量子力学の様々な構成方法 第4部 第3章 §4.3.4 ★★★ どのアンサンブルを作ったかは、記録を受け取らない限り手元の測定に現れない。もし現れれば、浄化の相手の測定の選び方で光より速く信号が送れる。量子力学の線形性がこれを防いでいる
遠くの操作で ρ ^ A \hat\rho_{\mathrm A} ρ ^ A
前節の設定で、R の側の人が「σ z \sigma_z σ z σ x \sigma_x σ x ∑ i q i ρ ^ A ∣ i = ρ ^ A \sum_iq_i\hat\rho_{\mathrm A|i}=\hat\rho_{\mathrm A} ∑ i q i ρ ^ A ∣ i = ρ ^ A ρ ^ ↦ ∑ a ( 1 ⊗ K ^ a ) ρ ^ ( 1 ⊗ K ^ a † ) \hat\rho\mapsto\sum_a(\mathbf 1\otimes\hat K_a)\hat\rho(\mathbf 1\otimes\hat K_a^\dagger) ρ ^ ↦ ∑ a ( 1 ⊗ K ^ a ) ρ ^ ( 1 ⊗ K ^ a † ) ∑ a K ^ a † K ^ a = 1 \sum_a\hat K_a^\dagger\hat K_a=\mathbf 1 ∑ a K ^ a † K ^ a = 1 Tr R [ ( 1 ⊗ K ^ a ) X ( 1 ⊗ K ^ a † ) ] = Tr R [ ( 1 ⊗ K ^ a † K ^ a ) X ] \operatorname{Tr}_{\mathrm R}[(\mathbf 1\otimes\hat K_a)X(\mathbf 1\otimes\hat K_a^\dagger)]=\operatorname{Tr}_{\mathrm R}[(\mathbf 1\otimes\hat K_a^\dagger\hat K_a)X] Tr R [( 1 ⊗ K ^ a ) X ( 1 ⊗ K ^ a † )] = Tr R [( 1 ⊗ K ^ a † K ^ a ) X ] a a a
Tr R [ ∑ a ( 1 ⊗ K ^ a ) ρ ^ A R ( 1 ⊗ K ^ a † ) ] = Tr R ρ ^ A R = ρ ^ A (4.3.14) \operatorname{Tr}_{\mathrm R}\Big[\sum_a(\mathbf 1\otimes\hat K_a)\hat\rho_{\mathrm{AR}}(\mathbf 1\otimes\hat K_a^\dagger)\Big]=\operatorname{Tr}_{\mathrm R}\hat\rho_{\mathrm{AR}}=\hat\rho_{\mathrm A}\tag{4.3.14} Tr R [ a ∑ ( 1 ⊗ K ^ a ) ρ ^ AR ( 1 ⊗ K ^ a † ) ] = Tr R ρ ^ AR = ρ ^ A ( 4.3.14 )
となる。第4部第1章の要請 (D2) により A の測定の統計は ρ ^ A \hat\rho_{\mathrm A} ρ ^ A 信号を送れないこと （no-signaling）で、第1部第2章（第1部第2章 ）で射影測定について確かめた周辺確率の式の、一般の操作への拡張である。
この結論を A の側から言い直すと、アンサンブルの違いが観測できないことになる。R が σ z \sigma_z σ z ∣ ↑ ⟩ | \uparrow \rangle ∣ ↑ ⟩ ∣ ↓ ⟩ | \downarrow \rangle ∣ ↓ ⟩ σ x \sigma_x σ x ∣ + ⟩ | + \rangle ∣ + ⟩ ∣ − ⟩ | - \rangle ∣ − ⟩
記録まで含めれば、アンサンブルは状態の一部になる
記録の役割を式にしておく。結果 i i i ∣ i ⟩ X | i \rangle _{\mathrm X} ∣ i ⟩ X { p i , ∣ ψ i ⟩ } \{p_i,| \psi_i \rangle \} { p i , ∣ ψ i ⟩}
