橋：Poisson 括弧・量子の交換子・Schrödinger 方程式と並べる

量子力学の様々な構成方法　第10部 第2章 §10.2.6　★★★ この章の $\omega$ と $X_f$ が、座標の Poisson 括弧（第2部）・量子の交換子・状態ベクトルの時間発展（基準）とどう対応するかを式で並べる

座標の書き方との対応

学部の解析力学の授業では、相空間の構造を Poisson 括弧と行列 $\mathsf J$ で書く。この章の書き方と並べると次のとおりである（左が座標の形、右がこの章の形）。

$$\begin{aligned}&\{f,g\}=(\nabla f)^{\mathsf T}\mathsf J\,\nabla g &&\longleftrightarrow&& \{f,g\}=\omega(X_f,X_g),\\ &\dot z=\mathsf J\,\nabla H\quad(z=(q,p)) &&\longleftrightarrow&& \iota_{X_H}\omega=\mathrm{d} H,\ \ \dot x=X_H,\\ &M^{\mathsf T}\mathsf JM=\mathsf J\quad(M=\partial Z/\partial z) &&\longleftrightarrow&& \phi^*\omega=\omega,\\ &\textstyle\prod_i\mathrm{d} q_i\,\mathrm{d} p_i\ \text{が保たれる（Liouville）} &&\longleftrightarrow&& L_{X_H}(\omega^{f_{\mathrm d}}/f_{\mathrm d}!)=0,\\ &\textstyle\sum_ip_i\,\mathrm{d} q_i-\sum_iP_i\,\mathrm{d} Q_i=\mathrm{d} F_1 &&\longleftrightarrow&& \phi^*\theta-\theta\ \text{が完全形式},\\ &H(q,\partial S/\partial q)=E\ \text{（Hamilton--Jacobi）} &&\longleftrightarrow&& \Lambda_S\ \text{が Lagrange で}\ H|_{\Lambda_S}=E .\end{aligned}$$

左の列はどれも $\mathsf J$ が定数の行列で書ける Darboux 座標を前提にしている。右の列は座標を指定せず、$\omega$ が定数でない座標や、球面のように1組の座標で覆えない相空間でも同じ式で使える。

Poisson 括弧とシンプレクティック形式は同じ情報を持つ

右と左の列の1行目が両向きに同値であることを示す。シンプレクティック形式 $\omega$ の行列を $\Sigma(x)$（各点で反対称・正則）とし、Poisson 括弧を行列 $\Pi(x)$ で $\{f,g\}=(\nabla f)^{\mathsf T}\Pi\,\nabla g$ と書く。

証明

(i) $\iota_{X_f}\omega=\mathrm{d} f$ は $X_f^{\mathsf T}\Sigma=(\nabla f)^{\mathsf T}$、つまり $X_f=(\Sigma^{\mathsf T})^{-1}\nabla f=-\Sigma^{-1}\nabla f$。$\omega(X_f,X_g)=X_f^{\mathsf T}\Sigma X_g=(\nabla f)^{\mathsf T}(\Sigma^{-1})^{\mathsf T}\Sigma\Sigma^{-1}\nabla g=-(\nabla f)^{\mathsf T}\Sigma^{-1}\nabla g$ なので $\Pi=-\Sigma^{-1}$。反対称・双線形は行列の形から、Leibniz 則 $\{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}$ は $\nabla(gh)=h\nabla g+g\nabla h$ から従う。(ii) $\Sigma=-\Pi^{-1}$ は反対称（$\Pi$ が反対称なので）で正則、(i) を当てると $-\Sigma^{-1}=\Pi$ に戻る。(iii) 2形式の外微分は、3つのベクトル場について$\mathrm{d}\omega(X,Y,Z)=X\omega(Y,Z)-Y\omega(X,Z)+Z\omega(X,Y)-\omega([X,Y],Z)+\omega([X,Z],Y)-\omega([Y,Z],X)$ と書ける（成分の式 (10.2.3) を2形式へ広げたものと同じ値を与える）。$X=X_f$, $Y=X_g$, $Z=X_h$ と置き、Jacobi 恒等式を使わずに得られる2つの式 $X_f(\,\cdot\,)=\{\,\cdot\,,f\}$ と $\omega(V,X_h)=-\mathrm{d} h(V)=-V(h)$ だけで各項を書き直す。最初の3項は $\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}+\{\{f,g\},h\}$。後の3項は、例えば $-\omega([X_f,X_g],X_h)=[X_f,X_g](h)=\{\{h,g\},f\}-\{\{h,f\},g\}$ のように展開でき、3つの和は $-2\bigl(\{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}\bigr)$ になる。合わせて式 (10.2.21) を得る。$\omega$ が非退化なので各点で $X_f$ の全体は接空間を張り、右辺がすべての $f,g,h$ で0であることと $\mathrm{d}\omega=0$ は同値である。

