共通例題③：純粋な波束と混合した波束の広がり

量子力学の様々な構成方法　第4部 第2章 §4.2.5　★★★ 自由粒子の波束の広がりを密度行列で解き、正答表の $\sigma(t)^2=\sigma_0^2+(\hbar t/2m\sigma_0)^2$ を再現する。混合した波束では $\hbar/2\sigma_0$ が運動量の広がり $\Delta p$ に置き換わり、同じ答えがアンサンブルと浄化からも出る

位置表示の密度行列

共通例題③は自由粒子 $\hat H=\hat p^2/(2m)$ の波束の広がりである。第4部の言葉で解くと、純粋な波束と混合した波束を同じ式で扱える。位置表示の密度行列 $\rho(x,x')=\langle x | \hat\rho | x' \rangle$ を、重心 $X=(x+x')/2$ と差 $\xi=x-x'$ で

$$\rho(x,x')=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_0^2}}\exp\Big(-\frac{X^2}{2\sigma_0^2}-\frac{\Delta p^2\,\xi^2}{2\hbar^2}\Big)\tag{4.2.10}$$

と置く。対角要素 $\rho(x,x)$ は位置の確率密度で、標準偏差 $\sigma_0$ の Gauss 分布である。運動量の分布は $\Pr(p)=\langle p | \hat\rho | p \rangle =\frac{1}{2\pi\hbar}\iint\rho(x,x')\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p(x-x')/\hbar}\mathrm{d} x\,\mathrm{d} x'$ で、$X$ と $\xi$ の積分に分かれて、標準偏差 $\Delta p$ の Gauss 分布になる。純粋度は $\iint\lvert \rho(x,x')\rvert ^2\mathrm{d} x\,\mathrm{d} x'$ を同じ変数で計算して

$$\mu\coloneqq\operatorname{Tr}\hat\rho^2=\frac{1}{2\pi\sigma_0^2}\cdot\sqrt\pi\,\sigma_0\cdot\frac{\sqrt\pi\,\hbar}{\Delta p}=\frac{\hbar}{2\sigma_0\Delta p}\tag{4.2.11}$$

である。純粋度は1を超えないので $\sigma_0\Delta p\ge\hbar/2$ で、これは不確定性関係である。等号 $\Delta p=\hbar/(2\sigma_0)$ のとき、(4.2.10) は$\psi(x)\overline{\psi(x')}$、$\psi(x)=(2\pi\sigma_0^2)^{-1/4}\mathrm{e}^{-x^2/(4\sigma_0^2)}$ そのもの（指数が $-(x^2+x'^2)/(4\sigma_0^2)=-X^2/(2\sigma_0^2)-\xi^2/(8\sigma_0^2)$）で、正答表の純粋な波束に一致する。

広がりの計算

(D3) により $\hat\rho(t)=\hat U\hat\rho\hat U^\dagger$ で、位置の分散は、第4部第1章で描像の変換を示したのと同じくトレースの巡回性から Heisenberg 描像の $\hat x_{\mathrm H}(t)=\hat x+\hat pt/m$ で計算することができる。第1部第1章で示した演算子の恒等式

$$\hat x_{\mathrm H}(t)^2=\hat x^2+\frac tm(\hat x\hat p+\hat p\hat x)+\frac{t^2}{m^2}\hat p^2$$

は状態によらないので、混合状態でもそのまま使える。(4.2.10) は $x\mapsto-x$ で対称なので $\operatorname{Tr}[\hat\rho(\hat x\hat p+\hat p\hat x)]=0$ で、$\langle \hat x \rangle =\langle \hat p \rangle =0$ だから

$$\sigma(t)^2=\sigma_0^2+\Big(\frac{\Delta p\,t}{m}\Big)^2\tag{4.2.12}$$

を得る。純粋な波束 $\Delta p=\hbar/(2\sigma_0)$ では $\sigma(t)^2=\sigma_0^2+(\hbar t/(2m\sigma_0))^2$ で、正答表（第1部第1章）の形と一致する。(4.2.11) を使って $\Delta p$ を純粋度で書き、第1部第1章の時間の尺度 $t_*=2m\sigma_0^2/\hbar$ で測ると

$$\frac{\sigma(t)^2}{\sigma_0^2}=1+\frac{1}{\mu^2}\Big(\frac{t}{t_*}\Big)^2\tag{4.2.13}$$

