄化
目次
  1. 同値の定理
  2. 測定を相互作用として書く
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第4部 第2章 §4.2.4　★★★ 浄化 ∣Ψ⟩| \Psi \rangle に基準の公理 Q1〜Q6 を当てると、A の側で (D2) 確率・(D3) 時間発展・(D4) 測定・(D5) 部分系がそのまま出てくる。結果は浄化の選び方によらない

同値の定理

浄化を使って、(D1)〜(D5) を基準の公理 Q1〜Q6 から導く。考え方は単純で、A の混合状態 ρ^A\hat\rho_{\mathrm A} を見る代わりに、その浄化 ∣Ψ⟩AR| \Psi \rangle _{\mathrm{AR}} を基準の公理に従う純粋状態として扱い、A に対する操作はすべて (A の操作)⊗1R(\text{A の操作})\otimes\mathbf 1_{\mathrm R} として R に触らずに行う。そのとき A について得られる確率と状態が (D1)〜(D5) と一致することを示す。

定理 4.2.5（密度演算子の構成と基準の構成の同値 ★★★）

ρ^A\hat\rho_{\mathrm A} を A の密度演算子、∣Ψ⟩∈HA⊗HR| \Psi \rangle \in\mathcal{H}_{\mathrm A}\otimes\mathcal{H}_{\mathrm R} をその浄化とする。∣Ψ⟩| \Psi \rangle に基準の公理を当てると、次が成り立つ。

  1. (a) （D2 ← Q3）A の物理量 A^=∑aaP^a\hat A=\sum_aa\hat P_a を測って aa を得る確率は ⟨Ψ∣P^a⊗1∣Ψ⟩=Tr⁡(ρ^AP^a)\langle \Psi | \hat P_a\otimes\mathbf 1 | \Psi \rangle =\operatorname{Tr}(\hat\rho_{\mathrm A}\hat P_a)。
  2. (b) （D3 ← Q5）A だけのユニタリ U^\hat U で ∣Ψ⟩↦(U^⊗1)∣Ψ⟩| \Psi \rangle \mapsto(\hat U\otimes\mathbf 1)| \Psi \rangle と発展させると、その部分トレースは U^ρ^AU^†\hat U\hat\rho_{\mathrm A}\hat U^\dagger。
  3. (c) （D4 ← Q4）P^a⊗1\hat P_a\otimes\mathbf 1 の測定で aa を得た後の状態 (P^a⊗1)∣Ψ⟩/∥(P^a⊗1)∣Ψ⟩∥(\hat P_a\otimes\mathbf 1)| \Psi \rangle /\lVert (\hat P_a\otimes\mathbf 1)| \Psi \rangle \rVert の部分トレースは P^aρ^AP^a/Tr⁡(ρ^AP^a)\hat P_a\hat\rho_{\mathrm A}\hat P_a/\operatorname{Tr}(\hat\rho_{\mathrm A}\hat P_a)。結果を読まずに平均すると ∑aP^aρ^AP^a\sum_a\hat P_a\hat\rho_{\mathrm A}\hat P_a。
  4. (d) （D5 ← Q6）A が合成系 A=A1A2\mathrm A=\mathrm A_1\mathrm A_2 なら、Tr⁡A2ρ^A=Tr⁡A2R∣Ψ⟩⟨Ψ∣\operatorname{Tr}_{\mathrm A_2}\hat\rho_{\mathrm A}=\operatorname{Tr}_{\mathrm A_2\mathrm R}| \Psi \rangle \langle \Psi | で、A1_1 の状態は全体の純粋状態の部分トレースとして同じものになる。
  5. (e) （予言の一意性）(a)〜(d) の右辺は ρ^A\hat\rho_{\mathrm A} だけで決まり、浄化の選び方によらない。

したがって (D1)〜(D5) の予言はすべて、基準の公理に従う純粋状態の予言として再現される。第4部第1章の結果（(D1)〜(D5) は ρ^=∣ψ⟩⟨ψ∣\hat\rho=| \psi \rangle \langle \psi | で基準の公理に戻る）と合わせて、2つの構成は同値である。

