2次までは夢がかなう

量子力学の様々な構成方法　第10部 第1章 §10.1.2　★★★ $q,p$ の2次以下の多項式では要請 (Q1)〜(Q4) が厳密に成り立ち、しかも写像がただ1つに決まる（Weyl 順序）

2次以下の多項式は括弧で閉じている

$q,p$ の2次以下の多項式全体を $\mathcal P_{\le2}$ と書く。基底は $1,q,p,q^2,qp,p^2$ の6つである。Poisson 括弧は微分を1回ずつ取るので、$m$ 次と $n$ 次の多項式の括弧は $m+n-2$ 次になる。2次と2次の括弧は2次なので、$\mathcal P_{\le2}$ は括弧について閉じている。基本の括弧を並べると

$$\{q^2,p^2\}=4qp,\qquad \{qp,q^2\}=-2q^2,\qquad \{qp,p^2\}=2p^2,\qquad \{q,qp\}=q,\qquad \{p,qp\}=-p\tag{10.1.2}$$

である。2次の多項式 $qp$ は相空間の伸縮（$q\mapsto\mathrm{e}^{\epsilon}q$, $p\mapsto\mathrm{e}^{-\epsilon}p$）の生成子で、$\frac12(q^2+p^2)$ は回転の生成子である。2次の多項式の括弧の代数は、相空間の面積を保つ線形変換の群（シンプレクティック群 $\mathrm{Sp}(2,\mathbb{R})$）のLie 代数になっている。1次の $q,p$ と定数 $1$ を加えると、並進も含めた「相空間のアフィンな正準変換」の生成子がそろう。

Weyl 順序

$qp$ を演算子に直すとき、$\hat q\hat p$ はエルミートでない。実際 $(\hat q\hat p)^\dagger=\hat p\hat q=\hat q\hat p-\mathrm{i}\hbar$ である。エルミートにするには対称化して

$$\hat D\coloneqq\frac12(\hat q\hat p+\hat p\hat q)=\hat q\hat p-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}=-\mathrm{i}\hbar\Bigl(x\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}+\frac12\Bigr)\tag{10.1.3}$$

とすればよい。一般に、単項式 $q^ap^b$ を「$\hat q$ と $\hat p$ のあらゆる並べ方の平均」で写す規則を Weyl 順序と呼び、$\mathcal Q_{\mathrm W}[q^ap^b]$ と書く（Weyl 順序の写像は第5部と同じく角括弧で書き、要請を課す一般の写像 $\mathcal Q(f)$ と区別する）。$a$ 個の $\hat q$ を $\hat p^b$ の左右に二項分布で振り分けた形

$$\mathcal Q_{\mathrm W}[q^ap^b]=\frac{1}{2^a}\sum_{k=0}^{a}\binom{a}{k}\hat q^{\,k}\,\hat p^{\,b}\,\hat q^{\,a-k}\tag{10.1.4}$$

に等しいことが知られている（N. H. McCoy の公式。$\hat p$ の側を振り分けた形とも一致する。$a,b\le3$ で検算した）。例えば $\mathcal Q_{\mathrm W}[qp]=\hat D$、$\mathcal Q_{\mathrm W}[q^2p]=\frac12(\hat q^2\hat p+\hat p\hat q^2)$ である。Weyl 順序は第5部の Weyl 対応（第5部第2章）を多項式に制限したもので、この巻の補足の表で決めた Weyl 記号 $A_{\mathrm W}(x,p)$ の逆向きの写像にあたる。

2次で破れが出ない理由は、交換子の計算で $\hat q$ と $\hat p$ を入れ替えるたびに出る $\mathrm{i}\hbar$ の項が、2次以下では1回しか出ないことにある。交換子 $\left[\hat q^2,\,\hat p^2\right]$ では入れ替えが2回起きるが、そのうち1回分は交換子そのものになって左辺の $\mathrm{i}\hbar$ で割られ、残りの1回分は対称化 $\hat D$ の中に吸収される。$\hbar^2$ の項が残るには、入れ替えが3回以上起きる必要がある。10.1.5節で、この数え方が Moyal 括弧の $\hbar^2$ の項として正確に書けることを見る。

2次以下では写像がただ1つに決まる

命題 10.1.2 は「Weyl 順序なら要請を満たす」と言っている。逆に、要請を満たす写像は Weyl 順序しかない。

定数のずれを伸縮の生成子 $qp$ との括弧で消している点に注意する。$\{qp,q^2\}=-2q^2$ は「$q^2$ は伸縮で2倍の重みを持つ」という意味で、定数は伸縮で重み $0$ なので、重みの釣り合いから定数が $0$ に決まる。10.1.3節でも同じ論法を使う。