ρ ^ A X = ∑ i p i ∣ ψ i ⟩ ⟨ ψ i ∣ ⊗ ∣ i ⟩ ⟨ i ∣ X (4.3.15) \hat\rho_{\mathrm{AX}}=\sum_ip_i| \psi_i \rangle \langle \psi_i |\otimes| i \rangle \langle i |_{\mathrm X}\tag{4.3.15} ρ ^ AX = i ∑ p i ∣ ψ i ⟩ ⟨ ψ i ∣ ⊗ ∣ i ⟩ ⟨ i ∣ X ( 4.3.15 )
という A と X の合成系の1つの密度演算子になる。同じ ρ ^ A \hat\rho_{\mathrm A} ρ ^ A ρ ^ A X \hat\rho_{\mathrm{AX}} ρ ^ AX Tr X \operatorname{Tr}_{\mathrm X} Tr X アンサンブルは記録と一緒に持っているときに限って物理的な意味を持ち、記録を捨てた系の状態としては ρ ^ A \hat\rho_{\mathrm A} ρ ^ A 。要請 (D1) が状態を ρ ^ \hat\rho ρ ^
線形性が崩れると何が起きるか
アンサンブルの違いが手元の測定に現れない根拠は、時間発展と測定がどちらも ρ ^ \hat\rho ρ ^
1つ目は複製 である。未知の純粋状態 ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ ∣ ψ ⟩ ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ ∣ ψ ⟩ ∣ ↑ ⟩ , ∣ ↓ ⟩ | \uparrow \rangle ,| \downarrow \rangle ∣ ↑ ⟩ , ∣ ↓ ⟩ ∣ ↑ ⟩ ∣ ↑ ⟩ | \uparrow \rangle | \uparrow \rangle ∣ ↑ ⟩ ∣ ↑ ⟩ ∣ ↓ ⟩ ∣ ↓ ⟩ | \downarrow \rangle | \downarrow \rangle ∣ ↓ ⟩ ∣ ↓ ⟩ ∣ + ⟩ , ∣ − ⟩ | + \rangle ,| - \rangle ∣ + ⟩ , ∣ − ⟩ ∣ + ⟩ ∣ + ⟩ | + \rangle | + \rangle ∣ + ⟩ ∣ + ⟩ ∣ − ⟩ ∣ − ⟩ | - \rangle | - \rangle ∣ − ⟩ ∣ − ⟩ 4.3.4 ）。すると R の側の人は測定の選び方で A の側の統計を変えられ、光より速い通信になる。このような装置は線形な時間発展では作れない。∣ ↑ ⟩ ∣ 0 ⟩ ↦ ∣ ↑ ⟩ ∣ ↑ ⟩ | \uparrow \rangle | 0 \rangle \mapsto| \uparrow \rangle | \uparrow \rangle ∣ ↑ ⟩ ∣0 ⟩ ↦ ∣ ↑ ⟩ ∣ ↑ ⟩ ∣ ↓ ⟩ ∣ 0 ⟩ ↦ ∣ ↓ ⟩ ∣ ↓ ⟩ | \downarrow \rangle | 0 \rangle \mapsto| \downarrow \rangle | \downarrow \rangle ∣ ↓ ⟩ ∣0 ⟩ ↦ ∣ ↓ ⟩ ∣ ↓ ⟩ U ^ \hat U U ^ ∣ + ⟩ ∣ 0 ⟩ = 1 2 ( ∣ ↑ ⟩ + ∣ ↓ ⟩ ) ∣ 0 ⟩ | + \rangle | 0 \rangle =\tfrac1{\sqrt2}(| \uparrow \rangle +| \downarrow \rangle )| 0 \rangle ∣ + ⟩ ∣0 ⟩ = 2 1 ( ∣ ↑ ⟩ + ∣ ↓ ⟩) ∣0 ⟩ 1 2 ( ∣ ↑ ⟩ ∣ ↑ ⟩ + ∣ ↓ ⟩ ∣ ↓ ⟩ ) \tfrac1{\sqrt2}(| \uparrow \rangle | \uparrow \rangle +| \downarrow \rangle | \downarrow \rangle ) 2 1 ( ∣ ↑ ⟩ ∣ ↑ ⟩ + ∣ ↓ ⟩ ∣ ↓ ⟩) ∣ + ⟩ ∣ + ⟩ | + \rangle | + \rangle ∣ + ⟩ ∣ + ⟩ 1 / 2 1/\sqrt2 1/ 2 299 , 802–803 (1982)）、Dieks（Phys. Lett. A 92 , 271–272 (1982)）が独立に示した。Herbert の提案は Herbert (1982), Found. Phys. 12 , 1171 にある。
