この章のまとめ

(1) $\mathrm{d} S_z=-S\sin\vartheta\,\mathrm{d}\vartheta$ なので $\mathrm{d}\varphi\wedge\mathrm{d} S_z=-S\sin\vartheta\,\mathrm{d}\varphi\wedge\mathrm{d}\vartheta=S\sin\vartheta\,\mathrm{d}\vartheta\wedge\mathrm{d}\varphi=\omega_S$（式 (10.2.9)）。全体の積分は $\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi\int_0^\pi S\sin\vartheta\,\mathrm{d}\vartheta=2\pi\cdot2S=4\pi S$。帯は Darboux 座標 $(\varphi,S_z)$ で長方形 $0\le\varphi<2\pi$, $Sz_1\le S_z\le Sz_2$ なので、積分は $2\pi S(z_2-z_1)$。帯の位置によらず高さの差だけで決まる（Archimedes、図 10.2.1）。

(2) $(q,p)=(\varphi,S_z)$ で $f=S_z=p$ なので、式 (10.2.11) から $X_{S_z}=\partial_\varphi$（$z$ 軸のまわりの回転）。$S_x=\sqrt{S^2-p^2}\cos q$, $S_y=\sqrt{S^2-p^2}\sin q$ で、例題 10.2.6(3) と同じ計算から $\{S_x,S_y\}=S_z$。$\{S_y,S_z\}=\partial_qS_y\cdot1-\partial_pS_y\cdot0=\sqrt{S^2-p^2}\cos q=S_x$、$\{S_z,S_x\}=0\cdot\partial_pS_x-1\cdot\partial_qS_x=\sqrt{S^2-p^2}\sin q=S_y$。$H=\omega_0S_z$ では $X_H=\omega_0\partial_\varphi$ で、流れは $\varphi(t)=\varphi(0)+\omega_0t$、$S_z$ は一定である。$\bm{S}$ が $z$ 軸のまわりを角速度 $\omega_0$ で回る歳差運動で、量子の $\hat H=\omega_0\hat S_z$ の Heisenberg 方程式 $\frac{\mathrm{d} \hat S_x}{\mathrm{d} t}=\left[\hat S_x,\,\hat H\right]/(\mathrm{i}\hbar)=-\omega_0\hat S_y$ と、古典の $\frac{\mathrm{d} S_x}{\mathrm{d} t}=\{S_x,H\}=\omega_0\{S_x,S_z\}=-\omega_0S_y$ は同じ形である（解析力学の巻の「生成子 $L_z$ が回転を生む」と同じ構造）。$X_{S_x}=\partial_pS_x\,\partial_q-\partial_qS_x\,\partial_p=-\frac{p\cos q}{\sqrt{S^2-p^2}}\partial_q+\sqrt{S^2-p^2}\sin q\,\partial_p$ の発散は$\partial_q\bigl(-\frac{p\cos q}{\sqrt{S^2-p^2}}\bigr)+\partial_p\bigl(\sqrt{S^2-p^2}\sin q\bigr)=\frac{p\sin q}{\sqrt{S^2-p^2}}-\frac{p\sin q}{\sqrt{S^2-p^2}}=0$ で、2次元では発散0が $L_{X}\omega_S=0$ と同値なので $\omega_S$ を保つ（定理 10.2.9 の例）。$X_{S_x}$ は $x$ 軸のまわりの回転である。

(3) $\mathrm{d}\theta_N=\partial_\vartheta\bigl(S(1-\cos\vartheta)\bigr)\,\mathrm{d}\vartheta\wedge\mathrm{d}\varphi=S\sin\vartheta\,\mathrm{d}\vartheta\wedge\mathrm{d}\varphi$、$\mathrm{d}\theta_S=\partial_\vartheta\bigl(-S(1+\cos\vartheta)\bigr)\,\mathrm{d}\vartheta\wedge\mathrm{d}\varphi=S\sin\vartheta\,\mathrm{d}\vartheta\wedge\mathrm{d}\varphi$。$\mathrm{d}\varphi$ は極で定義されないので、係数が極で0になるかどうかで正則性が決まる。$\theta_N$ の係数 $S(1-\cos\vartheta)\approx S\vartheta^2/2$ は北極 $\vartheta\to0$ で0になり、北極を含む領域で正則（南極では係数が $2S$ で特異）。$\theta_S$ は南極 $\vartheta\to\pi$ で係数が0になり、南極を含む領域で正則である。差は $\theta_N-\theta_S=2S\,\mathrm{d}\varphi$。$\mathrm{d}\varphi$ は1節の角の形式と同じく閉じているが、赤道を1周した積分が $2\pi\neq0$ なので完全でない。両方の極を除いた所では $\theta_N$ と $\theta_S$ はどちらも $\omega_S$ のポテンシャルで、その差が完全形式でない（$\theta\to\theta+\mathrm{d}\lambda$ の形に書けない）ことが、球面全体で1つの $\theta$ が取れないことの局所的な表れである。$\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{S^2}\omega_S=\frac{4\pi S}{2\pi\hbar}=\frac{2S}{\hbar}$。第10部第3章の整数条件はこれが整数であることを求め、$S$ は $\hbar/2$ の整数倍に限られる（第10部第5章）。

(4) 緯線は1次元なので、接ベクトル $u$ について $\omega_S(u,u)=0$ で Lagrange である。$H=\omega_0S_z$ の流れは $S_z$ を一定に保って $\varphi$ だけを進めるので、緯線はその軌道（$H$ の等高線）であり、命題 10.2.11 とも合う。帽子の面積分は $\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi\int_0^{\vartheta_0}S\sin\vartheta\,\mathrm{d}\vartheta=2\pi S(1-\cos\vartheta_0)$。$\theta_N$ は帽子の上（北極を含む）で正則なので Stokes の定理が使え、境界の緯線を $\varphi$ の増す向きに回って $\oint\theta_N=2\pi S(1-\cos\vartheta_0)$ で一致する。$\theta_S$ は北極で特異なので Stokes の定理は使えず、$\oint\theta_S=-2\pi S(1+\cos\vartheta_0)$ は帽子の積分から $4\pi S$（球面全体の積分）だけずれる。このずれは $\oint(\theta_N-\theta_S)=2S\cdot2\pi$ と同じである。$S=\hbar/2$ では帽子の積分は $\pi\hbar(1-\cos\vartheta_0)$ で、$\hbar$ で割ると $\pi(1-\cos\vartheta_0)=\frac12\cdot2\pi(1-\cos\vartheta_0)$、つまり緯線が張る立体角の半分になる。解析力学の巻では、磁場の向きに沿うスピン½の Berry 位相が立体角 $\mathcal A$ の半分（符号つきで $-\mathcal A/2$。立体角の記号は第6部第6章と同じ）になることを示した（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第9章）。大きさは帽子の $\int\omega_S/\hbar$ と一致し、Berry 位相がスピンの相空間（例題 10.2.6 の Bloch 球）の $\omega$ の面積で測られることを示している。符号は回る向きと、どちらの帽子を取るか（$\theta_N$ と $\theta_S$ のどちらを使うか）で変わり、2つの値の差 $2\pi\cdot2S/\hbar=2\pi$ は位相としては見分けられない。