共通例題②の緩和：$T_1$・$T_2$ と熱浴

量子力学の様々な構成方法　第4部 第5章 §4.5.5　★★★ 2準位系に $\hat L=\sqrt\Gamma\sigma_-$ と位相緩和を足すと緩和つきの Bloch 方程式が出て、$T_1=1/\Gamma$、$1/T_2=1/(2T_1)+1/T_\phi$。完全正値性から $T_2\le2T_1$。熱浴の中では定常状態が Gibbs 状態になる

緩和つきの Bloch 方程式

共通例題②のハミルトニアン $\hat H=-\tfrac{\hbar\Delta}{2}\sigma_z-\tfrac{\hbar\Omega}{2}\sigma_x$（回転座標・回転波近似の後。第4部第1章）に、自然放出 $\hat L_1=\sqrt\Gamma\sigma_-$ と純粋な位相緩和 $\hat L_2=\sqrt{\gamma_\phi/2}\,\sigma_z$ を足した Lindblad 方程式を考える。

まず緩和の項だけを成分で書く。$\hat L_1$ については $\sigma_-\hat\rho\sigma_+=\rho_{ee}| g \rangle \langle g |$、$\sigma_+\sigma_-=| e \rangle \langle e |$ なので

$$\Gamma\Big(\sigma_-\hat\rho\sigma_+-\frac12\{| e \rangle \langle e |,\hat\rho\}_{+}\Big)=\Gamma\begin{pmatrix}-\rho_{ee}&-\tfrac12\rho_{eg}\\ -\tfrac12\rho_{ge}&\rho_{ee}\end{pmatrix}.$$

$\hat L_2$ については $\hat L_2^\dagger\hat L_2=\tfrac{\gamma_\phi}2\mathbf 1$ で、$\tfrac{\gamma_\phi}{2}(\sigma_z\hat\rho\sigma_z-\hat\rho)$ は対角成分を変えず、非対角成分に $-\gamma_\phi$ を掛ける。第4.5.4節の衝突模型の $\sqrt\kappa| \downarrow \rangle \langle \downarrow |$ は、$\gamma_\phi=\kappa/2$ と置いたこの形と同じ生成子を与える。Bloch ベクトル $r_z=\rho_{ee}-\rho_{gg}=2\rho_{ee}-1$、$r_x+\mathrm{i} r_y=2\rho_{ge}$ に直すと、$\frac{\mathrm{d} r_z}{\mathrm{d} t}=-\Gamma(r_z+1)$、横の成分は速さ $\Gamma/2+\gamma_\phi$ で減る。ハミルトニアンの部分は第4部第1章の回転 $\bm{h}\times\bm{r}$（$\bm{h}=(-\Omega,0,-\Delta)$）なので、合わせて

$$\frac{\mathrm{d} \bm{r}}{\mathrm{d} t}=\bm{h}\times\bm{r}-\Big(\frac{r_x}{T_2},\ \frac{r_y}{T_2},\ \frac{r_z+1}{T_1}\Big),\qquad T_1=\frac1\Gamma,\qquad \frac1{T_2}=\frac\Gamma2+\gamma_\phi=\frac1{2T_1}+\frac1{T_\phi}\tag{4.5.11}$$

を得る（$T_\phi=1/\gamma_\phi$）。これが緩和つきの Bloch 方程式で、自然放出だけなら $T_1=1/\Gamma$、$T_2=2/\Gamma$ である。$T_1$（縦緩和）はエネルギーが環境へ逃げる時間、$T_2$（横緩和）は重ね合わせの位相が失われる時間で、エネルギーを失えば位相も失われるので $1/T_2$ には必ず $1/(2T_1)$ が入る。

$\gamma_\phi\ge0$ なので $T_2\le2T_1$ が成り立つ。これは完全正値性の帰結である。仮に $T_2>2T_1$ の Bloch 方程式を書くと、$\gamma_\phi<0$ の「負の位相緩和」に当たり、初めの状態によっては、参照系ともつれた量子ビットに当てたとき全体の状態の固有値が負になる。$z$ 軸まわりに対称な一般の2準位の緩和についても、Gorini, Kossakowski, Sudarshan (1976) は完全正値性から緩和の速さの間の不等式を導いており、$T_2\le2T_1$ はその1つである。

