橋：射影の束と状態ベクトル（基準）

量子力学の様々な構成方法　第9部 第1章 §9.1.6　★★★ 基準から束へは閉部分空間の束として、束から基準へは Piron と Solèr の表現定理として架かる。共通例題②を命題の言葉で解く

基準から束へ：$\mathcal L(\mathcal{H})$ が持つ性質

9.1.3節と 9.1.4節で、基準のヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ から命題の束 $\mathcal L(\mathcal{H})$ を作り、それが完備な直交モジュラー束であることを示した。$\mathcal L(\mathcal{H})$ はさらに次の3つの性質を持つ。

1. (i) 原子的：$0$ でないどの命題 $M$ も、$0$ のすぐ上の元（原子＝1次元の部分空間、すなわち状態ベクトルの張る直線）を含み、$M$ はそれが含む原子の結びになる。
2. (ii) 覆う法則：原子 $p$ と命題 $M$ が $p\wedge M=0$ を満たすなら、$M$ と $M\vee p$ の間に別の命題は無い。
3. (iii) 既約：すべての命題と両立する（定理 9.1.9 の意味で）命題は $0$ と $\hat 1$ だけである。

(i) は、$M$ の正規直交基底の各ベクトルが原子で、それらの結びが $M$ になることによる。(ii) は次のように示せる。$p$ を $| \psi \rangle$ の張る直線とし、$| \psi \rangle \notin M$ とする。$| \phi \rangle =(\hat 1-\hat P_M)| \psi \rangle \neq0$ とおくと $M\vee p=M\oplus\operatorname{span}\{| \phi \rangle \}$（有限次元の部分空間を足しても閉じている）で、$M\subseteq N\subseteq M\vee p$ を満たす閉部分空間 $N$ は $N=M\oplus(N\cap M^\perp)$（定理 9.1.8）と書け、$N\cap M^\perp\subseteq\operatorname{span}\{| \phi \rangle \}$ は $\{0\}$ か $\operatorname{span}\{| \phi \rangle \}$ のどちらかなので、$N=M$ か $N=M\vee p$ になる。(iii) は、すべての射影と交換する射影が $\hat 1$ の定数倍の射影、すなわち $0$ か $\hat 1$ に限られることによる（任意の直線への射影と交換すれば、すべてのベクトルを固有ベクトルに持つ）。原子が状態ベクトルの直線に当たるので、(i) は「命題は、それが確実な純粋状態の集まりで決まる」ことを言い、(ii) は「純粋状態を1つ足すと、命題は1段だけ大きくなる」ことを言う。

束から基準へ：Piron と Solèr の表現定理

逆向きに、命題の束の性質だけからヒルベルト空間を作り直せるかを問う。答えは次の2つの定理で与えられる。証明はこの章では書かず、言明と前提だけを並べる。

（C. Piron (1964), Helvetica Physica Acta 37, 439–468。）ここで $V$ は直交モジュラー空間と呼ばれるもので、ヒルベルト空間とは限らない。体 $K$ を実数・複素数・四元数に絞るのが次の定理である。

（M. P. Solèr (1995), Communications in Algebra 23, 219–243。）2つの定理を合わせると、命題の束の性質 (i)〜(iii) と直交モジュラー律、それに無限個の直交する原子の条件から、基準の $\mathcal L(\mathcal{H})$ が体の3通りの選び方を除いて組み直せる。命題の束の言葉は、基準のヒルベルト空間とほぼ同じだけの情報を持っている。残る「なぜ実数でも四元数でもなく複素数か」は束の性質だけでは決まらず、合成系のテンソル積や連続的な時間発展の要請を足して答える。この問いは 第9部第5章 で扱う。

束の自己同型（順序と直交補を保つ全単射）が状態ベクトルの空間の何に当たるかも決まっている。$\dim\mathcal{H}\ge3$ では、原子（直線）の全単射で直交性を両向きに保つもの（$p\perp q\Leftrightarrow T(p)\perp T(q)$）は、ユニタリ演算子か反ユニタリ演算子で引き起こされる（U. Uhlhorn (1963), Arkiv för Fysik 23, 307–340）。これは Wigner の対称性の定理を、遷移確率の代わりに直交性だけで述べたものである。時間発展を束の自己同型の連続な1径数群と考えると、連続性から反ユニタリは除かれ、$\hat U(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ の形になる（Stone の定理）。

授業で習った形との対応

学部の量子力学の授業で書く式と、この章の束の言葉を並べると次のとおりである。

重ね合わせの行に注意する。束の言葉では、重ね合わせの係数 $c_1,c_2$ の比は「$p_1\vee p_2$ に入るどの原子か」として現れ、位相の情報は原子の選び方の中に入っている。

この章の結果が同値性の地図（第1部第1章）のどこに当たるかを書いておく。地図で第9部に架かる橋は、射影の束から Gleason の定理で密度行列へ渡る橋と、操作的な公理から複素ヒルベルト空間へ渡る橋の2本である。この章では、前者の出発点（射影の束）を基準から作り、その上の状態の一例として $\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P)$ を確かめた。逆向き（すべての状態が $\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P)$ の形）が Gleason の定理で、密度行列の構成（第4部第2章）へつながる。後者の橋のうち束の部分が上の Piron と Solèr の定理である。

共通例題②：Rabi 振動を命題の言葉で

2準位系 $\hat H=-\frac{\hbar\Delta}{2}\sigma_z-\frac{\hbar\Omega}{2}\sigma_x$（$\sigma_z| e \rangle =+| e \rangle$、$\Omega'=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2}$）で、命題 $e$＝「励起状態にある」の射影を $\hat P_e=| e \rangle \langle e |$ とする。時間発展は

$$\hat U(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}=\cos\frac{\Omega't}{2}\,\hat 1+\mathrm{i}\sin\frac{\Omega't}{2}\,\frac{\Delta\sigma_z+\Omega\sigma_x}{\Omega'}\tag{9.1.17}$$

である（$(\Delta\sigma_z+\Omega\sigma_x)^2=\Omega'^2\hat 1$ を使って指数関数を展開した）。Heisenberg 描像では命題が $\hat P_e(t)=\hat U(t)^\dagger\hat P_e\hat U(t)$ と動く。$\hat P_e(t)$ はやはり1次元の射影で、Bloch 球の上の向きが時間とともに回る原子である。状態 $\mu_g(\hat P)=\langle g | \hat P | g \rangle$ でのその値は

$$\mu_g\bigl(\hat P_e(t)\bigr)=\Bigl(\frac{\Omega}{\Omega'}\Bigr)^2\sin^2\frac{\Omega't}{2}\tag{9.1.18}$$

で、Schrödinger 描像で計算した Rabi 振動の式（共通例題②）と一致する。束の言葉では、Rabi 振動は「命題 $e$ が束の自己同型で動き、固定した状態 $\mu_g$ の上で値を変える」現象として書ける。