$K=N^r$ の証明

(a) $N=1$ の系は1つの状態しか区別できず、規格化の確率 $1$ だけで状態が決まるので $K(1)=1$ である。次元 $N+1$ の系で、区別できる $N+1$ 個の状態のうち $N$ 個が張る部分空間 $W$ と、残りの1個が張る部分空間 $W'$ を考える。(H3) から、$W$ に制限した状態は次元 $N$ の系として $K(N)$ 個の確率で指定され、$W'$ に制限した状態は次元 $1$ の系である。$W$ の状態を重み $\lambda$、$W'$ の状態を重み $1-\lambda$ で混ぜた状態の全体は、$W$ の状態の $K(N)$ 個の自由度に加えて $\lambda$ という1つの自由度を持つ。$\lambda$ は $W$ の状態の確率からは決まらないので、この状態の族は少なくとも $K(N)+1$ 個の確率を要し、$K(N+1)\ge K(N)+1$ である。

(b) 次元 $N$ の系と次元 $M$ の系を合わせると、(H4) から次元 $NM$、自由度 $K(N)K(M)$ の系になる。(H2) から自由度は次元だけで決まるので、$K(NM)=K(N)K(M)$ である。

段階1：冪であること。 $N,M\ge2$ を任意にとる。完全乗法性から $K(N^a)=K(N)^a$ である。正の整数 $b$ に対して、整数 $a$ を

$$M^a\le N^b<M^{a+1}\tag{9.5.1}$$

となるように選ぶ。$K$ は単調増加なので $K(M)^a\le K(N)^b\le K(M)^{a+1}$。対数をとって $b$ で割ると

$$\frac ab\ln K(M)\le\ln K(N)\le\frac{a+1}{b}\ln K(M).$$

(9.5.1) から $\frac ab\le\frac{\ln N}{\ln M}<\frac{a+1}b$ なので、$b\to\infty$ で $a/b\to\ln N/\ln M$ となり、

$$\frac{\ln K(N)}{\ln N}=\frac{\ln K(M)}{\ln M}$$

を得る。左辺は $N$ だけ、右辺は $M$ だけの式なので、両辺は $N$ にも $M$ にもよらない定数 $r$ である。よって $K(N)=N^r$。$K(2)\ge K(1)+1=2$ から $r\ge1$。

段階2：$r$ は整数。 $K(N)=N^r$ はすべての $N$ で整数である。$r$ より大きい整数 $k$ をとり、$f(n)=n^r$ の $k$ 階の差分

$$(\Delta^kf)(n)=\sum_{j=0}^{k}(-1)^{k-j}\binom kj f(n+j)$$

を考える。各項が整数なので $(\Delta^kf)(n)$ も整数である。一方、平均値の定理を $k$ 回使うと $(\Delta^kf)(n)=f^{(k)}(\xi)$（$n<\xi<n+k$）で、$f^{(k)}(x)=r(r-1)\cdots(r-k+1)x^{r-k}$ は $x\to\infty$ で $0$ に近づく。整数値で $0$ に近づく列は、ある所から先で $0$ に等しい。$r$ が整数でなければ係数 $r(r-1)\cdots(r-k+1)$ は $0$ でなく、$f^{(k)}(\xi)\ne0$ なので矛盾する。よって $r$ は整数である。