二重スリットの軌道

量子力学の様々な構成方法　第7部 第4章 §7.4.3　★★ この構成が最も得意な絵：干渉縞が、交わらない軌道の束として描ける

模型

二重スリットを通った直後の波動関数を、スリットの位置 $x=\pm d/2$ に中心を持つ幅 $\sigma_0$ の2つのガウス分布の和で表す。進む向き（$y$ 方向）の運動は速さがほぼ一定なので $y=v_yt$ と時刻に読み替え、横の座標 $x$ だけを自由に発展させる。各成分は第2節の自由波束 $(k_0=0)$ と同じ形で発展するので、

$$\psi(x,t)\propto\sum_{c=\pm d/2}\frac{1}{\sqrt{\alpha(t)}}\exp\Bigl(-\frac{(x-c)^2}{4\sigma_0^2\alpha(t)}\Bigr),\qquad \alpha(t)=1+\frac{\mathrm{i}\hbar t}{2m\sigma_0^2}=1+\frac{\mathrm{i} t}{t_*}$$

である。2つの成分の位相差は $x$ について1次で、指数の虚部の差を計算すると $-x\,d\,(t/t_*)/\bigl(2\sigma_0^2(1+t^2/t_*^2)\bigr)$ となる。したがって縞の周期は

$$\Lambda(t)=\frac{2\pi\hbar}{md}\cdot\frac{t_*^2+t^2}{t}\ \xrightarrow{\ t\gg t_*\ }\ \frac{2\pi\hbar t}{md}\tag{7.4.10}$$

で、$t=L/v_y$、$2\pi\hbar/(mv_y)=\lambda$ と書けば、スリットから距離 $L$ の所で $\Lambda=\lambda L/d$ という光学の二重スリットの式に戻る。

軌道の性質

案内方程式を数値で積分した軌道を図 7.4.2 に示す（$\hbar=m=\sigma_0=1$、$d=20$、各スリットの軌道は $\lvert \psi\rvert ^2$ の分位点 $5\%,15\%,30\%,50\%,70\%,85\%,95\%$ から出した）。図から読み取れる性質を3つ挙げ、それぞれの理由を述べる。

第一に、軌道は互いに交わらない。案内方程式は1階の常微分方程式で、ある時刻のある位置での速度が1つに決まっているので、2本の軌道が同じ時刻に同じ点を通れば、それ以後もそれ以前も同じ軌道になる。とくに $\psi$ が $x\to-x$ で対称なら $v(-x,t)=-v(x,t)$ で $v(0,t)=0$ となり、対称軸 $x=0$ 自身が1本の軌道（止まった点）になる。そのため、上のスリットを出た粒子は下半分へ移れず、必ず上半分の縞に着く。「粒子がどちらのスリットを通ったか」は、着いた位置が軸の上か下かで決まる。

第二に、軌道は縞の明るい所に集まり、暗い所を速く通り過ぎる。2つの波束が重なり始める時刻（$\sigma(t)$ が $d/2$ に届くころで、$t\gg t_*$ なら $t\approx t_*d/(2\sigma_0)$。図では $t\approx20$）から、軌道は折れ曲がって明るい縞の中心へ寄っていく。暗い縞の付近では $\rho$ が小さいので$v=j/\rho$ が大きく、粒子はそこを素早く横切る。これが等変性の具体的な姿で、各時刻の軌道の密度は $\lvert \psi\rvert ^2$ に一致する（検算では、各軌道の右側にある $\lvert \psi\rvert ^2$ の割合が $t=0$ と $t=60$ で $10^{-11}$ 以下の差で一致した）。

第三に、遠くでは軌道は直線になる。縞が十分に分かれたあとは各明るい縞の中で速度場がほぼ一様な膨張になり、軌道は原点から放射状に伸びる直線に近づく。その傾きの分布は初めの運動量の分布で、第2節の飛行時間の議論と同じことが起きている。

これらの軌道を最初に計算して描いたのは C. Philippidis, C. Dewdney, B. J. Hiley, Nuovo Cimento B 52, 15 (1979) である。光子については、S. Kocsis ら, Science 332, 1170 (2011) が、弱測定で測った各点の平均の運動量の向きをつないで、二重スリットの後ろの「平均の軌道」を再構成した。その軌道の形が Bohm の軌道と同じであることは、第6節の弱値の式から理解できる。

図 7.4.2　二重スリット（$d=20\sigma_0$）の Bohm の軌道。横軸は時刻（進む向きの距離を速さで割ったもの）、縦軸は横の位置。各スリットから7本ずつ、初めの $\lvert \psi\rvert ^2$ の分位点から出した。軌道は対称軸（灰色の破線）を越えず、2つの波束が重なる $t\gtrsim20$ で折れ曲がって明るい縞へ集まる。$t=60$ での縞の周期は (7.4.10) の $2\pi(4+t^2)/(20t)=18.9$。