運動方程式と Bogoliubov 変換：双曲線関数と三角関数

量子力学の様々な構成方法　第6部 第3章 §6.3.4　★★ 双一次の演算子の交換子はどちらの統計でも同じ形で閉じるが、対の項が入ると運動方程式の行列の符号が1か所変わり、ボース粒子は $\sqrt{\varepsilon ^2-\Delta^2}$、フェルミ粒子は $\sqrt{\varepsilon ^2+\Delta^2}$ になる

双一次の演算子と運動方程式

演算子の積の交換子は、2通りの恒等式

$$\left[\hat A\hat B,\,\hat C\right]=\hat A\left[\hat B,\,\hat C\right]+\left[\hat A,\,\hat C\right]\hat B=\hat A\{\hat B,\hat C\}_{+}-\{\hat A,\hat C\}_{+}\hat B\tag{6.3.14}$$

で計算できる（右の形は、展開すると $\hat A\hat B\hat C+\hat A\hat C\hat B-\hat A\hat C\hat B-\hat C\hat A\hat B$ で左辺と一致する）。ボース粒子では左の形、フェルミ粒子では右の形を使うと、どちらでも

$$\left[\hat c_i,\,\hat c_j^\dagger\hat c_k\right]=\delta_{ij}\hat c_k,\qquad \left[\hat a_i,\,\hat a_j^\dagger\hat a_k\right]=\delta_{ij}\hat a_k\tag{6.3.15}$$

になる。粒子数を保つ2次のハミルトニアン $\hat H=\sum_{jk}h_{jk}\hat c_j^\dagger\hat c_k$ の Heisenberg 方程式は、どちらの統計でも

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d} \hat c_i}{\mathrm{d} t}=\left[\hat c_i,\,\hat H\right]=\sum_kh_{ik}\hat c_k\tag{6.3.16}$$

で、1粒子の Schrödinger 方程式と同じ線形の方程式になる（第1章の場の Heisenberg 方程式 $\mathrm{i}\hbar\partial_t\hat\psi=h\hat\psi$ と同じ式。第6部第1章）。解は $\hat c_i(t)=\sum_kU_{ik}(t)\hat c_k$、$U(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ht/\hbar}$ で、統計は運動方程式に現れない。統計が現れるのは、この解を状態に当てて期待値をとるときである。これを 6.3.5 節で使う。

対を作る項

粒子数を保たない2次の項、つまり2個を同時に作る $\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger$ と2個を同時に消す $\hat c_2\hat c_1$ を入れると、統計の違いが運動方程式に現れる。1つのモードの中で対を作る項 $\hat c^\dagger\hat c^\dagger$ は $\hat c^2=0$ から0なので、フェルミ粒子の対には2つのモードが要る。2つのモードの模型

$$\hat H_{\mathrm F}=\varepsilon \bigl(\hat c_1^\dagger\hat c_1+\hat c_2^\dagger\hat c_2\bigr)+\Delta\bigl(\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger+\hat c_2\hat c_1\bigr),\qquad \hat H_{\mathrm B}=\varepsilon \bigl(\hat a_1^\dagger\hat a_1+\hat a_2^\dagger\hat a_2\bigr)+\Delta\bigl(\hat a_1^\dagger\hat a_2^\dagger+\hat a_2\hat a_1\bigr)\tag{6.3.17}$$

を比べる（$\varepsilon >0$、$\Delta>0$ は実数。この $\Delta$ は対の強さで、共通例題②の離調ではない）。フェルミ粒子の形は、超伝導の BCS 理論で波数 $\bm{k}$ の上向きスピンと $-\bm{k}$ の下向きスピンの電子を対にする平均場のハミルトニアンの、1組の $\bm{k}$ の部分である（ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第5部第4章）。ボース粒子の形は、光の2モードのスクイーズ（パラメトリック増幅）のハミルトニアンと同じ形である（光学と量子エレクトロニクス 第33章）。

(6.3.14) で交換子を計算すると、フェルミ粒子では

$$\left[\hat c_1,\,\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger\right]=\{\hat c_1,\hat c_1^\dagger\}_{+}\hat c_2^\dagger-\hat c_1^\dagger\{\hat c_1,\hat c_2^\dagger\}_{+}=\hat c_2^\dagger,\qquad \left[\hat c_2^\dagger,\,\hat c_2\hat c_1\right]=\hat c_1$$

で（$\hat c_1$ と $\hat c_2\hat c_1$、$\hat c_2^\dagger$ と $\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger$ は交換する）、

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\begin{pmatrix}\hat c_1\\\hat c_2^\dagger\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\varepsilon &\Delta\\\Delta&-\varepsilon \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\hat c_1\\\hat c_2^\dagger\end{pmatrix}\tag{6.3.18}$$

になる。ボース粒子では $\left[\hat a_2^\dagger,\,\hat a_2\hat a_1\right]=-\hat a_1$ と符号が変わり、

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\begin{pmatrix}\hat a_1\\\hat a_2^\dagger\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\varepsilon &\Delta\\-\Delta&-\varepsilon \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\hat a_1\\\hat a_2^\dagger\end{pmatrix}\tag{6.3.19}$$

