量子力学の様々な構成方法 第9部 第2章 §9.2.2 ★★★ 定理の言明。Born の規則・分散のない状態の不在・有限個の確率による状態の決定が、ここから出る
言明
定理 9.2.2（Gleason の定理 ★★★）
H \mathcal{H} H dim H ≥ 3 \dim\mathcal{H}\ge3 dim H ≥ 3 W W W f f f T ^ \hat T T ^ Tr T ^ = W \operatorname{Tr}\hat T=W Tr T ^ = W f ( x ) = ⟨ x ∣ T ^ ∣ x ⟩ f(x)=\langle x | \hat T | x \rangle f ( x ) = ⟨ x ∣ T ^ ∣ x ⟩ L ( H ) \mathcal L(\mathcal{H}) L ( H ) μ \mu μ ρ ^ \hat\rho ρ ^ ρ ^ ≥ 0 \hat\rho\ge0 ρ ^ ≥ 0 Tr ρ ^ = 1 \operatorname{Tr}\hat\rho=1 Tr ρ ^ = 1
μ ( P ^ ) = Tr ( ρ ^ P ^ ) (9.2.4) \mu(\hat P)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P)\tag{9.2.4} μ ( P ^ ) = Tr ( ρ ^ P ^ ) ( 9.2.4 )
と書ける。
Gleason のこの論文は、Mackey が提起した「射影の束の上の確率測度をすべて求めよ」という問いに答えたものである。仮定 dim H ≥ 3 \dim\mathcal{H}\ge3 dim H ≥ 3 9.2.5 節）。
逆向きの「Tr ( ρ ^ P ^ ) \operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P) Tr ( ρ ^ P ^ ) P ^ ≥ 0 \hat P\ge0 P ^ ≥ 0 Tr ( ρ ^ P ^ ) = Tr ( ρ ^ 1 / 2 P ^ ρ ^ 1 / 2 ) ≥ 0 \operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P)=\operatorname{Tr}(\hat\rho^{1/2}\hat P\hat\rho^{1/2})\ge0 Tr ( ρ ^ P ^ ) = Tr ( ρ ^ 1/2 P ^ ρ ^ 1/2 ) ≥ 0
ρ ^ \hat\rho ρ ^ ρ ^ , σ ^ \hat\rho,\hat\sigma ρ ^ , σ ^ ⟨ x ∣ ρ ^ ∣ x ⟩ = ⟨ x ∣ σ ^ ∣ x ⟩ \langle x | \hat\rho | x \rangle =\langle x | \hat\sigma | x \rangle ⟨ x ∣ ρ ^ ∣ x ⟩ = ⟨ x ∣ σ ^ ∣ x ⟩ D ^ = ρ ^ − σ ^ \hat D=\hat\rho-\hat\sigma D ^ = ρ ^ − σ ^ x x x ⟨ x ∣ D ^ ∣ x ⟩ = 0 \langle x | \hat D | x \rangle =0 ⟨ x ∣ D ^ ∣ x ⟩ = 0 D ^ \hat D D ^ x x x 0 0 0 D ^ = 0 \hat D=0 D ^ = 0 T ^ \hat T T ^
帰結1：Born の規則は導ける
純粋状態 ρ ^ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ \hat\rho=| \psi \rangle \langle \psi | ρ ^ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ (9.2.4) は μ ( P ^ a ) = ⟨ ψ ∣ P ^ a ∣ ψ ⟩ \mu(\hat P_a)=\langle \psi | \hat P_a | \psi \rangle μ ( P ^ a ) = ⟨ ψ ∣ P ^ a ∣ ψ ⟩ P ^ a = ∣ a ⟩ ⟨ a ∣ \hat P_a=| a \rangle \langle a | P ^ a = ∣ a ⟩ ⟨ a ∣ ∣ ⟨ a ∣ ψ ⟩ ∣ 2 \lvert \langle a | \psi \rangle \rvert ^2 ∣⟨ a ∣ ψ ⟩ ∣ 2
帰結2：分散のない状態は無い
第9部第1章で、すべての命題で値が 0 0 0 1 1 1 分散のない状態 と呼んだ。古典の純粋状態はこれである。隠れた変数の理論は、量子の状態の背後に分散のない状態があり、量子の確率はその混合だと考える。Gleason の定理から、3次元以上ではこの考えが（非文脈性を仮定する限り）成り立たないことが出る。
系 9.2.3（分散のない状態の不在 ★★★）