証明

(a) Born の規則（Q3）を ∣Ψ⟩| \Psi \rangle と射影 P^a⊗1\hat P_a\otimes\mathbf 1 に当て、部分トレースの特徴づけ Tr⁡[∣Ψ⟩⟨Ψ∣(P^a⊗1)]=Tr⁡A(ρ^AP^a)\operatorname{Tr}[| \Psi \rangle \langle \Psi |(\hat P_a\otimes\mathbf 1)]=\operatorname{Tr}_{\mathrm A}(\hat\rho_{\mathrm A}\hat P_a)（第4部第1章）を使う。

(b) Tr⁡R[(U^⊗1)∣Ψ⟩⟨Ψ∣(U^†⊗1)]\operatorname{Tr}_{\mathrm R}\big[(\hat U\otimes\mathbf 1)| \Psi \rangle \langle \Psi |(\hat U^\dagger\otimes\mathbf 1)\big] を部分トレースの定義 ∑k(1⊗⟨k∣)⋯(1⊗∣k⟩)\sum_k(\mathbf 1\otimes\langle k |)\cdots(\mathbf 1\otimes| k \rangle ) で書くと、U^⊗1\hat U\otimes\mathbf 1 は 1⊗⟨k∣\mathbf 1\otimes\langle k | と交換するので、U^\hat U を外に出せて U^(Tr⁡R∣Ψ⟩⟨Ψ∣)U^†=U^ρ^AU^†\hat U\big(\operatorname{Tr}_{\mathrm R}| \Psi \rangle \langle \Psi |\big)\hat U^\dagger=\hat U\hat\rho_{\mathrm A}\hat U^\dagger。

(c) (b) と同じ理由で Tr⁡R[(P^a⊗1)∣Ψ⟩⟨Ψ∣(P^a⊗1)]=P^aρ^AP^a\operatorname{Tr}_{\mathrm R}\big[(\hat P_a\otimes\mathbf 1)| \Psi \rangle \langle \Psi |(\hat P_a\otimes\mathbf 1)\big]=\hat P_a\hat\rho_{\mathrm A}\hat P_a。規格化の因子は (a) の確率 Tr⁡(ρ^AP^a)\operatorname{Tr}(\hat\rho_{\mathrm A}\hat P_a) である。結果を読まない場合は、確率 Tr⁡(ρ^AP^a)\operatorname{Tr}(\hat\rho_{\mathrm A}\hat P_a) と測定後の縮約状態の積を足して ∑aP^aρ^AP^a\sum_a\hat P_a\hat\rho_{\mathrm A}\hat P_a。

(d) 部分トレースは順番に取ってよい（Tr⁡A2R=Tr⁡A2Tr⁡R\operatorname{Tr}_{\mathrm A_2\mathrm R}=\operatorname{Tr}_{\mathrm A_2}\operatorname{Tr}_{\mathrm R}）。これは定義の和を基底 ∣m⟩A2∣k⟩R| m \rangle _{\mathrm A_2}| k \rangle _{\mathrm R} で取るときに、和の順序を入れ替えるだけである。

(e) (a)〜(d) の右辺には ρ^A\hat\rho_{\mathrm A} と A の演算子しか現れない。別の浄化 ∣Ψ′⟩| \Psi' \rangle を取っても、定理 4.2.4 により ∣Ψ′⟩=(1⊗V^)∣Ψ⟩| \Psi' \rangle =(\mathbf 1\otimes\hat V)| \Psi \rangle で、A の操作は 1⊗V^\mathbf 1\otimes\hat V と交換し、V^†V^=1\hat V^\dagger\hat V=\mathbf 1 が部分トレースの中で消えるので、同じ結果になる。

第4.2.1節の固有値分解の道と比べると、浄化の道の違いは (d) にある。浄化を作るときに R を「A とそれ以外の世界全部」と読めば、A がほかの系ともつれているときの A の混合状態は、全体の純粋状態の部分そのものである。第4.2.1節の ∣Φ+⟩| \Phi^+ \rangle の例では、B が R の役を果たし、浄化は ∣Φ+⟩| \Phi^+ \rangle 自身である。浄化の道では A と R の相関も基準の公理のまま計算できるので、⟨σx⊗σx⟩=1\langle \sigma_x\otimes\sigma_x \rangle =1 も正しく出る。

