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van Hove の拡張と、要請の外し方

2026年10月17日8分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第10部 第1章 Dirac の夢と Groenewold–van Hove の定理
目次
  1. van Hove と、その後の一般化
  2. 4つの要請のどれを外すか
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第10部 第1章 §10.1.4　★★ 滑らかな関数・球面でも同じ型の定理が成り立つ。どの要請を外すかで、前量子化・Weyl 対応と変形量子化・偏極の3つの道に分かれる

van Hove と、その後の一般化

Groenewold の定理は多項式についての主張である。L. van Hove は 1951 年に、写す関数の範囲を相空間 R2n\mathbb{R}^{2n} 上の滑らかな関数全体に広げても、(Q1)〜(Q4) を同時に満たす写像が無いことを示した1L. van Hove (1951), “Sur certaines représentations unitaires d'un groupe infini de transformations”, Mém. Acad. Roy. Belg. Cl. Sci. 26, fasc. 6.下の脚注へ。2つを合わせて Groenewold–van Hove の定理と呼ぶ。多項式の集まりは滑らかな関数の集まりの部分なので、多項式で矛盾が出れば滑らかな関数でも矛盾が出る。van Hove の仕事の意義は、どの要請が矛盾の原因かを分析し、(Q4) を外すと (Q1)〜(Q3) を満たす写像が存在すること（前量子化の原型）を示した点にある。

その後、M. J. Gotay らは同じ型の「量子化の障害（obstruction）」の定理を整理し2M. J. Gotay, H. B. Grundling, G. M. Tuynman (1996), J. Nonlinear Sci. 6, 469–498。R2n\mathbb{R}^{2n} の多項式についての詳しい分析は M. J. Gotay (1999), J. Math. Phys. 40, 2107–2116。下の脚注へ、相空間が球面 S2S^2 のとき（スピンの古典模型）にも同じ型の定理が成り立つことを示した3M. J. Gotay, H. B. Grundling, C. A. Hurst (1996), Trans. Amer. Math. Soc. 348, 1579–1597。下の脚注へ。球面の場合、「既約」の役割は「スピンの3成分の表現が既約（1つのスピン ss）」が受け持つ。したがって障害は R2\mathbb{R}^2 の特殊事情でなく、Poisson 括弧の代数を丸ごと既約に表現しようとすることそのものに由来すると考えられている。

4つの要請のどれを外すか

障害の定理は、(Q1)〜(Q4) を「すべての関数について」「厳密に」課すと矛盾することを示している。したがって量子化の流儀は、どれを緩めるかで分類できる。図 10.1.2 に3つの道を示す。

図

図 10.1.2　Groenewold–van Hove の定理のあとに残る3つの道。幾何学的量子化は左の2つを順に組み合わせる（前量子化 → 偏極）。右の道は同じ相空間から、演算子を作らずに関数の積のほうを ℏ\hbar で変形する。

(Q4) を外す道（前量子化）。演算子を L2(R)L^2(\mathbb{R})（qq だけの関数）でなく、相空間の関数 F(q,p)F(q,p) の空間 L2(R2)L^2(\mathbb{R}^2) に作用させる。B. Kostant と J.-M. Souriau が 1970 年前後にまとめた前量子化の演算子は、この巻の補足で決めた形

Qpre(f)=−iℏXf+θ(Xf)+f,Xf=∂f∂p∂∂q−∂f∂q∂∂p,θ=−p dq(10.1.11)\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(f)=-\mathrm{i}\hbar X_f+\theta(X_f)+f,\qquad X_f=\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial }{\partial q}-\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial }{\partial p},\qquad \theta=-p\,\mathrm{d} q\tag{10.1.11}

で与えられる（XfX_f は ff の Hamilton ベクトル場、θ(Xf)=−p ∂f∂p\theta(X_f)=-p\,\frac{\partial f}{\partial p}。導出は 第10部第3章）。これは ff について線形で、任意の滑らかな f,gf,g について [Qpre(f), Qpre(g)]=iℏ Qpre({f,g})\left[\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(f),\,\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(g)\right]=\mathrm{i}\hbar\,\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(\{f,g\}) を満たす（検算で一般の f,gf,g について確かめた）。(Q1)〜(Q3) はすべて成り立ち、Groenewold の矛盾は起きない。代わりに (Q4) が成り立たない（下の例題）。

写す関数を絞る道（偏極）。L2(R2)L^2(\mathbb{R}^2) は「qq と pp の両方の関数」なので大きすぎる。pp によらない関数（∂pF=0\partial_pF=0）だけを残すとqq だけの関数の空間に戻り、既約性が回復する。ただし、その部分空間を保つ演算子に写る関数は、pp について1次以下の f=a(q)+b(q)pf=a(q)+b(q)p に限られる（第10部第4章）。夢のうち「すべての関数」の部分を諦めて、既約性を取り戻す道である。これが Groenewold の定理と矛盾しないのは、p2p^2 も p3p^3 も写せる関数に入らないからである。

