証明その1：連続な frame function は2次形式である

量子力学の様々な構成方法　第9部 第2章 §9.2.3　★★★ 実3次元の球面の上で、frame の条件が球面調和関数の $\ell=0,2$ 以外の成分をすべて消すことを示す。確率が「2乗」になる理由の数学的な中身

大円平均の作用素

Gleason の証明は、実3次元 $\mathbb{R}^3$ の場合が中心になる（複素の場合や高次元の場合は 9.2.4節で $\mathbb{R}^3$ に帰着させる）。この節では、$\mathbb{R}^3$ の単位球面 $S^2$ の上の連続な frame function がすべて2次形式であることを証明する。

単位ベクトル $n$ に対し、$n$ に直交する大円（$n$ を極とする赤道）の上の平均をとる作用素を

$$(\mathcal C g)(n)\coloneqq\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}g\bigl(\cos\varphi\,u+\sin\varphi\,v\bigr)\,\mathrm{d}\varphi\tag{9.2.6}$$

と定める。$u,v$ は $n$ に直交する正規直交の2本で、平均は $u,v$ の選び方によらない。

frame function $f$（重み $W$）に対して、$n$ を含む基底 $\{n,\ u(\varphi),\ u(\varphi+\frac\pi2)\}$（$u(\varphi)=\cos\varphi\,u+\sin\varphi\,v$）を考えると、すべての $\varphi$ で $f(n)+f(u(\varphi))+f(u(\varphi+\frac\pi2))=W$ である。これを $\varphi$ について平均すると、第2項と第3項はどちらも $(\mathcal Cf)(n)$ になるので

$$f(n)+2(\mathcal Cf)(n)=W\qquad(\text{すべての }n\in S^2)\tag{9.2.7}$$

を得る。frame function の条件のうち、この章の証明で使うのはこの1つの式だけである。

$\mathcal C$ は次の2つの性質を持つ。第一に、回転と交換する：回転 $R$ で $g_R(x)=g(R^{-1}x)$ とおくと $\mathcal C(g_R)=(\mathcal Cg)_R$。$n$ に直交する大円を $R$ で回すと $Rn$ に直交する大円になるからである。第二に、$L^2(S^2)$ の内積について対称である：

$$\int_{S^2}h(n)\,(\mathcal Cg)(n)\,\mathrm{d}\Omega_n=\int_{S^2}(\mathcal Ch)(x)\,g(x)\,\mathrm{d}\Omega_x .\tag{9.2.8}$$

左辺は「直交する2本の単位ベクトルの組 $(n,x)$ を一様に選んだときの $h(n)g(x)$ の平均」に $4\pi$ を掛けたもので、この一様な分布は $n$ と $x$ を入れ替えても変わらないからである。

球面調和関数の上では $P_\ell(0)$ 倍

$S^2$ の上の2乗可積分な関数は、球面調和関数の空間 $\mathcal Y_\ell$（$\ell=0,1,2,\dots$、次元 $2\ell+1$、$\hat{\bm{L}}^2$ の固有値 $\hbar^2\ell(\ell+1)$ の固有空間）の直和に分かれる。

証明

$\mathcal C$ は多項式を同じ次数以下の多項式に移し、回転と交換するので、回転の生成子 $\hat{\bm{L}}$ と交換し、$\hat{\bm{L}}^2$ の固有空間 $\mathcal Y_\ell$ を自分自身に移す。$\mathcal Y_\ell$ は回転群の既約表現なので、Schur の補題により、$\mathcal C$ は $\mathcal Y_\ell$ の上で定数 $\lambda_\ell$ 倍である。定数を求めるには、$\mathcal Y_\ell$ の中の1つの関数で1点の値を比べればよい。$Y(x)=P_\ell(x_3)$（$z$ 軸のまわりに回転対称な関数）は $\mathcal Y_\ell$ に入り、$n=e_3$ での値は $Y(e_3)=P_\ell(1)=1$ である。一方 $e_3$ に直交する大円は赤道 $x_3=0$ なので、$(\mathcal CY)(e_3)=P_\ell(0)$。よって $\lambda_\ell=P_\ell(0)$。

この補題は Funk–Hecke の公式の特別な場合である。$P_\ell(0)$ の値は $1,\ 0,\ -\frac12,\ 0,\ \frac38,\ 0,\ -\frac{5}{16},\dots$ と続き、偶数の $\ell\ge4$ では $\lvert P_\ell(0)\rvert <\frac12$ である（$\lvert P_{\ell+2}(0)\rvert =\frac{\ell+1}{\ell+2}\lvert P_\ell(0)\rvert$ で単調に減る）。

定理と証明

証明

$Y\in\mathcal Y_\ell$ を任意にとり、(9.2.7) の両辺に $Y$ を掛けて球面で積分する。対称性 (9.2.8) と補題 9.2.4 から $\int Y\,\mathcal Cf=\int(\mathcal CY)f=P_\ell(0)\int Yf$ なので

$$\bigl(1+2P_\ell(0)\bigr)\int_{S^2}Y f\,\mathrm{d}\Omega=W\int_{S^2}Y\,\mathrm{d}\Omega .\tag{9.2.9}$$

右辺は $\ell\ge1$ では $0$（定数関数 $1\in\mathcal Y_0$ と直交する）。左辺の係数 $1+2P_\ell(0)$ は、$\ell$ が奇数なら $1$、$\ell=2$ なら $0$、偶数の $\ell\ge4$ なら $1-2\lvert P_\ell(0)\rvert >0$ か $1+2\lvert P_\ell(0)\rvert >0$ で、いずれも $0$ でない。したがって $\ell\neq0,2$ のすべての $Y\in\mathcal Y_\ell$ について $\int Yf=0$、すなわち $f$ は $\mathcal Y_0\oplus\mathcal Y_2$ の外の成分を持たない。$\ell=0$ では $3\int f=4\pi W$（$Y=1$）から $f$ の平均は $W/3$ である。

$\mathcal Y_0\oplus\mathcal Y_2$ は、実対称行列 $A$ による2次形式 $x^{\mathsf T}Ax$ を球面に制限したものの全体と一致する（2次形式の空間は6次元で、$x^{\mathsf T}x=1$ が $\mathcal Y_0$、$A$ のトレースのない部分が $\mathcal Y_2$ の5次元）。そこで $f$ の $\mathcal Y_0\oplus\mathcal Y_2$ 成分を $q(x)=x^{\mathsf T}Ax$ と書くと、$f-q$ は連続で、すべての球面調和関数と直交する。球面調和関数の全体は $L^2(S^2)$ で完全なので $f-q=0$（$L^2$ の意味で）で、連続関数が $L^2$ で $0$ ならすべての点で $0$ である。最後に、$q$ の基底の和は $\operatorname{Tr} A$ で、これが $W$ に等しい。

図 9.2.2 に係数 $1+2P_\ell(0)$ を描いた。$\ell=2$ でだけ $0$ になるのは、$P_2(0)=-\frac12$ という値の偶然ではなく、2次形式 $x^{\mathsf T}Ax$ の基底の和が $\operatorname{Tr} A$ という基底によらない量になることの裏返しである。トレースのない2次形式（$\mathcal Y_2$）はどの基底でも和が $0$ なので、(9.2.7) の右辺に寄与しない。確率が振幅の2乗になることの数学的な中身は、「基底の和を一定に保つ連続関数は、球面の上では2次の成分しか持てない」というこの事実である。