証明その2：非負なら連続であること、複素の場合への持ち上げ

量子力学の様々な構成方法　第9部 第2章 §9.2.4　★★ Gleason の議論の中心（非負性から連続性を出す）と、実3次元の結果を一般のヒルベルト空間へ広げる筋道。証明は概略

非負性と大円の関係

定理 9.2.5 は連続性を仮定した。Gleason の定理の仮定は非負性だけで、連続性はそこから導かなければならない。導く道具は次の2つの関係で、どちらも frame の条件からすぐに出る。

1. (a) 大円の上の関係：$n$ を極とする大円の上の直交する2点 $u,u^\perp$ では $f(u)+f(u^\perp)=W-f(n)$。大円の上では $f$ は「2次元の frame function」で、その重みは極の値で決まる。
2. (b) 有界性：$f\ge0$ なら、直交する2点で $f(u)+f(v)\le W$（3本目の値が非負）、とくに $0\le f\le W$。

(a) だけなら、大円の上の値はかなり自由に選べる（9.2.5節で見るとおり、2次元の frame function は何の規則性も持たなくてよい）。しかし $\mathbb{R}^3$ の1点 $x$ は、$x$ を通る大円すべて（極が $x$ に直交する大円の上を動く）に属するので、(a) の関係が無数の大円の間で絡み合う。Gleason は、北極 $e_3$ で $f$ がほぼ最大になるように球面を回し、(a) と (b) を有限回つないで、北極のまわりの小さな冠の中の $f$ の振れ幅 $\sup f-\inf f$ が、冠を小さくすると $0$ に近づくことを示した。冠の中心を球面上のどこに置いても同じ議論ができるので、$f$ は連続になり、定理 9.2.5 が使える。

Gleason の元の証明は、連続性を示した後に回転群の表現論（この章の 9.2.3節に当たる部分）を使う。表現論を使わずに初等的な幾何だけで同じ結論を出した証明は R. Cooke, M. Keane and W. Moran (1985), Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 98, 117–128 にある。どちらの証明でも、非負性が使われるのは (b) の所だけである。非負性も有界性も外すと定理は成り立たない。$\mathbb{R}$ を $\mathbb Q$ 上のベクトル空間とみなして作る、加法的（$\phi(s+t)=\phi(s)+\phi(t)$）だが連続でない関数 $\phi$ を2次形式に合成した $\phi(x^{\mathsf T}Ax)$ は、基底の和が $\phi(\operatorname{Tr} A)$ で一定なので frame function だが、有界でなく正則でもない。この場合でも、frame function が有界なら正則である（有界性は (b) の代わりに使える）。

複素ヒルベルト空間と高次元への持ち上げ

一般の $\mathcal{H}$（$\dim\mathcal{H}\ge3$）の非負の frame function $f$ を考える。互いに直交する単位ベクトル $e_1,e_2,e_3$ を選び、それらの実係数の結合

$$V_{\mathbb{R}}=\{a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3\,:\,a_i\in\mathbb{R}\}$$

を考える。$V_{\mathbb{R}}$ は実3次元のヒルベルト空間で、その中で直交する2本のベクトルは $\mathcal{H}$ でも直交する（内積 $\sum_ia_ib_i$ が実数で一致する）。$V_{\mathbb{R}}$ の正規直交基底に、$\{e_1,e_2,e_3\}$ の張る複素部分空間の直交補空間の基底（固定）を足すと $\mathcal{H}$ の基底になるので、$f$ を $V_{\mathbb{R}}$ の単位球面に制限した関数は frame function で、重みは $W$ から固定した部分の和を引いた値である。したがって $V_{\mathbb{R}}$ の上で $f$ は実の2次形式になる。

残る仕事は、こうして得られた無数の実の2次形式（$e_1,e_2,e_3$ の選び方ごとに1つ）が、1つの自己共役演算子 $\hat T$ の $\langle x | \hat T | x \rangle$ にまとまることを示すことである。Gleason は、2次元の複素部分空間 $\operatorname{span}_{\mathbb{C}}\{e_1,e_2\}$ の上で、$e_1$ と $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}e_2$ の実係数の結合ごとに得られる2次形式が、複素のエルミート形式の制限として整合することを示し、これを全体に広げた。有限次元ではこれで $\hat T$ が得られる。無限次元（可分）では、$\hat T$ が有界でトレース族であることを、$f\ge0$ と基底の和が $W$ であることから示す。$\dim\mathcal{H}=3$ の実の場合が議論の出発点で、ほかの場合はすべてこれに帰着する。仮定 $\dim\mathcal{H}\ge3$ は、$V_{\mathbb{R}}$ を作るのに互いに直交する3本が要ることとして使われている。