である。同じ初めの幅でも、純粋度が $\mu$ の混合した波束は $1/\mu$ 倍速く広がる（図 4.2.1）。

アンサンブルと浄化から同じ答えを出す

(4.2.10) を、この章の2つの道の両方で純粋状態から作り直す。

アンサンブルの道では、純粋な波束 $\psi(x)$ に平均の運動量 $\bar p$ を与えた $\psi_{\bar p}(x)=\psi(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bar px/\hbar}$ を、$\bar p$ が平均 $0$、標準偏差 $s$ の Gauss 分布 $f(\bar p)$ に従うように確率的に準備する。密度行列は

$$\int f(\bar p)\,\psi_{\bar p}(x)\overline{\psi_{\bar p}(x')}\,\mathrm{d}\bar p=\psi(x)\overline{\psi(x')}\int f(\bar p)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bar p(x-x')/\hbar}\mathrm{d}\bar p=\psi(x)\overline{\psi(x')}\exp\Big(-\frac{s^2\xi^2}{2\hbar^2}\Big)$$

で、(4.2.10) の $\Delta p^2=\hbar^2/(4\sigma_0^2)+s^2$ の場合になる。各成分の純粋な波束は平均位置 $\bar pt/m$ に動きながら $\sigma_0^2+(\hbar t/2m\sigma_0)^2$ で広がり、平均位置のばらつき $s^2t^2/m^2$ が足されて (4.2.12) になる。

浄化の道では、補助の粒子 R（位置 $y$）を足し、R の波動関数を $\chi(y)$（$\lvert \chi\rvert ^2$ は標準偏差 $w$ の Gauss 分布）として、全体の純粋状態を

$$\Psi(x,y)=\psi(x)\,\chi(y)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} gxy/\hbar}\tag{4.2.14}$$

と置く。これは積状態 $\psi\otimes\chi$ に、A の運動量を R の位置 $y$ に比例して $gy$ だけずらす相互作用のユニタリ $\exp(\mathrm{i} g\hat x\otimes\hat y/\hbar)$ を当てたものである。R についての部分トレース $\rho_{\mathrm A}(x,x')=\int\Psi(x,y)\overline{\Psi(x',y)}\,\mathrm{d} y$ は

$$\rho_{\mathrm A}(x,x')=\psi(x)\overline{\psi(x')}\int\lvert \chi(y)\rvert ^2\mathrm{e}^{\mathrm{i} g(x-x')y/\hbar}\mathrm{d} y=\psi(x)\overline{\psi(x')}\exp\Big(-\frac{g^2w^2\xi^2}{2\hbar^2}\Big)$$

で、$s=gw$ としたアンサンブルの道と同じ密度行列になる。定理 4.2.5 (b) により、全体を $\hat U_{\mathrm A}(t)\otimes\mathbf 1$ で発展させて位置の分散を純粋状態 $\Psi$ で計算しても (4.2.12) が出る。実際、$\Psi$ で $\hat p$ は $-\mathrm{i}\hbar\partial_x\psi$ の寄与と $gy$ の寄与に分かれ、$\langle \hat p^2 \rangle =\hbar^2/(4\sigma_0^2)+g^2w^2$、$\langle \hat x\hat p+\hat p\hat x \rangle =2g\langle x \rangle \langle y \rangle =0$ である。

混合した波束の Schmidt 係数

浄化 (4.2.14) の Schmidt 係数、つまり (4.2.10) の固有値は、純粋度 $\mu$ だけで決まる等比数列になる。(4.2.10) は指数が $x,x'$ の2次式の Gauss 核で、適当な振動数の調和振動子の熱平衡の密度行列と同じ形をしているので、固有値は Boltzmann 因子の等比数列

$$\lambda_n=(1-q)q^n\quad(n=0,1,2,\dots),\qquad \mu=\sum_n\lambda_n^2=\frac{1-q}{1+q},\qquad q=\frac{1-\mu}{1+\mu}\tag{4.2.15}$$

になる（熱平衡の密度行列の固有値が等比数列になることは第4部第4章で示す。ここでは verify_ch4-02.py で (4.2.14) を格子に置いて対角化し、確かめた）。$\mu=1/3$ なら $q=1/2$ で $\lambda_n=2^{-(n+1)}$、もつれのエントロピーは $-\sum_n\lambda_n\ln\lambda_n=2\ln2$ である（図 4.2.2）。位置と運動量の両方に広がりを持つ混合した波束は、補助の粒子と「熱平衡の調和振動子のような」もつれ方をした純粋状態の一部分として書くことができる。