共通例題を軌道で解く

量子力学の様々な構成方法　第7部 第4章 §7.4.2　★★★ 共通例題③の波束の広がりと①の調和振動子を、1本1本の軌道で読み、正答表の答えと一致させる

③ 自由粒子の波束：軌道は相似に広がる

初めの幅 $\sigma_0$、平均の運動量 $\hbar k_0$ のガウス波束 $\psi(x,0)\propto\exp(-x^2/(4\sigma_0^2)+\mathrm{i} k_0x)$ を自由に発展させる。時刻 $t$ の波動関数は

$$\psi(x,t)\propto\frac{1}{\sqrt{\alpha(t)}}\exp\Bigl(-\frac{(x-\hbar k_0t/m)^2}{4\sigma_0^2\alpha(t)}+\mathrm{i} k_0x-\frac{\mathrm{i}\hbar k_0^2t}{2m}\Bigr),\qquad \alpha(t)=1+\frac{\mathrm{i}\hbar t}{2m\sigma_0^2}$$

で（伝播関数からの導出は 第3部第3章）、密度の幅は共通例題③の正答

$$\sigma(t)^2=\sigma_0^2+\Bigl(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0}\Bigr)^2=\sigma_0^2\Bigl(1+\frac{t^2}{t_*^2}\Bigr),\qquad t_*=\frac{2m\sigma_0^2}{\hbar}\tag{7.4.5}$$

に従う。$\nabla\psi/\psi$ の虚部を取ると速度場は

$$v(x,t)=\frac{\hbar k_0}{m}+\frac{\dot\sigma}{\sigma}\Bigl(x-\frac{\hbar k_0t}{m}\Bigr),\qquad \frac{\dot\sigma}{\sigma}=\frac{t}{t_*^2+t^2}\tag{7.4.6}$$

である（$k_0=0$ の場合は第7部第1章の第5節で求めた）。重心と一緒に進み、重心からの距離に比例して外へ広がる一様な膨張である。

案内方程式 $\dot X=v(X,t)$ は線形なので解ける。$Y=X-\hbar k_0t/m$ と置くと $\dot Y=(\dot\sigma/\sigma)Y$、つまり $\mathrm{d}\ln Y/\mathrm{d} t=\mathrm{d}\ln\sigma/\mathrm{d} t$ で、

$$X(t)=\frac{\hbar k_0t}{m}+x_0\,\frac{\sigma(t)}{\sigma_0}=\frac{\hbar k_0t}{m}+x_0\sqrt{1+\frac{t^2}{t_*^2}}\tag{7.4.7}$$

を得る。すべての軌道は、重心から見て同じ倍率 $\sigma(t)/\sigma_0$ で引き伸ばされる。重心から測った「標準偏差何個分の所にいるか」$(X-\hbar k_0t/m)/\sigma(t)=x_0/\sigma_0$ は軌道ごとに一定で、だから分布はずっと幅 $\sigma(t)$ のガウス分布である。これは等変性（定理 7.4.1）の具体例で、共通例題③の答え $\sigma(t)^2=\sigma_0^2+(\hbar t/2m\sigma_0)^2$ が、1本1本の軌道の広がりの積み重ねとして出てくる。

図 7.4.1 に $k_0=0$ の軌道を描いた。$t\ll t_*$ では軌道はほとんど動かず、$t\gg t_*$ では直線 $X\approx x_0t/t_*$ に近づく。初めの位置 $x_0$ の粒子の終わりの速さは

$$v_\infty=\lim_{t\to\infty}\frac{X(t)}{t}=\frac{x_0}{t_*}=\frac{\hbar x_0}{2m\sigma_0^2}\tag{7.4.8}$$

で、$x_0$ が標準偏差 $\sigma_0$ のガウス分布に従うので、$v_\infty$ は標準偏差 $\hbar/(2m\sigma_0)$ のガウス分布に従う。これは初めの運動量の分布の幅 $\Delta p=\hbar/(2\sigma_0)$ を $m$ で割ったものに等しい。ところが $k_0=0$ の実のガウスでは、初めの速度場は $v(x,0)=0$ で、どの粒子も初めは止まっている。Bohm の力学では、運動量の分布は「粒子が初めから持っている速さの分布」ではなく、飛行時間で測ったときに初めて現れる終わりの速さの分布である。止まっていた粒子を外へ押し出すのは、第7部第1章の例題（ガウス分布の量子ポテンシャル）で求めた、量子ポテンシャルの外向きの力である。

① 調和振動子：止まる軌道と、揺れる軌道

固有状態 $\psi_n(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_nt/\hbar}$ は位置の関数部分が実数なので、速度場は $0$ で、粒子はどこにいても止まっている。第7部第1章の第5節で示したとおり、そのとき $V+Q=E_n$ は一定で、力が釣り合っている（例題 7.4.1 の水素原子と同じ）。

コヒーレント状態では様子が変わる。基底状態の幅を $\sigma_{\mathrm g}=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}$ と書くと、コヒーレント状態の波動関数は古典の軌道 $(X_{\mathrm c}(t),P_{\mathrm c}(t))$ を中心に持つ幅 $\sigma_{\mathrm g}$ のガウス分布で、

$$\psi(x,t)\propto\exp\Bigl(-\frac{(x-X_{\mathrm c})^2}{4\sigma_{\mathrm g}^2}+\frac{\mathrm{i} P_{\mathrm c}x}{\hbar}+\mathrm{i}\theta(t)\Bigr),\qquad X_{\mathrm c}(t)=2\sigma_{\mathrm g}\operatorname{Re}\bigl(\alpha\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\bigr),\quad P_{\mathrm c}=m\dot X_{\mathrm c}$$

と書ける（$\theta(t)$ は $x$ によらない位相）。速度場は $v=P_{\mathrm c}(t)/m$ で、$x$ によらない。したがって軌道は

$$X(t)=x_0+X_{\mathrm c}(t)-X_{\mathrm c}(0)\tag{7.4.9}$$

で、すべての粒子が古典の軌道と同じ振動を、初めの位置のずれを保ったまま行う。2階の形 (7.4.4) で見ると、このガウスの量子ポテンシャルは$Q=\hbar\omega/2-m\omega^2(x-X_{\mathrm c})^2/2$ なので $\partial_x(V+Q)=m\omega^2X_{\mathrm c}$ が $x$ によらず、どの粒子にも同じ力 $-m\omega^2X_{\mathrm c}(t)$ が働く。粒子自身の位置 $X$ でなく波束の中心 $X_{\mathrm c}$ で力が決まる点に、量子ポテンシャルの役割が見える。