食い違いは $\hbar^2$ の大きさ：Moyal 括弧と順序の差

量子力学の様々な構成方法　第10部 第1章 §10.1.5　★★ Weyl 順序の交換子は Poisson 括弧でなく Moyal 括弧を写す。Groenewold の $\hbar^2/3$ も、順序の選び方の差も、$\hbar^2$ の項として読める

Weyl 順序が厳密に写す括弧

Weyl 順序 $\mathcal Q_{\mathrm W}$ はすべての多項式を写せて、(Q1)・(Q2)・(Q4) を満たす。破れるのは (Q3) だけである。破れ方には正確な形があり、Poisson 括弧の代わりに Moyal 括弧

$$\{\!\{f,g\}\!\}=\frac{f\star g-g\star f}{\mathrm{i}\hbar},\qquad f\star g=f\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\bigl(\overleftarrow{\partial_q}\overrightarrow{\partial_p}-\overleftarrow{\partial_p}\overrightarrow{\partial_q}\bigr)\Bigr]g\tag{10.1.12}$$

を使えば厳密に

$$\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left[\mathcal Q_{\mathrm W}[f],\,\mathcal Q_{\mathrm W}[g]\right]=\mathcal Q_{\mathrm W}\bigl[\{\!\{f,g\}\!\}\bigr]\tag{10.1.13}$$

が成り立つ（J. E. Moyal¹1J. E. Moyal (1949), Proc. Cambridge Philos. Soc. 45, 99–124.下の脚注へ閉じる。$\star$ 積と Moyal 括弧の導出は 第5部第3章）。指数関数を展開すると、$\hbar$ の奇数冪の項は $f\star g-g\star f$ で倍になり、偶数冪の項は打ち消し合うので

$$\{\!\{f,g\}\!\}=\{f,g\}-\frac{\hbar^2}{24}\Bigl(f_{qqq}\,g_{ppp}-3f_{qqp}\,g_{qpp}+3f_{qpp}\,g_{qqp}-f_{ppp}\,g_{qqq}\Bigr)+\mathcal{O}(\hbar^4)\tag{10.1.14}$$

となる（添字は偏微分）。$\hbar^2$ の項は $f$ と $g$ を3階ずつ微分するので、どちらかが2次以下なら消え、命題 10.1.2 が再び出てくる。10.1.2節で「入れ替えが3回以上起きると $\hbar^2$ が残る」と述べたことの正確な形が、この3階微分である。多項式どうしなら展開は有限項で終わり、4次以下の単項式どうしでは $\hbar^4$ の項が出ないことを検算で確かめた。

Groenewold の矛盾をこの式で読み直す。$\{\!\{q^3,p^3\}\!\}=9q^2p^2-\frac{\hbar^2}{24}\cdot6\cdot6=9q^2p^2-\frac32\hbar^2$、$\{\!\{q^2p,qp^2\}\!\}=3q^2p^2-\frac{\hbar^2}{24}\cdot(-3\cdot2\cdot2)=3q^2p^2+\frac12\hbar^2$ である。したがって $\left[\hat q^3,\,\hat p^3\right]/(9\mathrm{i}\hbar)=\mathcal Q_{\mathrm W}[q^2p^2]-\hbar^2/6$、$\left[\mathcal Q(q^2p),\,\mathcal Q(qp^2)\right]/(3\mathrm{i}\hbar)=\mathcal Q_{\mathrm W}[q^2p^2]+\hbar^2/6$ となり、10.1.3節の2本の道の結果が再現される。2本の道が食い違うのは、Poisson 括弧では同じ $q^2p^2$ の倍だったものが、Moyal 括弧では $\hbar^2$ の定数項が違うからである。

順序の選び方の差も $\hbar^2$ の大きさ

Groenewold の矛盾とは別に、同じ古典の関数に対して順序の選び方が違えば、演算子は $\hbar^2$ の大きさだけ違う。実用で問題になる例が、位置によって有効質量が変わる半導体のヘテロ構造である。古典の運動エネルギーは $p^2/(2m(q))$ と1通りに書けるが、量子化には次の2つがよく使われる。D. J. BenDaniel と C. B. Duke の順序²2D. J. BenDaniel, C. B. Duke (1966), Phys. Rev. 152, 683–692.下の脚注へ閉じる $\hat p\,\frac{1}{2m(\hat q)}\,\hat p$ は、確率の流れが境界で連続になるように選んだもので、Weyl 順序とは一致しない。$f(q)=1/(2m(q))$ と書くと、Weyl 順序は

$$\mathcal Q_{\mathrm W}\bigl[f(q)p^2\bigr]=\frac14\bigl(f\hat p^2+2\hat p f\hat p+\hat p^2f\bigr)=\hat p f\hat p-\frac{\hbar^2}{4}f''(\hat q)\tag{10.1.15}$$

となる（2つ目の等号は $f\hat p^2+\hat p^2f-2\hat pf\hat p=\left[\left[f,\,\hat p\right],\,\hat p\right]=-\left[\hat p,\,\left[\hat p,\,f\right]\right]$ と $\left[\hat p,\,f\right]=-\mathrm{i}\hbar f'$ から）。2つの順序の差は、位置だけによる有効ポテンシャル $\Delta V(q)=-\frac{\hbar^2}{4}f''(q)$ である。古典では存在しない、$\hbar^2$ に比例する項である。

1　J. E. Moyal (1949), Proc. Cambridge Philos. Soc. 45, 99–124.

2　D. J. BenDaniel, C. B. Duke (1966), Phys. Rev. 152, 683–692.