時間発展が保つもの：交換関係・エネルギー・保存量

量子力学の様々な構成方法　第2部 第3章 §2.3.2　★★★ 時間発展が交換関係を保つ写像（正準変換の量子版）であること、保存量と対称性の対応、Bohr の振動数条件を (E2) だけから導く

交換関係の保存

(E2) に従う2つの物理量の交換子を時間で微分すると、Leibniz 則と Jacobi 恒等式$\left[\hat A,\,\left[\hat B,\,\hat C\right]\right]+\left[\hat B,\,\left[\hat C,\,\hat A\right]\right]+\left[\hat C,\,\left[\hat A,\,\hat B\right]\right]=0$ から

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left[\hat A,\,\hat B\right]=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\Bigl(\left[\left[\hat A,\,\hat H\right],\,\hat B\right]+\left[\hat A,\,\left[\hat B,\,\hat H\right]\right]\Bigr)=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left[\left[\hat A,\,\hat B\right],\,\hat H\right]\tag{2.3.4}$$

となる。つまり交換子 $\left[\hat A,\,\hat B\right]$ もまた (E2) に従う。$\hat A=\hat q_i$、$\hat B=\hat p_j$ とおくと右辺は $\left[\mathrm{i}\hbar\delta_{ij},\,\hat H\right]=0$ なので、同時刻の交換関係 $\left[\hat q_i(t),\,\hat p_j(t)\right]=\mathrm{i}\hbar\delta_{ij}$ はすべての時刻で保たれる。

古典でも同じ計算で、Poisson 括弧の Jacobi 恒等式から $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\{A,B\}=\{\{A,B\},H\}$ が出て、$\{q_i(t),p_j(t)\}=\delta_{ij}$ が保たれる。これは時間発展の流れが正準変換であることの言い換えである（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第12章）。量子の時間発展 $\hat A\mapsto\hat A(t)$ は、和と積と交換子を保つ代数の写像（自己同型）で、正準変換の量子版になっている。

$\hat H$ が時刻によらないとき、(E2) を形式的に解くと Lie 級数

$$\hat A(t)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\Bigl(\frac{t}{\mathrm{i}\hbar}\Bigr)^n\underbrace{\left[\cdots\left[\left[\hat A,\,\hat H\right],\,\hat H\right]\cdots,\,\hat H\right]}_{n\text{ 個}}\tag{2.3.5}$$

が得られる。古典の $A(t)=\sum_n\frac{t^n}{n!}\{\cdots\{A,H\}\cdots,H\}$（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第11章）と同じ形である。級数を足し上げたものは $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\hat A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ と書けるが、この指数関数がユニタリ演算子として意味を持つには $\hat H$ の自己共役性が要る。その議論と、時間発展がユニタリ演算子で実現されることの証明は 第2部第6章で行う。

エネルギーの保存と Bohr の振動数条件

$\hat A=\hat H$ とおくと $\left[\hat H,\,\hat H\right]=0$ なので $\frac{\mathrm{d} \hat H}{\mathrm{d} t}=0$ である。エネルギーの保存は (E2) の形では1行で済む。Born と Jordan は (E1) の形から出発したので、上の定理 2.3.4 に当たる議論を経て、エネルギーの表が時間によらないこととBohr の振動数条件を導いた（同論文）。

振動数条件は次のように出る。$\hat H$ の固有状態の基底 $\{| n \rangle \}$（$\hat H| n \rangle =E_n| n \rangle$）を取り、物理量の行列要素 $A_{nm}(t)=\langle n | \hat A(t) | m \rangle$ に(E2) を当てると

$$\frac{\mathrm{d} A_{nm}}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\bigl(A_{nm}E_m-E_nA_{nm}\bigr)=\mathrm{i}\omega_{nm}A_{nm},\qquad A_{nm}(t)=A_{nm}(0)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{nm}t},\quad \omega_{nm}=\frac{E_n-E_m}{\hbar}\tag{2.3.6}$$

となる。これは 第2部第1章で Heisenberg が要請として置いた遷移の表の時間依存 $x_{nm}(t)=x_{nm}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{nm}t}$ そのものである。第1章では、表の各要素が Bohr の振動数で振動することを観測から要請した。この章の (E2) の側から見ると、それは $\hat H$ を対角にする基底で運動方程式を書いた結果になる。

保存量と対称性

時刻を陽に含まない物理量 $\hat G$ が保存する条件は、(E2) から $\left[\hat G,\,\hat H\right]=0$ である。古典の $\{G,H\}=0$ と同じく、この条件は「$\hat G$ で生成される変換で $\hat H$ が変わらない」とも読める。実際、$\hat G$ の生成する無限小変換 $\delta\hat A=\epsilon\left[\hat A,\,\hat G\right]/(\mathrm{i}\hbar)$（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第9章）を $\hat H$ に当てると $\delta\hat H=\epsilon\left[\hat H,\,\hat G\right]/(\mathrm{i}\hbar)=-\epsilon\,\frac{\mathrm{d} \hat G}{\mathrm{d} t}$ となるので、$\hat G$ の保存と、$\hat G$ による変換で $\hat H$ が不変であることは同値である。これが量子の Noether の定理の行列力学での形である。さらに、$\hat G_1$、$\hat G_2$ が保存すれば、式 (2.3.4) から $\left[\hat G_1,\,\hat G_2\right]/(\mathrm{i}\hbar)$ も保存する。古典の Poisson の定理（保存量の Poisson 括弧は保存量）の量子版である。

量子に特有なのは、保存量が互いに交換しないときに準位が縮退するという帰結である。

証明

すべての準位が縮退していないと仮定する。$\hat G_1$ は保存するので、式 (2.3.6) の $(G_1)_{nm}(t)=(G_1)_{nm}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{nm}t}$ が時間によらない。縮退が無ければ $n\neq m$ で $\omega_{nm}\neq0$ だから $(G_1)_{nm}=0$、すなわち $\hat G_1$ はエネルギーの基底で対角である。$\hat G_2$ も同じく対角で、対角行列どうしは交換するので $\left[\hat G_1,\,\hat G_2\right]=0$ となり、仮定に反する。

古典では、互いの Poisson 括弧が0でない保存量が多くあると、軌道が閉じる（Kepler 問題や等方調和振動子）。量子では同じ状況が準位の縮退として現れる。次の例題で、2次元の等方調和振動子の縮退度 $N+1$（前の章の総合問題で極座標から数えたもの）がこの命題の具体例であることを見る。