dim H ≥ 3 \dim\mathcal{H}\ge3 dim H ≥ 3 L ( H ) \mathcal L(\mathcal{H}) L ( H )
証明 分散のない状態 μ \mu μ f ( x ) = μ ( ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ) = ⟨ x ∣ ρ ^ ∣ x ⟩ f(x)=\mu(| x \rangle \langle x |)=\langle x | \hat\rho | x \rangle f ( x ) = μ ( ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ) = ⟨ x ∣ ρ ^ ∣ x ⟩ x x x S ( H ) S(\mathcal{H}) S ( H ) dim H ≥ 2 \dim\mathcal{H}\ge2 dim H ≥ 2 0 0 0 1 1 1 f ≡ 0 f\equiv0 f ≡ 0 0 ≠ 1 0\neq1 0 = 1 f ≡ 1 f\equiv1 f ≡ 1 dim H ≥ 3 \dim\mathcal{H}\ge3 dim H ≥ 3 1 1 1 (9.2.3) に反する。
この議論を最初に隠れた変数の問題として書いたのは Bell である（J. S. Bell (1966), Reviews of Modern Physics 38, 447–452）。Bell は同じ論文で、Gleason の定理に頼らずに 0 0 0 1 1 1 第9部第3章 で扱う。
帰結3：状態は有限個の確率で決まる
dim H = d \dim\mathcal{H}=d dim H = d d 2 − 1 d^2-1 d 2 − 1 d 2 d^2 d 2 d 2 − 1 d^2-1 d 2 − 1 { e i } \{e_i\} { e i } i ≠ j i\neq j i = j
u i j = e i + e j 2 , v i j = e i + i e j 2 u_{ij}=\frac{e_i+e_j}{\sqrt2},\qquad v_{ij}=\frac{e_i+\mathrm{i} e_j}{\sqrt2} u ij = 2 e i + e j , v ij = 2 e i + i e j
をとると、f ( u i j ) = 1 2 ( ρ i i + ρ j j ) + Re ρ i j f(u_{ij})=\frac12(\rho_{ii}+\rho_{jj})+\operatorname{Re}\rho_{ij} f ( u ij ) = 2 1 ( ρ ii + ρ j j ) + Re ρ ij f ( v i j ) = 1 2 ( ρ i i + ρ j j ) − Im ρ i j f(v_{ij})=\frac12(\rho_{ii}+\rho_{jj})-\operatorname{Im}\rho_{ij} f ( v ij ) = 2 1 ( ρ ii + ρ j j ) − Im ρ ij ⟨ v ∣ ρ ^ ∣ v ⟩ = 1 2 ( ρ i i + ρ j j + i ρ i j − i ρ j i ) \langle v | \hat\rho | v \rangle =\frac12(\rho_{ii}+\rho_{jj}+\mathrm{i}\rho_{ij}-\mathrm{i}\rho_{ji}) ⟨ v ∣ ρ ^ ∣ v ⟩ = 2 1 ( ρ ii + ρ j j + i ρ ij − i ρ j i ) i ( ρ i j − ρ i j ∗ ) = − 2 Im ρ i j \mathrm{i}(\rho_{ij}-\rho_{ij}^*)=-2\operatorname{Im}\rho_{ij} i ( ρ ij − ρ ij ∗ ) = − 2 Im ρ ij
ρ i i = f ( e i ) , ρ i j = [ f ( u i j ) − f ( e i ) + f ( e j ) 2 ] − i [ f ( v i j ) − f ( e i ) + f ( e j ) 2 ] (9.2.5) \rho_{ii}=f(e_i),\qquad \rho_{ij}=\Bigl[f(u_{ij})-\tfrac{f(e_i)+f(e_j)}{2}\Bigr]-\mathrm{i}\Bigl[f(v_{ij})-\tfrac{f(e_i)+f(e_j)}{2}\Bigr]\tag{9.2.5} ρ ii = f ( e i ) , ρ ij = [ f ( u ij ) − 2 f ( e i ) + f ( e j ) ] − i [ f ( v ij ) − 2 f ( e i ) + f ( e j ) ] ( 9.2.5 )
で密度行列がすべて復元できる。これは状態トモグラフィーの最も素朴な形で、Gleason の定理は「この有限個の確率を測れば、ほかのすべての命題の確率が予言できる」ことを保証する。
