共通例題②：Pauli 行列の Heisenberg 方程式と Rabi 振動

量子力学の様々な構成方法　第2部 第3章 §2.3.4　★★★ 共通例題②を行列力学の言葉で解く。状態を動かさず、Pauli 行列が回転する線形の方程式として Rabi 振動を出す

スピンの演算子の方程式

共通例題②の2準位系の Hamiltonian（回転座標、記法は 第1部第2章と同じ）を

$$\hat H=-\frac{\hbar\Delta}{2}\sigma_z-\frac{\hbar\Omega}{2}\sigma_x=-\frac{\hbar}{2}\,\bm{w}\cdot\bm{\sigma},\qquad \bm{w}=(\Omega,0,\Delta)\tag{2.3.13}$$

と書く。2準位系には古典の正準変数 $(q,p)$ が無いので、正準量子化の処方は直接は当たらない。それでも Pauli 行列の交換関係$\left[\sigma_j,\,\sigma_k\right]=2\mathrm{i}\sum_l\epsilon_{jkl}\sigma_l$ があれば (E2) は書ける。$\bm{\sigma}$ の成分 $j$ について

$$\frac{\mathrm{d} \sigma_j}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left[\sigma_j,\,-\frac\hbar2\sum_kw_k\sigma_k\right]=-\frac{1}{2\mathrm{i}}\sum_kw_k\,2\mathrm{i}\sum_l\epsilon_{jkl}\sigma_l=-\sum_{k,l}\epsilon_{jkl}w_k\sigma_l$$

すなわち

$$\frac{\mathrm{d} \bm{\sigma}}{\mathrm{d} t}=\bm{\sigma}\times\bm{w}\tag{2.3.14}$$

である。右辺が $\bm{\sigma}$ について線形なので、2.3.3 節と同じく、古典の解の初期値を演算子にしたものが厳密解になる。

古典の側では、角運動量のベクトル $\bm{S}$ に Poisson 括弧 $\{S_j,S_k\}=\sum_l\epsilon_{jkl}S_l$ を入れ、$H=-\bm{w}\cdot\bm{S}$ とすると$\dot S_j=\{S_j,H\}=-\sum_{k,l}\epsilon_{jkl}w_kS_l$、すなわち $\dot{\bm{S}}=\bm{S}\times\bm{w}$ で、式 (2.3.14) と同じ形になる（$\hat{\bm{S}}=\frac\hbar2\bm{\sigma}$ と置けば $\hat H=-\bm{w}\cdot\hat{\bm{S}}$ で、規則 $\{\cdot,\cdot\}\to\left[\cdot,\,\cdot\right]/(\mathrm{i}\hbar)$ と整合する）。どちらも、ベクトルが軸 $\bm{n}=\bm{w}/\Omega'$（$\Omega'=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2}$）のまわりを角速度 $\Omega'$ で回る歳差運動である。球面を相空間とみてスピンを量子化する見方は 第10部第5章で扱う。

解と Rabi 振動

$\bm{s}(t)$ を初期値 $\bm{s}$ のベクトルが (2.3.14) で回ったものとすると、Rodrigues の回転の式から

$$\bm{s}(t)=(\bm{s}\cdot\bm{n})\bm{n}+\cos\Omega't\,\bigl(\bm{s}-(\bm{s}\cdot\bm{n})\bm{n}\bigr)-\sin\Omega't\;\bm{n}\times\bm{s}\tag{2.3.15}$$

である（$t$ で微分すると $\bm{s}(t)\times\bm{w}$ に等しいことは直接確かめられる）。演算子の解 $\bm{\sigma}(t)$ は、この式の $\bm{s}$ を $\bm{\sigma}$（時刻0の Pauli 行列）に置き換えたもので、回転は $\epsilon_{jkl}$ を保つので $\left[\sigma_x(t),\,\sigma_y(t)\right]=2\mathrm{i}\sigma_z(t)$ も保たれる。

状態は時刻0の $| g \rangle$（$\sigma_z| g \rangle =-| g \rangle$）のまま動かない。その期待値は $\langle \bm{\sigma} \rangle =(0,0,-1)$ で、$\bm{s}=(0,0,-1)$ を式 (2.3.15) に入れると $\bm{s}\cdot\bm{n}=-\Delta/\Omega'$、$\bm{n}\times\bm{s}=(0,\Omega/\Omega',0)$ だから

$$\langle \sigma_z(t) \rangle =-\frac{\Delta^2}{\Omega'^2}-\frac{\Omega^2}{\Omega'^2}\cos\Omega't .$$

上の準位にいる確率は $\hat P_e=\frac12(1+\sigma_z)$ の期待値なので

$$P_e(t)=\frac12\bigl(1+\langle \sigma_z(t) \rangle \bigr)=\Bigl(\frac{\Omega}{\Omega'}\Bigr)^2\sin^2\frac{\Omega't}{2}\tag{2.3.16}$$

となり、共通例題②の正答と一致する。第1部第2章では同じ答えを状態ベクトルの時間発展 $\hat U(t)| g \rangle$ から出した。ここでは状態を動かさず、$\sigma_z$ の表が回転することで同じ確率が出る。