Lagrange 部分多様体と葉層：偏極の準備

量子力学の様々な構成方法　第10部 第2章 §10.2.5　★★ 次元が半分で $\omega$ が消える部分多様体。位置表示は「$q=$一定の面」で相空間を埋めることにあたり、第4章の偏極になる

定義と例

$\omega$ が消える部分空間の次元は $f_{\mathrm d}$ を超えない（$\omega$ が非退化なので、$\omega$ が消える部分空間 $V$ は「$V$ のすべてと $\omega$ が0になるベクトルの空間」$V^\omega$ に含まれ、$\dim V+\dim V^\omega=2f_{\mathrm d}$ だから）。Lagrange 部分多様体はこの上限の次元を持ち、各点で接空間 $T\Lambda$ が $(T\Lambda)^\omega$ に一致する。

典型的な例は3つある。第一に、$q=$ 一定の面 $\{(q_0,p)\}$ で、接ベクトルは $\partial_{p_i}$ の結合だけなので $\omega=\sum\mathrm{d} q_i\wedge\mathrm{d} p_i$ は消える。$p=$ 一定の面も同じである。第二に、関数 $S(q)$ の勾配のグラフ $\Lambda_S=\{(q,\nabla S(q))\}$ である。$\Lambda_S$ の上では $p_i=\partial_iS$ なので

$$\omega|_{\Lambda_S}=\sum_i\mathrm{d} q_i\wedge\mathrm{d}(\partial_iS)=\sum_{i,j}\partial_j\partial_iS\,\mathrm{d} q_i\wedge\mathrm{d} q_j=0\tag{10.2.20}$$

（2階偏微分は対称、$\mathrm{d} q_i\wedge\mathrm{d} q_j$ は反対称）。逆に、$p=a(q)$ のグラフが Lagrange なら $\partial_ia_j=\partial_ja_i$ で、局所的に $a=\nabla S$ と書ける。第三に、1自由度ではどの曲線も Lagrange である（1次元の接空間では $\omega(u,u)=0$）。特に $H$ の等高線、つまり周期軌道は Lagrange 部分多様体である。

WKB の波動関数 $\psi\approx A\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S(q)/\hbar}$ の位相 $S$ が、相空間ではグラフ $\Lambda_S$ に対応する。$\Lambda_S$ の上で $H$ が一定になる条件 $H(q,\nabla S)=E$ が Hamilton–Jacobi 方程式で、そのとき軌道は $\Lambda_S$ から出ていかない。

第10部第5章で Bohr–Sommerfeld 条件を「Lagrange 部分多様体（等高線）の上で $\theta$ を1周積分した量の条件」として述べるとき、この命題を使う。

葉層と偏極の予告

相空間を Lagrange 部分多様体で隙間なく埋め尽くしたもの（各点を通る葉が1枚ずつある分け方）を Lagrange 葉層と呼ぶ。$q=$ 一定の面で埋めたもの（鉛直の葉層）では、葉の上で一定な関数は $q$ だけの関数で、波動関数を「葉の上で一定」に制限すると $\psi(q)$、つまり位置表示になる。$p=$ 一定の面で埋めれば運動量表示になる。第10部第4章では、葉層の選び方（実偏極）を表示の選び方として扱う。

葉層を選ぶと、量子化できる関数の範囲も絞られる。$X_f$ の流れが葉を葉へ写す（葉層を保つ）関数は限られている。

第10部第1章で、偏極によって量子化できる関数が $p$ について1次以下に絞られることを予告した（第10部第1章）。命題 10.2.12 がその幾何の理由である。運動エネルギー $p^2/2m$ はこの範囲に入らないので、位置表示の偏極では $\hat H$ を直接には作れず、第10部第4章で別の扱い（BKS の方法）が要る。