例題 9.2.2 9つの確率から3準位の密度行列を組む ★★
オリジナル 3準位系の状態を測ったところ、f ( e 1 ) = 1 2 f(e_1)=\frac12 f ( e 1 ) = 2 1 f ( e 2 ) = 1 3 f(e_2)=\frac13 f ( e 2 ) = 3 1 f ( e 3 ) = 1 6 f(e_3)=\frac16 f ( e 3 ) = 6 1 f ( u 12 ) = f ( v 12 ) = 13 24 f(u_{12})=f(v_{12})=\frac{13}{24} f ( u 12 ) = f ( v 12 ) = 24 13 u 13 , v 13 , u 23 , v 23 u_{13},v_{13},u_{23},v_{23} u 13 , v 13 , u 23 , v 23
(1) (9.2.5) で ρ ^ \hat\rho ρ ^ (2) 組んだ ρ ^ \hat\rho ρ ^ (3) 測っていない命題 ∣ e 2 ⟩ ⟨ e 2 ∣ | e_2 \rangle \langle e_2 | ∣ e 2 ⟩ ⟨ e 2 ∣ 1 ^ − ∣ e 2 ⟩ ⟨ e 2 ∣ \hat 1-| e_2 \rangle \langle e_2 | 1 ^ − ∣ e 2 ⟩ ⟨ e 2 ∣ u 12 u_{12} u 12 u 12 ′ = ( e 1 − e 2 ) / 2 u'_{12}=(e_1-e_2)/\sqrt2 u 12 ′ = ( e 1 − e 2 ) / 2
解答 (1) ρ 12 = ( 13 24 − 5 12 ) − i ( 13 24 − 5 12 ) = 1 8 − i 8 \rho_{12}=\bigl(\frac{13}{24}-\frac{5}{12}\bigr)-\mathrm{i}\bigl(\frac{13}{24}-\frac{5}{12}\bigr)=\frac18-\frac{\mathrm{i}}{8} ρ 12 = ( 24 13 − 12 5 ) − i ( 24 13 − 12 5 ) = 8 1 − 8 i 0 0 0
ρ ^ = ( 1 2 1 − i 8 0 1 + i 8 1 3 0 0 0 1 6 ) . \hat\rho=\begin{pmatrix}\frac12&\frac{1-\mathrm{i}}{8}&0\\[2pt]\frac{1+\mathrm{i}}{8}&\frac13&0\\[2pt]0&0&\frac16\end{pmatrix}. ρ ^ = 2 1 8 1 + i 0 8 1 − i 3 1 0 0 0 6 1 .
(2) 左上の 2 × 2 2\times2 2 × 2 1 2 ⋅ 1 3 − ∣ 1 − i 8 ∣ 2 = 1 6 − 1 32 = 13 96 > 0 \frac12\cdot\frac13-\lvert \frac{1-\mathrm{i}}{8}\rvert ^2=\frac16-\frac{1}{32}=\frac{13}{96}>0 2 1 ⋅ 3 1 − ∣ 8 1 − i ∣ 2 = 6 1 − 32 1 = 96 13 > 0 1 6 \frac16 6 1 ρ ^ ≥ 0 \hat\rho\ge0 ρ ^ ≥ 0 1 1 1
(3) μ ( 1 ^ − ∣ e 2 ⟩ ⟨ e 2 ∣ ) = 1 − 1 3 = 2 3 \mu(\hat 1-| e_2 \rangle \langle e_2 |)=1-\frac13=\frac23 μ ( 1 ^ − ∣ e 2 ⟩ ⟨ e 2 ∣ ) = 1 − 3 1 = 3 2 f ( u 12 ′ ) = 1 2 ( ρ 11 + ρ 22 ) − Re ρ 12 = 5 12 − 1 8 = 7 24 f(u'_{12})=\frac12(\rho_{11}+\rho_{22})-\operatorname{Re}\rho_{12}=\frac{5}{12}-\frac18=\frac{7}{24} f ( u 12 ′ ) = 2 1 ( ρ 11 + ρ 22 ) − Re ρ 12 = 12 5 − 8 1 = 24 7 f ( u 12 ) + f ( u 12 ′ ) = 13 24 + 7 24 = 5 6 = f ( e 1 ) + f ( e 2 ) f(u_{12})+f(u'_{12})=\frac{13}{24}+\frac{7}{24}=\frac56=f(e_1)+f(e_2) f ( u 12 ) + f ( u 12 ′ ) = 24 13 + 24 7 = 6 5 = f ( e 1 ) + f ( e 2 ) e 3 e_3 e 3
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
