共通例題②③：2準位系と自由粒子

(1) $\Omega'=\sqrt2\,\Omega$ なので $(\Omega/\Omega')^2=\frac12$、$\sin^2(\pi/4)=\frac12$ で $P_e=\frac14$。Bloch ベクトルは $\bm{h}=(-\Omega,0,-\Delta)$ のまわりの回転で、$r_x=-2\Delta\Omega\sin^2(\Omega't/2)/\Omega'^2=-\frac12$、$r_y=-(\Omega/\Omega')\sin\Omega't=-1/\sqrt2$、$r_z=-1+2P_e=-\frac12$ となる（第9部第2章の式 (9.2.13)）。$\lvert \bm{r}\rvert ^2=\frac14+\frac12+\frac14=1$ で、純粋状態のまま球面の上にある。$r_y\neq0$ なので、この状態は実数の量子論（第9部第5章）の円板には入らない。

(2) $1/T_\phi=1/T_2-1/(2T_1)=1/30-1/80=1/48$ で $T_\phi=48\,\mu\mathrm s$。$T_2=90\,\mu\mathrm s$ だと、時間 $t$ の後の写像は横の成分を $\lambda=\mathrm{e}^{-t/90}$ 倍、縦の成分を $\mu=\mathrm{e}^{-t/40}$ を使って縮める。$t=10\,\mu\mathrm s$ で $\lambda^2=0.800$、$\mu=0.779$ となり $\lambda^2>\mu$ で、球面の上の状態の一部が球の外（$\lvert \bm{r}\rvert >1$）へ写る。したがって $T_2\le2T_1$ が必要である。

(1) $t_*=2\times9.109\times10^{-31}\times10^{-18}/(1.0546\times10^{-34})\,\mathrm s=1.73\times10^{-14}\,\mathrm s$。$\sigma(t)=\sigma_0\sqrt{1+(t/t_*)^2}$ なので、$100\,\mathrm{fs}$ で $5.87\,\mathrm{nm}$、$1\,\mathrm{ps}$ で $57.9\,\mathrm{nm}$ である（第1部第1章・第5部第2章・第10部第4章の例題の値と一致する）。

(2) Bohm の軌道は $X(t)=x_0\sigma(t)/\sigma_0$ で、$x_0=\sigma_0$ の粒子は $\sigma(t)$ の位置を動き、$1\,\mathrm{ps}$ 後に $57.9\,\mathrm{nm}$ にいる。長い時間の後の速さは $x_0\hbar/(2m\sigma_0^2)=\hbar/(2m\sigma_0)=5.79\times10^4\,\mathrm{m/s}$ で、初めの運動量の標準偏差 $\hbar/(2\sigma_0)$ を $m$ で割ったものに等しい。粒子は初め静止していて、量子ポテンシャルの外向きの力で加速される（第7部第4章の式 (7.4.8)）。

(3) 拡散だけなら分散は $\sigma_0^2+2\nu t=\sigma_0^2+\hbar t/m$ で、$1\,\mathrm{ps}$ 後に $\sqrt{10^{-18}+1.158\times10^{-16}}\,\mathrm m=10.8\,\mathrm{nm}$ である。(1) の $57.9\,\mathrm{nm}$ より小さく、時間に対して $\sqrt t$ でしか増えない。Nelson の前向きのドリフト $b=(\nu/\sigma^2)(t/t_0-1)x$（$t_0=\sigma_0^2/\nu=2m\sigma_0^2/\hbar$）は、$t<t_0$ では内向きで拡散を打ち消して $\dot\sigma=0$ から始め、$t>t_0$ では外向きになって $\sigma\propto t$ の広がりを作る（第7部第5章）。同じ $\sigma(t)$ を、Bohm は決定論的な軌道の加速で、Nelson はドリフトと拡散の組で再現する。