ハミルトンベクトル場と Poisson 括弧

量子力学の様々な構成方法　第10部 第2章 §10.2.3　★★★ $\iota_{X_f}\omega=\mathrm{d} f$ で関数からベクトル場を作り、Hamilton 方程式と Poisson 括弧を座標によらない形にする。前量子化の $-\mathrm{i}\hbar X_f$ の $X_f$ がこれ

内部積とハミルトンベクトル場の定義

ベクトル場 $X$ と2形式 $\omega$ から、1つ目の入れ口に $X$ を入れた1形式 $\iota_X\omega=\omega(X,\cdot\,)$ を作る操作を内部積と呼ぶ。1形式 $\alpha$ には $\iota_X\alpha=\alpha(X)$（関数）と定める。

式 (10.2.10) は、各点で「$\omega$ の行列 $\Sigma$ について $X_f^{\mathsf T}\Sigma=(\nabla f)^{\mathsf T}$」という連立1次方程式で、非退化性 (S2) から $\Sigma$ は正則なので、解 $X_f$ はただ1つ存在する。標準の $\omega=\sum_i\mathrm{d} q_i\wedge\mathrm{d} p_i$ では $\Sigma=\mathsf J$ で、$X_f=(\mathsf J^{\mathsf T})^{-1}\nabla f=\mathsf J\nabla f$ となるから

$$X_f=\sum_i\Bigl(\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial }{\partial q_i}-\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial }{\partial p_i}\Bigr).\tag{10.2.11}$$

1自由度で確かめると、$\iota_{X_f}(\mathrm{d} q\wedge\mathrm{d} p)=\mathrm{d} q(X_f)\,\mathrm{d} p-\mathrm{d} p(X_f)\,\mathrm{d} q=f_p\,\mathrm{d} p+f_q\,\mathrm{d} q=\mathrm{d} f$ である（$f_q=\partial f/\partial q$ などと書いた）。例えば $X_q=-\partial_p$、$X_p=\partial_q$ で、運動量 $p$ のハミルトンベクトル場は $q$ 方向の並進、位置 $q$ のハミルトンベクトル場は $p$ 方向の負の向きの並進である。

$f=H$ のとき、$X_H$ の積分曲線 $\dot x=X_H(x)$ は $\dot q_i=\partial H/\partial p_i$, $\dot p_i=-\partial H/\partial q_i$ で、Hamilton 方程式そのものである。したがって Hamilton 方程式は座標によらない形で

$$\dot x=X_H(x),\qquad \iota_{X_H}\omega=\mathrm{d} H\tag{10.2.12}$$

と書ける。$X_H$ は $H$ の等高線に接する。実際、$X_H(H)=\mathrm{d} H(X_H)=\omega(X_H,X_H)=0$（反対称性）で、$X_H$ の方向に $H$ は変化しない。勾配 $\nabla H$ が等高線に垂直なのに対し、$X_H$ は $\omega$ を通して勾配を「90度回した」向きを向く（図 10.2.2）。この「回す」操作には長さや角度を測る計量は要らず、$\omega$ だけで決まる。

図 10.2.2　調和振動子 $H=\frac12(p^2+q^2)$（$m=\omega_0=1$ の単位）の等高線（灰色の円）とハミルトンベクトル場 $X_H=p\,\partial_q-q\,\partial_p$（青の矢印）。$X_H$ は等高線に接して時計回りに回り、勾配 $\nabla H$（赤）を $\omega$ で $90^\circ$ 回した向きを向く。

Poisson 括弧を $\omega$ で書く

式 (10.2.13) を一般のシンプレクティック多様体での Poisson 括弧の定義に採る。そうすると、時間発展は$\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} t}=X_H(g)=\{g,H\}$ となり、記法の正本の $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\{A,H\}$ と一致する。式 (10.2.14) の右辺の順序 $\{g,f\}$ は、解析力学の巻で生成子 $G$ で関数を動かす作用素を $\mathsf D_GA=\{A,G\}$ と定めたものと同じで、$X_G=\mathsf D_G$ である（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第11章）。

ハミルトンベクトル場の交換子

ベクトル場 $u,v$ の交換子 $[u,v]$ を、関数への作用 $[u,v](F)=u(v(F))-v(u(F))$ で定める。2階微分が打ち消し合うので $[u,v]$ もベクトル場で、成分は $[u,v]^a=\sum_b(u^b\partial_bv^a-v^b\partial_bu^a)$ である。

右辺の負号は、式 (10.2.14) で $X_f$ を $\{\,\cdot\,,f\}$（$f$ を後ろに置く括弧）として定めたことによる順序の約束で、$f\mapsto X_f$ は Lie 代数の反準同型になる。$f\mapsto-X_f$ と符号を替えると準同型 $[-X_f,-X_g]=-X_{\{f,g\}}$ になり、前量子化の演算子 $-\mathrm{i}\hbar X_f+\cdots$ の先頭の $-\mathrm{i}\hbar X_f$ はこの組み合わせになっている（第10部第3章で交換関係 $[\hat f,\hat g]=\mathrm{i}\hbar\widehat{\{f,g\}}$ を確かめる）。6節で、量子の交換子でも同じ負号が出ることを示す。