量子力学の様々な構成方法 第6部 第3章 §6.3.5 ★★★ 1粒子の Rabi 振動は統計によらず、2粒子では干渉の符号が行列式（フェルミ）と permanent（ボース）に分かれる
1粒子の部分：Rabi 振動は統計を見ない
共通例題②の2準位系 H ^ = − ℏ Δ 2 σ z − ℏ Ω 2 σ x \hat H=-\frac{\hbar\Delta}{2}\sigma_z-\frac{\hbar\Omega}{2}\sigma_x H ^ = − 2 ℏΔ σ z − 2 ℏΩ σ x ∣ e ⟩ = ( 1 , 0 ) T | e \rangle =(1,0)^{\mathrm T} ∣ e ⟩ = ( 1 , 0 ) T ∣ g ⟩ = ( 0 , 1 ) T | g \rangle =(0,1)^{\mathrm T} ∣ g ⟩ = ( 0 , 1 ) T 第1部第2章 ）の2つの状態を、2つのモード（軌道）e , g e,g e , g b ^ e , b ^ g \hat b_e,\hat b_g b ^ e , b ^ g b ^ \hat b b ^ a ^ \hat a a ^ c ^ \hat c c ^
h = − ℏ 2 ( Δ Ω Ω − Δ ) (6.3.25) h=-\frac\hbar2\begin{pmatrix}\Delta&\Omega\\\Omega&-\Delta\end{pmatrix}\tag{6.3.25} h = − 2 ℏ ( Δ Ω Ω − Δ ) ( 6.3.25 )
を第2章の1体の演算子の規則で書き直すと
H ^ = ∑ i , j ∈ { e , g } h i j b ^ i † b ^ j = − ℏ Δ 2 ( n ^ e − n ^ g ) − ℏ Ω 2 ( b ^ e † b ^ g + b ^ g † b ^ e ) (6.3.26) \hat H=\sum_{i,j\in\{e,g\}}h_{ij}\hat b_i^\dagger\hat b_j=-\frac{\hbar\Delta}{2}\bigl(\hat n_e-\hat n_g\bigr)-\frac{\hbar\Omega}{2}\bigl(\hat b_e^\dagger\hat b_g+\hat b_g^\dagger\hat b_e\bigr)\tag{6.3.26} H ^ = i , j ∈ { e , g } ∑ h ij b ^ i † b ^ j = − 2 ℏΔ ( n ^ e − n ^ g ) − 2 ℏΩ ( b ^ e † b ^ g + b ^ g † b ^ e ) ( 6.3.26 )
になる（第6部第2章 の1体の演算子の書き換え）。粒子が1個の部分では、b ^ e † b ^ g \hat b_e^\dagger\hat b_g b ^ e † b ^ g ∣ g ⟩ | g \rangle ∣ g ⟩ ∣ e ⟩ | e \rangle ∣ e ⟩ σ + = ∣ e ⟩ ⟨ g ∣ \sigma_+=| e \rangle \langle g | σ + = ∣ e ⟩ ⟨ g ∣ n ^ e − n ^ g \hat n_e-\hat n_g n ^ e − n ^ g σ z \sigma_z σ z (6.3.26) はもとの H ^ \hat H H ^ Δ \Delta Δ 6.3.17 の対の強さとは別の量である。
運動方程式は (6.3.16) から、どちらの統計でも
b ^ e ( t ) = U e e ( t ) b ^ e + U e g ( t ) b ^ g , U ( t ) = e − i h t / ℏ = cos Ω ′ t 2 + i sin Ω ′ t 2 n ⋅ σ \hat b_e(t)=U_{ee}(t)\hat b_e+U_{eg}(t)\hat b_g,\qquad U(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ht/\hbar}=\cos\frac{\Omega't}{2}+\mathrm{i}\sin\frac{\Omega't}{2}\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma} b ^ e ( t ) = U ee ( t ) b ^ e + U e g ( t ) b ^ g , U ( t ) = e − i h t /ℏ = cos 2 Ω ′ t + i sin 2 Ω ′ t n ⋅ σ
である（Ω ′ = Ω 2 + Δ 2 \Omega'=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2} Ω ′ = Ω 2 + Δ 2 n = ( Ω , 0 , Δ ) / Ω ′ \bm{n}=(\Omega,0,\Delta)/\Omega' n = ( Ω , 0 , Δ ) / Ω ′ U U U g g g b ^ g † ∣ 0 ⟩ \hat b_g^\dagger| 0 \rangle b ^ g † ∣0 ⟩ b ^ e ( t ) b ^ g † ∣ 0 ⟩ = U e g ( t ) ∣ 0 ⟩ \hat b_e(t)\hat b_g^\dagger| 0 \rangle =U_{eg}(t)| 0 \rangle b ^ e ( t ) b ^ g † ∣0 ⟩ = U e g ( t ) ∣0 ⟩