式 (10.2.21) は、閉じていない非退化な2形式（例えば4次元で $\omega=\mathrm{d} y_1\wedge\mathrm{d} y_3+\mathrm{d} y_2\wedge\mathrm{d} y_4+(1+y_1)\,\mathrm{d} y_3\wedge\mathrm{d} y_4$、$\mathrm{d}\omega=\mathrm{d} y_1\wedge\mathrm{d} y_3\wedge\mathrm{d} y_4\neq0$）から作った括弧で、座標関数の組の Jacobi 恒等式が実際に破れることでも確かめた（検算スクリプト）。条件 (S1) は「括弧が Jacobi 恒等式を満たし、時間発展が括弧を保つ」ための条件である。第2部第2章の正準量子化では、Poisson 括弧の代数（反対称・Leibniz・Jacobi）を交換子の代数に写した（第2部第2章）。この命題によって、写す元の代数は $\omega$ 1つで決まる。

量子の交換子と同じ代数

量子の側で、演算子 $\hat A$ による微分 $\mathsf D_{\hat A}\hat C=\left[\hat C,\,\hat A\right]/(\mathrm{i}\hbar)$ を考える（式 (10.2.14) の $X_f(g)=\{g,f\}$ と同じ順序）。交換子の Jacobi 恒等式から、式 (10.2.15) と同じ形の

$$\left[\mathsf D_{\hat A},\,\mathsf D_{\hat B}\right]=-\mathsf D_{\left[\hat A,\,\hat B\right]/(\mathrm{i}\hbar)}\tag{10.2.22}$$

が出る（証明は命題 10.2.7 の $\{\cdot,\cdot\}$ を $\left[\cdot,\,\cdot\right]/(\mathrm{i}\hbar)$ に置き換えたものと同じ）。古典の $f\mapsto X_f$ と量子の $\hat A\mapsto\mathsf D_{\hat A}$ は、同じ符号の約束で同じ代数を作る。違いは作用する相手で、$X_f$ は相空間の関数（$2f_{\mathrm d}$ 変数）に、$\mathsf D_{\hat A}$ は演算子に作用する。前量子化は $X_f$ をそのまま相空間の関数（$2f_{\mathrm d}$ 変数の波動関数）に作用させるので、変数が倍あり、第10部第1章で見た可約性が残る。偏極で変数を半分に減らすのが第10部第4章である。

Schrödinger 方程式も Hamilton 方程式である

逆向きの橋として、基準（第1部）の状態ベクトルの空間そのものがシンプレクティック多様体であり、Schrödinger 方程式がその上の Hamilton 方程式であることを示す。この見方は T. W. B. Kibble による¹1T. W. B. Kibble (1979), Commun. Math. Phys. 65, 189–201.下の脚注へ閉じる。$N$ 次元の状態空間 $\mathbb{C}^N$ の成分を実部と虚部に分けて

$$\psi_k=\frac{q_k+\mathrm{i} p_k}{\sqrt{2\hbar}}\quad(k=1,\dots,N),\qquad h(q,p)=\langle \psi | \hat H | \psi \rangle\tag{10.2.23}$$

と置き、$\mathbb{R}^{2N}$ に標準の $\omega=\sum_k\mathrm{d} q_k\wedge\mathrm{d} p_k$ を入れる。