になる。違いは左下の成分の符号1つである。$\left[\hat a_2^\dagger,\,\hat a_2\right]=-1$ に対して $\{\hat c_2^\dagger,\hat c_2\}_{+}=+1$ で、生成演算子と消滅演算子の順を入れ替えたときの符号の違いがそのまま現れている。固有値は、フェルミ粒子の行列がエルミートなので実数の $\pm E_{\mathrm F}$、ボース粒子の行列はエルミートでないので

$$E_{\mathrm F}=\sqrt{\varepsilon ^2+\Delta^2},\qquad E_{\mathrm B}=\sqrt{\varepsilon ^2-\Delta^2}\tag{6.3.20}$$

である。$\Delta>\varepsilon$ ではボース粒子の固有値は純虚数 $\pm\mathrm{i}\sqrt{\Delta^2-\varepsilon ^2}$ になり、演算子が時間とともに指数関数的に大きくなる。これは $\hat H_{\mathrm B}$ が下に有界でなくなり、対を作るほどエネルギーが下がる不安定に当たる。フェルミ粒子では、各モードに1個しか入らないので対を作り続けることができず、どの $\Delta$ でも安定である。

Bogoliubov 変換

固有ベクトルから新しい消滅演算子を作る。フェルミ粒子では

$$\hat\gamma_1=u\hat c_1+v\hat c_2^\dagger,\quad \hat\gamma_2=u\hat c_2-v\hat c_1^\dagger,\qquad u^2=\frac12\Bigl(1+\frac{\varepsilon }{E_{\mathrm F}}\Bigr),\ v^2=\frac12\Bigl(1-\frac{\varepsilon }{E_{\mathrm F}}\Bigr),\ uv=\frac{\Delta}{2E_{\mathrm F}}\tag{6.3.21}$$

で、ボース粒子では

$$\hat\alpha_1=u\hat a_1-v\hat a_2^\dagger,\quad \hat\alpha_2=u\hat a_2-v\hat a_1^\dagger,\qquad u^2=\frac12\Bigl(\frac{\varepsilon }{E_{\mathrm B}}+1\Bigr),\ v^2=\frac12\Bigl(\frac{\varepsilon }{E_{\mathrm B}}-1\Bigr),\ uv=-\frac{\Delta}{2E_{\mathrm B}}\tag{6.3.22}$$

である。係数の組 $(u,v)$（フェルミ粒子）と $(u,-v)$（ボース粒子）は、(6.3.18)・(6.3.19) の行列の固有値 $+E$ の左固有ベクトルで、$\mathrm{i}\hbar\dot{\hat\gamma}_1=E_{\mathrm F}\hat\gamma_1$、$\mathrm{i}\hbar\dot{\hat\alpha}_1=E_{\mathrm B}\hat\alpha_1$ を満たす（$\hat\gamma_2$・$\hat\alpha_2$ も、$(\hat c_2,\hat c_1^\dagger)$ の運動方程式から同じように出る）。新しい演算子がもとの代数を保つ条件は

$$\{\hat\gamma_1,\hat\gamma_1^\dagger\}_{+}=u^2+v^2=1,\qquad \left[\hat\alpha_1,\,\hat\alpha_1^\dagger\right]=u^2-v^2=1\tag{6.3.23}$$

である。フェルミ粒子では $u=\cos\theta$、$v=\sin\theta$ と円の上に、ボース粒子では $u=\cosh r$、$v=-\sinh r$ と双曲線の上に乗る。異なる番号どうしの関係（$\{\hat\gamma_1,\hat\gamma_2\}_{+}=uv-vu=0$ など）も同じ計算で確かめられる。

逆に解いた $\hat c_1=u\hat\gamma_1-v\hat\gamma_2^\dagger$、$\hat c_2=u\hat\gamma_2+v\hat\gamma_1^\dagger$ を $\hat H_{\mathrm F}$ に入れ、新しい真空（$\hat\gamma_1,\hat\gamma_2$ で消える状態）での期待値をとると$\langle \hat c_1^\dagger\hat c_1 \rangle =\langle \hat c_2^\dagger\hat c_2 \rangle =v^2$、$\langle \hat c_2\hat c_1 \rangle =\langle \hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger \rangle =-uv$ なので、基底エネルギーは

$$E_0^{\mathrm F}=2\varepsilon v^2-2\Delta uv=\varepsilon -E_{\mathrm F},\qquad E_0^{\mathrm B}=2\varepsilon v^2+2\Delta uv=E_{\mathrm B}-\varepsilon\tag{6.3.24}$$

である（ボース粒子も同じ計算で $\langle \hat a_2\hat a_1 \rangle =uv$）。どちらも

$$\hat H_{\mathrm F}=E_{\mathrm F}\bigl(\hat\gamma_1^\dagger\hat\gamma_1+\hat\gamma_2^\dagger\hat\gamma_2\bigr)+\varepsilon -E_{\mathrm F},\qquad \hat H_{\mathrm B}=E_{\mathrm B}\bigl(\hat\alpha_1^\dagger\hat\alpha_1+\hat\alpha_2^\dagger\hat\alpha_2\bigr)+E_{\mathrm B}-\varepsilon$$

と、独立な2つの振動子に書き直せる。フェルミ粒子では定数をトレースからも確かめられる。4つの状態の上の $\operatorname{Tr}\hat H_{\mathrm F}=\varepsilon \operatorname{Tr}(\hat n_1+\hat n_2)=4\varepsilon$ と、右辺の $\operatorname{Tr}=4E_{\mathrm F}+4(\varepsilon -E_{\mathrm F})=4\varepsilon$ が一致する。ボース粒子では状態が無限個あってトレースが発散するので、この確かめ方は使えない。