P e ( t ) = ⟨ 0 ∣ b ^ g b ^ e † ( t ) b ^ e ( t ) b ^ g † ∣ 0 ⟩ = ∣ U e g ( t ) ∣ 2 = ( Ω Ω ′ ) 2 sin 2 Ω ′ t 2 (6.3.27) P_e(t)=\langle 0 | \hat b_g\,\hat b_e^\dagger(t)\hat b_e(t)\,\hat b_g^\dagger | 0 \rangle =\lvert U_{eg}(t)\rvert ^2=\Bigl(\frac{\Omega}{\Omega'}\Bigr)^2\sin^2\frac{\Omega't}{2}\tag{6.3.27} P e ( t ) = ⟨ 0∣ b ^ g b ^ e † ( t ) b ^ e ( t ) b ^ g † ∣0 ⟩ = ∣ U e g ( t ) ∣ 2 = ( Ω ′ Ω ) 2 sin 2 2 Ω ′ t ( 6.3.27 )
を得る。共通例題②の正答と同じ形で、計算のどこにも交換関係と反交換関係の区別が入らなかった。粒子が1個なら、2つの統計から同じ1粒子の量子力学が出る（第1章の「粒子1個の部分は基準とユニタリ同値」の、2つの統計に共通の形）。
2粒子の部分：統計が見える
粒子を2個入れる。Schrödinger 描像で生成演算子は e − i H ^ t / ℏ b ^ j † e i H ^ t / ℏ = ∑ i U i j ( t ) b ^ i † \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\hat b_j^\dagger\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}=\sum_iU_{ij}(t)\hat b_i^\dagger e − i H ^ t /ℏ b ^ j † e i H ^ t /ℏ = ∑ i U ij ( t ) b ^ i † b ^ e † b ^ g † ∣ 0 ⟩ \hat b_e^\dagger\hat b_g^\dagger| 0 \rangle b ^ e † b ^ g † ∣0 ⟩
e − i H ^ t / ℏ b ^ e † b ^ g † ∣ 0 ⟩ = ∑ i , j U i e U j g b ^ i † b ^ j † ∣ 0 ⟩ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\hat b_e^\dagger\hat b_g^\dagger| 0 \rangle =\sum_{i,j}U_{ie}U_{jg}\,\hat b_i^\dagger\hat b_j^\dagger| 0 \rangle e − i H ^ t /ℏ b ^ e † b ^ g † ∣0 ⟩ = i , j ∑ U i e U j g b ^ i † b ^ j † ∣0 ⟩
になる。右辺のうち b ^ e † b ^ g † ∣ 0 ⟩ \hat b_e^\dagger\hat b_g^\dagger| 0 \rangle b ^ e † b ^ g † ∣0 ⟩ ( i , j ) = ( e , g ) (i,j)=(e,g) ( i , j ) = ( e , g ) ( g , e ) (g,e) ( g , e ) b ^ g † b ^ e † = ± b ^ e † b ^ g † \hat b_g^\dagger\hat b_e^\dagger=\pm\hat b_e^\dagger\hat b_g^\dagger b ^ g † b ^ e † = ± b ^ e † b ^ g †
1個ずつ残る振幅 = U e e U g g ± U g e U e g = { perm U ( ボース粒子 ) det U ( フェルミ粒子 ) (6.3.28) \text{1個ずつ残る振幅}=U_{ee}U_{gg}\pm U_{ge}U_{eg}=
\begin{cases}\operatorname{perm}U&(\text{ボース粒子})\\ \det U&(\text{フェルミ粒子})\end{cases}\tag{6.3.28} 1 個ずつ残る振幅 = U ee U g g ± U g e U e g = { perm U det U ( ボース粒子 ) ( フェルミ粒子 ) ( 6.3.28 )
になる。perm U \operatorname{perm}U perm U + + + e → g e\to g e → g g → e g\to e g → e ± \pm ± ∣ U e e U g g ∣ 2 + ∣ U g e U e g ∣ 2 \lvert U_{ee}U_{gg}\rvert ^2+\lvert U_{ge}U_{eg}\rvert ^2 ∣ U ee U g g ∣ 2 + ∣ U g e U e g ∣ 2
