方程式が非線形のとき：行列で解く時間発展と古典からのずれ

量子力学の様々な構成方法　第2部 第3章 §2.3.5　★★ 非線形の系でも演算子の方程式は古典と同じ形だが、期待値は古典の1本の軌道に従わない。行列力学の式 (2.3.6) で時間発展を計算し、崩れと復活を見る

演算子の方程式は閉じるが、期待値の方程式は閉じない

1次元の非調和振動子

$$\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+\frac{m\omega^2}{2}\hat q^2+\lambda\hat q^4\tag{2.3.17}$$

の Heisenberg 方程式は、定理 2.3.4 により $\dot{\hat q}=\hat p/m$、$\dot{\hat p}=-m\omega^2\hat q-4\lambda\hat q^3$ で、古典の Hamilton 方程式に帽子を付けた形である。ところが期待値を取ると $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat p \rangle =-m\omega^2\langle \hat q \rangle -4\lambda\langle \hat q^3 \rangle$ で、$\langle \hat q^3 \rangle$ は $\langle \hat q \rangle ^3$ に等しくない。$\langle \hat q^3 \rangle$ の方程式には $\langle \hat q^2\hat p \rangle$ などが現れ、モーメントの方程式は有限個では閉じない。2.3.3 節の線形の場合との違いはここにある。この先は Ehrenfest の定理の話題で、展開 $\langle V'(\hat q) \rangle =V'(\langle \hat q \rangle )+\tfrac12V'''(\langle \hat q \rangle )(\Delta q)^2+\cdots$ は解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第3章で扱った。この節では方程式を近似せず、行列力学の式で厳密に解く。

行列で解く

式 (2.3.6) によれば、$\hat H$ の固有値 $E_n$ と、その基底での $\hat q$ の行列要素 $q_{nm}$ さえ分かれば、時刻 $t$ の表は $q_{nm}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{nm}t}$ である。時刻0の状態をエネルギーの基底で $| \psi \rangle =\sum_nc_n| n \rangle$ と書くと

$$\langle \hat q(t) \rangle =\sum_{n,m}c_n^*c_m\,q_{nm}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{nm}t}\tag{2.3.18}$$

で、これは Bohr の振動数 $\omega_{nm}$ の重ね合わせである。$E_n$ と $q_{nm}$ を求めるには、調和振動子の数の基底 $| k \rangle$（$k=0,1,\dots,99$ の100個）で$\hat H$ の行列を作って対角化する。行列は $\hat q=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}(\hat a+\hat a^\dagger)$ の表 (2.3.12) から作れるので、計算は行列力学の内部で完結する。

$\hbar=m=\omega=1$ の単位で $\lambda=0.01$ とし、時刻0の状態を調和振動子のコヒーレント状態 $| \alpha=2 \rangle$（$\langle \hat q \rangle =2\sqrt2\approx2.83$、$\langle \hat p \rangle =0$、$\Delta q=\Delta p=1/\sqrt2$）にとる。対角化すると基底のエネルギーは $E_0=0.50726$、隣り合う準位の角振動数は$\omega_{10}=1.0284$、$\omega_{21}=1.0552$、$\omega_{32}=1.0802$、$\omega_{43}=1.1038$、$\omega_{54}=1.1261$ である。基底を140個に増やしても $\langle \hat q(t) \rangle$ は $10^{-8}$ より小さくしか変わらない。

図 2.3.2 に、式 (2.3.18) の $\langle \hat q(t) \rangle$ と、2つの古典の計算を並べた。1つは初期値 $(q,p)=(2\sqrt2,0)$ から出た1本の古典軌道、もう1つは初期値をコヒーレント状態と同じ平均と分散の Gauss 分布で選んだ古典の集団の平均（Gauss–Hermite 求積の $24\times24$ 点）である。量子の $\langle \hat q(t) \rangle$ は1本の軌道からは最大 $2.76$ ずれるが、古典の集団の平均とは $t\leq60$ の範囲で $0.10$ 以内で一致する。振幅が小さくなるのは、軌道ごとに振動数が違う（$\lambda>0$ では振幅が大きいほど速い）ため、集団の位相がそろわなくなるからである。$t=60$ では $\lvert \langle \hat q \rangle \rvert <0.05$ まで崩れる。

図 2.3.2　4次の項を持つ振動子 (2.3.17)（$\hbar=m=\omega=1$、$\lambda=0.01$）の $\langle \hat q(t) \rangle$。点線（青）は式 (2.3.18) の厳密な値、実線の赤はコヒーレント状態と同じ Gauss 分布から出た古典の集団の平均、細い灰色は1本の古典軌道。量子の値は集団の平均に沿って崩れ、1本の軌道からは離れる。

古典の振動数と Bohr の振動数、崩れと復活

式 (2.3.18) の中で $\langle \hat q \rangle$ に寄与するのは、主に隣り合う準位の項 $q_{n+1,n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{n+1,n}t}$ である。コヒーレント状態の $c_n$ は、ほぼ平均 $\alpha^2=4$・標準偏差 $\alpha=2$ の Poisson 分布の重みを持つので、$n=2\sim6$ あたりの $\omega_{n+1,n}$ が混ざる。例題 2.3.5 で示すように、$\omega_{n+1,n}$ は古典の軌道の角振動数 $\omega(J)$ を作用 $J=(n+1)\hbar$ で測ったものにほぼ等しい。古典の集団では作用が連続に分布するので位相は崩れたままだが、量子では振動数が飛び飛びの値なので、ある時刻に位相がそろい直す。隣どうしの振動数の差は $n$ とともに小さくなり（$\omega_{21}-\omega_{10}=0.0268$ から $\omega_{54}-\omega_{43}=0.0223$ へ）、例題 2.3.5 の1次の摂動の値 $3\lambda=0.03$ より小さい。1次の値のままなら位相がそろい直す時刻は $2\pi/(3\lambda)\approx209$ だが、$\langle \hat q \rangle$ に寄与する項の重み $\lvert c_nc_{n+1}q_{n+1,n}\rvert$ で差を平均すると $0.0214$ で、時刻は $2\pi/0.0214\approx293$ になる。実際に式 (2.3.18) を計算すると、$t=291$ で $\lvert \langle \hat q \rangle \rvert =2.00$ まで戻る（復活）。古典の集団の平均には復活が無い。崩れまでは量子と古典の集団が一致し、復活で違いがはっきり現れる。