証明

(i) $\bar u_kv_k=\frac{1}{2\hbar}(u_{q,k}-\mathrm{i} u_{p,k})(v_{q,k}+\mathrm{i} v_{p,k})$ の虚部は $\frac{1}{2\hbar}(u_{q,k}v_{p,k}-u_{p,k}v_{q,k})$ で、$k$ について足して $2\hbar$ 倍すると $\omega(u,v)$ になる。(ii) $\psi_k$ と $\bar\psi_k$ を独立な変数とみなすと $\partial_{q_k}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar}}(\partial_{\psi_k}+\partial_{\bar\psi_k})$、$\partial_{p_k}=\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2\hbar}}(\partial_{\psi_k}-\partial_{\bar\psi_k})$。$h=\sum_{kl}\bar\psi_kH_{kl}\psi_l$ について $\partial h/\partial\bar\psi_k=(\hat H\psi)_k$ である。Hamilton 方程式から$\dot\psi_k=\frac{1}{\sqrt{2\hbar}}(\dot q_k+\mathrm{i}\dot p_k)=\frac{1}{\sqrt{2\hbar}}\bigl(\partial_{p_k}h-\mathrm{i}\,\partial_{q_k}h\bigr) =\frac{1}{2\hbar}\bigl(\mathrm{i}(\partial_{\psi_k}-\partial_{\bar\psi_k})h-\mathrm{i}(\partial_{\psi_k}+\partial_{\bar\psi_k})h\bigr)=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\frac{\partial h}{\partial \bar\psi_k}$となり、$\mathrm{i}\hbar\dot\psi=\hat H\psi$ を得る。逆にたどれば Schrödinger 方程式から Hamilton 方程式が出る。(iii) 同じ変数で $\{F,G\}=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\sum_k\bigl(\frac{\partial F}{\partial \psi_k}\frac{\partial G}{\partial \bar\psi_k}-\frac{\partial F}{\partial \bar\psi_k}\frac{\partial G}{\partial \psi_k}\bigr)$ と書ける。$F=\bar\psi^{\mathsf T}A\psi$, $G=\bar\psi^{\mathsf T}B\psi$ を入れると $\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\bigl(\bar\psi^{\mathsf T}BA\psi\cdot(-1)+\bar\psi^{\mathsf T}AB\psi\bigr)$、すなわち $\langle \left[\hat A,\,\hat B\right] \rangle /(\mathrm{i}\hbar)$。

(i) から、ユニタリ変換は内積を保つので $\omega$ も保つ。つまり量子の時間発展 $\hat U(t)$ はこの $\omega$ の正準変換で、4節の定理 10.2.9 の量子版にあたる。(iii) は、正準量子化の規則 $\{\,\cdot\,,\cdot\,\}\to\left[\cdot,\,\cdot\right]/(\mathrm{i}\hbar)$ が、期待値の関数については括弧の厳密な等式として成り立つことを言っている。ただし $h$ は $\psi$ について2次の関数に限られ、相空間 $\mathbb{R}^{2N}$ の「すべての関数」を量子化するわけではないので、Groenewold の定理とは矛盾しない。状態の全体の位相と大きさを除くと、$\mathbb{C}^N$ は複素射影空間になり、$N=2$ では球面（Bloch 球）になる。これを次の例題で確かめる。

第10部の残りへの対応

この章の道具が第10部のどこで使われるかをまとめる。$\theta$ と $\omega=\mathrm{d}\theta$、$\theta\to\theta+\mathrm{d}\lambda$ の取り替え、球面全体で $\theta$ が定義できないことは、第3章で複素線束の接続と曲率、整数条件として使う（第10部第3章）。Lagrange 葉層と命題 10.2.12 は、第4章の偏極と「量子化できる関数の範囲」になる（第10部第4章）。作用角の Darboux 座標と、等高線が Lagrange であること（命題 10.2.11）は、第5章の Bohr–Sommerfeld 条件と半形式補正、球面の Darboux 座標はスピンの量子化に使う（第10部第5章）。同じ $\omega$ から関数の積を変形する道（Moyal の $\star$ 積）は第5部第3章で扱い、第6章で比べる（第5部第3章・第10部第6章）。

1　T. W. B. Kibble (1979), Commun. Math. Phys. 65, 189–201.