フェルミ粒子では、2つの軌道に2個入ると空いている所が無いので、状態は c ^ e † c ^ g † ∣ 0 ⟩ \hat c_e^\dagger\hat c_g^\dagger| 0 \rangle c ^ e † c ^ g † ∣0 ⟩ det U = e − i t Tr h / ℏ = 1 \det U=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t\operatorname{Tr} h/\hbar}=1 det U = e − i t Tr h /ℏ = 1 Tr h = 0 \operatorname{Tr} h=0 Tr h = 0 g g g g g g ( a ^ g † ) 2 ∣ 0 ⟩ / 2 (\hat a_g^\dagger)^2| 0 \rangle /\sqrt2 ( a ^ g † ) 2 ∣0 ⟩ / 2 e e e U e g 2 U_{eg}^2 U e g 2 P e 2 P_e^2 P e 2
例題 6.3.5 50:50 の結合と、2つの統計の同時計数 ★★★
オリジナル 共鳴（Δ = 0 \Delta=0 Δ = 0 Ω t = π / 2 \Omega t=\pi/2 Ω t = π /2 e , g e,g e , g
(1) U U U P e P_e P e (2) e e e g g g (3) ボース粒子で、2個とも e e e g g g
解答 (1) n = ( 1 , 0 , 0 ) \bm{n}=(1,0,0) n = ( 1 , 0 , 0 ) Ω ′ t / 2 = π / 4 \Omega't/2=\pi/4 Ω ′ t /2 = π /4
U = cos π 4 + i sin π 4 σ x = 1 2 ( 1 i i 1 ) U=\cos\frac\pi4+\mathrm{i}\sin\frac\pi4\,\sigma_x=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&\mathrm{i}\\\mathrm{i}&1\end{pmatrix} U = cos 4 π + i sin 4 π σ x = 2 1 ( 1 i i 1 )
で、P e = ∣ U e g ∣ 2 = 1 2 P_e=\lvert U_{eg}\rvert ^2=\frac12 P e = ∣ U e g ∣ 2 = 2 1
(2) (6.3.28) から、ボース粒子は perm U = 1 2 + i ⋅ i 2 = 0 \operatorname{perm}U=\frac12+\frac{\mathrm{i}\cdot\mathrm{i}}{2}=0 perm U = 2 1 + 2 i ⋅ i = 0 det U = 1 2 − i ⋅ i 2 = 1 \det U=\frac12-\frac{\mathrm{i}\cdot\mathrm{i}}{2}=1 det U = 2 1 − 2 i ⋅ i = 1 ∣ 1 2 ∣ 2 + ∣ i ⋅ i 2 ∣ 2 = 1 2 \lvert \frac12\rvert ^2+\lvert \frac{\mathrm{i}\cdot\mathrm{i}}{2}\rvert ^2=\frac12 ∣ 2 1 ∣ 2 + ∣ 2 i ⋅ i ∣ 2 = 2 1 1 2 \frac12 2 1 − 1 2 -\frac12 − 2 1 59 , 2044）で、光の巻 光学と量子エレクトロニクス 第33章 が波束の重なりまで含めて扱う。
(3) 2個とも e e e ∑ i = j = e U e e U e g ( a ^ e † ) 2 ∣ 0 ⟩ = U e e U e g 2 ∣ 2 , 0 ⟩ \sum_{i=j=e}U_{ee}U_{eg}(\hat a_e^\dagger)^2| 0 \rangle =U_{ee}U_{eg}\sqrt2| 2,0 \rangle ∑ i = j = e U ee U e g ( a ^ e † ) 2 ∣0 ⟩ = U ee U e g 2 ∣2 , 0 ⟩ 2 ∣ U e e U e g ∣ 2 = 2 ⋅ 1 4 = 1 2 2\lvert U_{ee}U_{eg}\rvert ^2=2\cdot\frac14=\frac12 2 ∣ U ee U e g ∣ 2 = 2 ⋅ 4 1 = 2 1 g g g 1 2 \frac12 2 1 verify_ch6-03.py で、Fock 空間の行列 e − i H ^ t / ℏ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} e − i H ^ t /ℏ Δ ≠ 0 \Delta\neq0 Δ = 0 P e ( t ) P_e(t) P e ( t ) (6.3.27) に一致することを確かめた。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