駆動があるときの定常状態は、(4.5.11) の左辺を $0$ と置いて解ける。成分で $0=\Delta r_y-r_x/T_2$、$0=-\Delta r_x+\Omega r_z-r_y/T_2$、$0=-\Omega r_y-(r_z+1)/T_1$ で、はじめの2式から $r_y=\Omega T_2r_z/(1+\Delta^2T_2^2)$、3つ目に入れて

$$\rho_{ee}^{\mathrm{ss}}=\frac{1+r_z}{2}=\frac{\Omega^2T_1T_2/2}{1+\Delta^2T_2^2+\Omega^2T_1T_2}\ \xrightarrow{\ \gamma_\phi=0\ }\ \frac{\Omega^2/4}{\Delta^2+\Gamma^2/4+\Omega^2/2}\tag{4.5.12}$$

になる。強い駆動 $\Omega\to\infty$ でも $\rho_{ee}^{\mathrm{ss}}\to\tfrac12$ で止まり、2準位系は反転しない（飽和）。図 4.5.3 は共鳴 $\Delta=0$、$\Omega=10\Gamma$ で (4.5.7) を数値で解いたもので、Rabi 振動が減衰しながら $\rho_{ee}^{\mathrm{ss}}=25/50.25=0.4975$ へ落ち着く。$\Omega\gg\Gamma$ では振動の振幅が速さ $(1/T_1+1/T_2)/2=3\Gamma/4$ で減ることが、Bloch 方程式の生成子の固有値から確かめられる（回転の面 $y$–$z$ の2成分が $T_1$ と $T_2$ の平均の速さで減るため）。

$T_2$ と $T_2^*$：戻る減衰と戻らない減衰

第4部第1章の離調のばらついた集団では、各原子が純粋なまま回り、集団の $\lvert \bar{\bm{r}}\rvert$ だけが縮んだ。この減衰の時間を $T_2^*$ と書いて $T_2$ と区別する。2つの違いは Kraus 表示で見ると明らかになる。離調のばらつきは、各原子に確率 $g(\Delta)$ でユニタリ $\hat U_\Delta$ を当てる写像 $\hat\rho\mapsto\int g(\Delta)\hat U_\Delta\hat\rho\hat U_\Delta^\dagger\mathrm{d}\Delta$ で、「どの $\Delta$ だったか」の記録は原子ごとに固定された古典的な値として残っている。途中で全員を $x$ 軸まわりに $\pi$ 回すと $\hat U_\Delta$ の位相が反転してたどり直され、元に戻る（スピンエコー）。Lindblad 方程式の位相緩和では、衝突ごとに位相の情報が新しい環境の量子ビットへ移り、その量子ビットは2度と系に戻らない。系だけに何をしても、環境へ移った情報を取り戻すことはできない。実験では、エコーをかけて回復しない減衰の時間が $T_2$ で、$1/T_2^*=1/T_2+$（不均一な広がりの寄与）となるので $T_2^*\le T_2$ である。

熱浴の中の量子ビット

温度 $T$ の熱浴では、振動子の (4.5.8) と同じ形で、実験室の座標の $\hat H=\tfrac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_z$ に$\hat L_-=\sqrt{\Gamma(\bar n+1)}\sigma_-$、$\hat L_+=\sqrt{\Gamma\bar n}\sigma_+$、$\bar n=1/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega_0}-1)$ を付ける。$\Gamma(\bar n+1)$ は自然放出と誘導放出、$\Gamma\bar n$ は吸収の速さで、Einstein の係数の関係と同じ組み合わせである。占有の式は

$$\frac{\mathrm{d} \rho_{ee}}{\mathrm{d} t}=-\Gamma(\bar n+1)\rho_{ee}+\Gamma\bar n\rho_{gg}$$

で、定常状態は $\rho_{ee}/\rho_{gg}=\bar n/(\bar n+1)=\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_0}$、$P_e=\bar n/(2\bar n+1)$。これは第4部第4章の熱平衡の量子ビット（同じ章の KMS の例題の詳細つり合い）そのものである。縦の緩和は $T_1=1/[\Gamma(2\bar n+1)]$ に速くなり、横の成分は速さ $\Gamma(2\bar n+1)/2$ で減って $T_2=2T_1$ が保たれる。