測定を相互作用として書く

定理 4.2.5 の (c) は、A の測定を基準の公理の Q4 で扱った。浄化の道はもう一歩進めて、測定装置そのものを R の一部と見なし、「結果を読まない測定」をユニタリな相互作用と部分トレースだけで書くこともできる。量子ビット A を σz\sigma_z で測る装置を、指針の量子ビット R（初めは ∣0⟩| 0 \rangle）で表し、相互作用のユニタリ U^θ\hat U_\theta を

U^θ∣↑⟩∣0⟩=∣↑⟩∣0⟩,U^θ∣↓⟩∣0⟩=∣↓⟩(cos⁡θ∣0⟩+sin⁡θ∣1⟩)(4.2.8)\hat U_\theta| \uparrow \rangle | 0 \rangle =| \uparrow \rangle | 0 \rangle ,\qquad \hat U_\theta| \downarrow \rangle | 0 \rangle =| \downarrow \rangle \big(\cos\theta| 0 \rangle +\sin\theta| 1 \rangle \big)\tag{4.2.8}

と定める（∣↑⟩∣1⟩| \uparrow \rangle | 1 \rangle、∣↓⟩∣1⟩| \downarrow \rangle | 1 \rangle の行き先は、全体がユニタリになるように直交補空間で決める）。θ=π/2\theta=\pi/2 なら、∣↓⟩| \downarrow \rangle のときだけ指針が ∣1⟩| 1 \rangle に倒れる完全な測定（制御 NOT ゲート）である。

A の初めの状態を α∣↑⟩+β∣↓⟩\alpha| \uparrow \rangle +\beta| \downarrow \rangle とすると、相互作用の後の全体の状態は α∣↑⟩∣0⟩+β∣↓⟩(cos⁡θ∣0⟩+sin⁡θ∣1⟩)\alpha| \uparrow \rangle | 0 \rangle +\beta| \downarrow \rangle (\cos\theta| 0 \rangle +\sin\theta| 1 \rangle ) で、A の縮約密度演算子は

ρ^A=(∣α∣2αβˉcos⁡θαˉβcos⁡θ∣β∣2)(4.2.9)\hat\rho_{\mathrm A}=\begin{pmatrix}\lvert \alpha\rvert ^2&\alpha\bar\beta\cos\theta\\\bar\alpha\beta\cos\theta&\lvert \beta\rvert ^2\end{pmatrix}\tag{4.2.9}

になる。非対角要素に R の2つの状態の内積 ⟨0∣cos⁡θ 0+sin⁡θ 1⟩=cos⁡θ\langle 0 | \cos\theta\,0+\sin\theta\,1 \rangle =\cos\theta が掛かる。θ=π/2\theta=\pi/2 では非対角要素が消え、ρ^A=∣α∣2∣↑⟩⟨↑∣+∣β∣2∣↓⟩⟨↓∣=∑aP^aρ^A(0)P^a\hat\rho_{\mathrm A}=\lvert \alpha\rvert ^2| \uparrow \rangle \langle \uparrow |+\lvert \beta\rvert ^2| \downarrow \rangle \langle \downarrow |=\sum_a\hat P_a\hat\rho_{\mathrm A}^{(0)}\hat P_a で、(D4) の結果を読まない測定そのものになる。0<θ<π/20<\theta<\pi/2 は指針が A の状態を不完全にしか区別しない弱い測定で、純粋度は θ\theta とともに下がる。

