共通例題①：熱平衡の振動子の2つのアンサンブル

量子力学の様々な構成方法　第4部 第3章 §4.3.5　★★★ 調和振動子の熱平衡は、止まっているエネルギー固有状態の Boltzmann 混合とも、古典の軌道どおりに振動するコヒーレント状態の Gauss 混合とも書ける。どちらで計算しても共通例題①の答えが同じ形で出る

共通例題①の調和振動子 $\hat H=\hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a+\tfrac12)$ の熱平衡 $\hat\rho_\beta=\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z$ を、2つのアンサンブルで書く。$\hat\rho_\beta$ の導出と熱力学量は第4部第4章（第4部第4章）で扱うので、ここではアンサンブルとしての読み方の違いに絞る。以下 $x\coloneqq\beta\hbar\omega$、$\bar n\coloneqq1/(\mathrm{e}^x-1)$ と書く。

エネルギー固有状態のアンサンブル

$\hat H$ の固有状態 $| n \rangle$（$E_n=\hbar\omega(n+\tfrac12)$）で $\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ は対角なので、固有アンサンブルは

$$\hat\rho_\beta=\sum_{n=0}^\infty p_n| n \rangle \langle n |,\qquad p_n=\frac{\mathrm{e}^{-x(n+1/2)}}{Z}=(1-\mathrm{e}^{-x})\,\mathrm{e}^{-nx},\qquad Z=\frac{1}{2\sinh(x/2)}\tag{4.3.16}$$

である（$Z=\sum_n\mathrm{e}^{-x(n+1/2)}=\mathrm{e}^{-x/2}/(1-\mathrm{e}^{-x})=1/(2\sinh(x/2))$）。$p_n$ は公比 $\mathrm{e}^{-x}$ の幾何分布で、$\mathrm{e}^{-x}=\bar n/(\bar n+1)$ を使うと$p_n=\bar n^n/(\bar n+1)^{n+1}$、平均は $\langle n \rangle =\sum_nnp_n=\bar n=1/(\mathrm{e}^x-1)$ となり、共通例題①の正答の形がそろう。このアンサンブルの各要素は定常状態で、どの物理量の期待値も時間に依存しない。「振動子は確率 $p_n$ でどれかの準位に止まっている」という読み方である。

コヒーレント状態のアンサンブル

コヒーレント状態 $| \alpha \rangle =\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/2}\sum_n\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}| n \rangle$（$\hat a| \alpha \rangle =\alpha| \alpha \rangle$。光学と量子エレクトロニクス 第31章）を、複素平面上の Gauss 分布

$$P(\alpha)=\frac{1}{\pi\bar n}\,\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/\bar n},\qquad \int P(\alpha)\,\mathrm{d}^2\alpha=1\quad(\mathrm{d}^2\alpha=\mathrm{d}\operatorname{Re}\alpha\,\mathrm{d}\operatorname{Im}\alpha)\tag{4.3.17}$$

で混ぜる。$P\ge0$ なので、これは連続無限個の要素を持つアンサンブルである。混ぜた結果の行列要素は

$$\langle n | \Big(\int P(\alpha)| \alpha \rangle \langle \alpha |\mathrm{d}^2\alpha\Big) | m \rangle =\int P(\alpha)\,\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2}\frac{\alpha^n\alpha^{*m}}{\sqrt{n!\,m!}}\,\mathrm{d}^2\alpha .$$

$\alpha=s\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ と極座標にすると、$\alpha^n\alpha^{*m}=s^{n+m}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(n-m)\theta}$ の $\theta$ の積分で $n\ne m$ の項は消える。$n=m$ では $u=s^2$（$\mathrm{d}^2\alpha=s\,\mathrm{d} s\,\mathrm{d}\theta=\tfrac12\mathrm{d} u\,\mathrm{d}\theta$）として

$$\frac{2\pi}{\pi\bar n\,n!}\cdot\frac12\int_0^\infty\mathrm{e}^{-u(1+1/\bar n)}u^n\,\mathrm{d} u=\frac{1}{\bar n\,n!}\cdot\frac{n!}{(1+1/\bar n)^{n+1}}=\frac{\bar n^n}{(\bar n+1)^{n+1}}\tag{4.3.18}$$

となる。これは (4.3.16) の $p_n$ と同じなので、

$$\int P(\alpha)| \alpha \rangle \langle \alpha |\,\mathrm{d}^2\alpha=\sum_np_n| n \rangle \langle n |=\hat\rho_\beta .\tag{4.3.19}$$

コヒーレント状態 $| \alpha \rangle$ は時間発展で $| \alpha\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} \rangle$ に移り（全体の位相を除く）、位置の期待値は$\langle \hat x \rangle (t)=\sqrt{2\hbar/(m\omega)}\,\lvert \alpha\rvert \cos(\omega t-\arg\alpha)$ と古典の振動子の軌道どおりに振動する。このアンサンブルは「振動子は振幅 $\lvert \alpha\rvert$ と位相 $\arg\alpha$ の古典的な振動をしていて、振幅は Gauss 分布、位相は一様に分布している」と読める。各要素は振動しているのに、位相が一様に分布しているので平均の $\langle \hat x \rangle (t)$ は $0$ で、$\hat\rho_\beta$ は定常である。2つの読み方は、要素が止まっているか動いているかで正反対だが、(4.3.19) により同じ $\hat\rho_\beta$ を与え、前節までの結果からどの測定でも区別できない。