(Q3) を緩める道（Weyl 対応と変形量子化）。すべての多項式を Weyl 順序で写し、(Q3) の Poisson 括弧を Moyal 括弧に置き換える。既約性も Hermite 性も保たれ、ずれは ℏ2\hbar^2 以上の項だけになる。これが次節の内容である。

例題 10.1.4　前量子化の q^\hat q, p^\hat p は可約である ★★★

オリジナル相空間の関数 F(q,p)F(q,p) に作用する前量子化の演算子 (10.1.11) を考える。

  1. (1) Qpre(q)\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(q) と Qpre(p)\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(p) を具体的に書き、交換子が iℏ\mathrm{i}\hbar であることを確かめよ。
  2. (2) 演算子 K^=p+iℏ ∂∂q\hat K=p+\mathrm{i}\hbar\,\frac{\partial }{\partial q} が Qpre(q)\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(q) と Qpre(p)\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(p) の両方と交換することを示せ。K^\hat K は定数倍か。
  3. (3) 前量子化で (Q4) のどこが破れているかを述べ、Groenewold の証明のどの段で議論が止まるかを答えよ。
解答

(1) f=qf=q では ∂pf=0\partial_pf=0, ∂qf=1\partial_qf=1 なので Xq=−∂pX_q=-\partial_p、θ(Xq)=−p⋅0=0\theta(X_q)=-p\cdot0=0 で、Qpre(q)=q+iℏ ∂p\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(q)=q+\mathrm{i}\hbar\,\partial_p。f=pf=p では Xp=∂qX_p=\partial_q、θ(Xp)=−p\theta(X_p)=-p で、Qpre(p)=−iℏ ∂q−p+p=−iℏ ∂q\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(p)=-\mathrm{i}\hbar\,\partial_q-p+p=-\mathrm{i}\hbar\,\partial_q。交換子は [q+iℏ∂p, −iℏ∂q]=−iℏ[q, ∂q]=−iℏ⋅(−1)=iℏ\left[q+\mathrm{i}\hbar\partial_p,\,-\mathrm{i}\hbar\partial_q\right]=-\mathrm{i}\hbar\left[q,\,\partial_q\right]=-\mathrm{i}\hbar\cdot(-1)=\mathrm{i}\hbar。

(2) [K^, q+iℏ∂p]=[p, iℏ∂p]+[iℏ∂q, q]=−iℏ+iℏ=0\left[\hat K,\,q+\mathrm{i}\hbar\partial_p\right]=\left[p,\,\mathrm{i}\hbar\partial_p\right]+\left[\mathrm{i}\hbar\partial_q,\,q\right]=-\mathrm{i}\hbar+\mathrm{i}\hbar=0、[K^, −iℏ∂q]=[p, −iℏ∂q]+[iℏ∂q, −iℏ∂q]=0+0=0\left[\hat K,\,-\mathrm{i}\hbar\partial_q\right]=\left[p,\,-\mathrm{i}\hbar\partial_q\right]+\left[\mathrm{i}\hbar\partial_q,\,-\mathrm{i}\hbar\partial_q\right]=0+0=0。K^\hat K は pp を掛ける部分を含むので定数倍でない。

(3) (Q4) の後半「q^,p^\hat q,\hat p の両方と交換するなら定数」が破れている。K^\hat K の固有値ごとに L2(R2)L^2(\mathbb{R}^2) が分かれ、各部分に同じ q^,p^\hat q,\hat p の表現が繰り返し入っている（可約）。Groenewold の証明では、補題 10.1.3 の最初の段「Q(q2)−q^2\mathcal Q(q^2)-\hat q^2 は q^,p^\hat q,\hat p と交換するので定数」で止まる。実際、総合問題で見るように Qpre(q2)\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(q^2) と Qpre(q)2\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(q)^2 の差は定数でない演算子 ℏ2∂p2\hbar^2\partial_p^2 である。

1　L. van Hove (1951), “Sur certaines représentations unitaires d'un groupe infini de transformations”, Mém. Acad. Roy. Belg. Cl. Sci. 26, fasc. 6.

2　M. J. Gotay, H. B. Grundling, G. M. Tuynman (1996), J. Nonlinear Sci. 6, 469–498。R2n\mathbb{R}^{2n} の多項式についての詳しい分析は M. J. Gotay (1999), J. Math. Phys. 40, 2107–2116。

3　M. J. Gotay, H. B. Grundling, C. A. Hurst (1996), Trans. Amer. Math. Soc. 348, 1579–1597。

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