(4.2.9) は、A の側だけで書くと ρ^A=∑kK^kρ^A(0)K^k†\hat\rho_{\mathrm A}=\sum_k\hat K_k\hat\rho^{(0)}_{\mathrm A}\hat K_k^\dagger、K^k=⟨k∣RU^θ∣0⟩R\hat K_k=\langle k |_{\mathrm R}\hat U_\theta| 0 \rangle _{\mathrm R} という形になる。この例では K^0=∣↑⟩⟨↑∣+cos⁡θ∣↓⟩⟨↓∣\hat K_0=| \uparrow \rangle \langle \uparrow |+\cos\theta| \downarrow \rangle \langle \downarrow |、K^1=sin⁡θ∣↓⟩⟨↓∣\hat K_1=\sin\theta| \downarrow \rangle \langle \downarrow | で、K^0†K^0+K^1†K^1=1\hat K_0^\dagger\hat K_0+\hat K_1^\dagger\hat K_1=\mathbf 1 を満たす。「A と R の全体がユニタリに発展し、R を捨てる」と、A の側には (D3) のユニタリでも (D4) の射影でもない一般の写像が現れる。その一般論（Kraus 表示と、逆にどの完全正値写像もこの形に書けるという Stinespring の定理。Stinespring (1955), Proc. Amer. Math. Soc. 6, 211）は第4部第5章（第4部第5章）で扱う。

例題 4.2.4　指針の量子ビットで測る ★★★

オリジナル(4.2.8) の装置で、A の初めの状態を 0.6∣↑⟩+0.8∣↓⟩0.6| \uparrow \rangle +0.8| \downarrow \rangle とする。

  1. (1) θ=π/2\theta=\pi/2 のとき、相互作用の後の A の縮約密度演算子を求め、σz\sigma_z の結果を読まない測定 ∑aP^aρ^P^a\sum_a\hat P_a\hat\rho\hat P_a と一致することを確かめよ。
  2. (2) θ=π/2\theta=\pi/2 で指針を ∣0⟩,∣1⟩| 0 \rangle ,| 1 \rangle の基底で読む（R に Q4 を当てる）。指針が 11 を示す確率と、そのときの A の状態を求めよ。
  3. (3) θ=π/3\theta=\pi/3 のとき、A の Bloch ベクトルと純粋度を求めよ。
解答

(1) 相互作用の後は 0.6∣↑⟩∣0⟩+0.8∣↓⟩∣1⟩0.6| \uparrow \rangle | 0 \rangle +0.8| \downarrow \rangle | 1 \rangle。R についてトレースを取ると交差項は ⟨1∣0⟩=0\langle 1 | 0 \rangle =0 で消え、ρ^A=diag(0.36,0.64)\hat\rho_{\mathrm A}=\mathrm{diag}(0.36,0.64)。初めの状態 ρ^(0)=(0.360.480.480.64)\hat\rho^{(0)}=\begin{pmatrix}0.36&0.48\\0.48&0.64\end{pmatrix} に ∑aP^aρ^(0)P^a\sum_a\hat P_a\hat\rho^{(0)}\hat P_a を当てると対角要素だけが残って同じ diag(0.36,0.64)\mathrm{diag}(0.36,0.64) になる。

(2) 1⊗∣1⟩⟨1∣\mathbf 1\otimes| 1 \rangle \langle 1 | の確率は ∥0.8∣↓⟩∣1⟩∥2=0.64\lVert 0.8| \downarrow \rangle | 1 \rangle \rVert ^2=0.64 で、測定後の全体の状態は ∣↓⟩∣1⟩| \downarrow \rangle | 1 \rangle、A の状態は ∣↓⟩| \downarrow \rangle。A の σz\sigma_z を直接測って −1-1 を得たときと同じ確率・同じ状態で、Lüders の規則 (D4) の選択的な場合が、R の測定と基準の公理から出てくる。

(3) (4.2.9) で α=0.6\alpha=0.6、β=0.8\beta=0.8、cos⁡θ=12\cos\theta=\tfrac12 なので ρ↑↓=0.24\rho_{\uparrow\downarrow}=0.24。Bloch ベクトルはrx=2Re⁡ρ↑↓=0.48r_x=2\operatorname{Re}\rho_{\uparrow\downarrow}=0.48、ry=0r_y=0、rz=0.36−0.64=−0.28r_z=0.36-0.64=-0.28。純粋度は 12(1+∣r∣2)=12(1+0.2304+0.0784)=0.654\tfrac12(1+\lvert \bm{r}\rvert ^2)=\tfrac12(1+0.2304+0.0784)=0.654。初めの純粋状態（∣r∣=1\lvert \bm{r}\rvert =1、rx=0.96r_x=0.96）から、指針とのもつれで rxr_x が cos⁡θ\cos\theta 倍に縮んだ。

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