2つ目は状態に非線形に依存する時間発展 である。純粋状態 ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ ∣ ψ ⟩ ↦ ∣ f ( ψ ) ⟩ | \psi \rangle \mapsto| f(\psi) \rangle ∣ ψ ⟩ ↦ ∣ f ( ψ )⟩ ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ↦ ∣ f ( ψ ) ⟩ ⟨ f ( ψ ) ∣ | \psi \rangle \langle \psi |\mapsto| f(\psi) \rangle \langle f(\psi) | ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ↦ ∣ f ( ψ )⟩ ⟨ f ( ψ ) ∣ ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ | \psi \rangle \langle \psi | ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ∑ i p i ∣ f ( ψ i ) ⟩ ⟨ f ( ψ i ) ∣ \sum_ip_i| f(\psi_i) \rangle \langle f(\psi_i) | ∑ i p i ∣ f ( ψ i )⟩ ⟨ f ( ψ i ) ∣ ρ ^ \hat\rho ρ ^ 4.3.4 (3) に、Bloch ベクトルを自分の x x x 143 , 1 (1990)）は、Weinberg が提案した非線形な量子力学がこの仕組みで光より速い通信を許すことを示した。同じ ρ ^ \hat\rho ρ ^ ρ ^ \hat\rho ρ ^ 。
例題 4.3.4 複製と非線形な規則があればアンサンブルが見分けられる ★★
オリジナル ρ ^ = 1 2 1 \hat\rho=\tfrac12\mathbf 1 ρ ^ = 2 1 1 { 1 2 , ∣ ↑ ⟩ ; 1 2 , ∣ ↓ ⟩ } \{\tfrac12,| \uparrow \rangle ;\tfrac12,| \downarrow \rangle \} { 2 1 , ∣ ↑ ⟩ ; 2 1 , ∣ ↓ ⟩} { 1 2 , ∣ + ⟩ ; 1 2 , ∣ − ⟩ } \{\tfrac12,| + \rangle ;\tfrac12,| - \rangle \} { 2 1 , ∣ + ⟩ ; 2 1 , ∣ − ⟩}
(1) 仮に完全な複製ができたとする。複製後の2量子ビットの状態 ρ ^ Z ( 2 ) \hat\rho_{\mathrm Z}^{(2)} ρ ^ Z ( 2 ) ρ ^ X ( 2 ) \hat\rho_{\mathrm X}^{(2)} ρ ^ X ( 2 ) ⟨ σ z ⊗ σ z ⟩ \langle \sigma_z\otimes\sigma_z \rangle ⟨ σ z ⊗ σ z ⟩ (2) σ z ⊗ σ z \sigma_z\otimes\sigma_z σ z ⊗ σ z + 1 +1 + 1 − 1 -1 − 1 ρ ^ Z ( 2 ) − ρ ^ X ( 2 ) \hat\rho_{\mathrm Z}^{(2)}-\hat\rho_{\mathrm X}^{(2)} ρ ^ Z ( 2 ) − ρ ^ X ( 2 ) T = 1 2 ∥ ρ ^ Z ( 2 ) − ρ ^ X ( 2 ) ∥ 1 T=\tfrac12\lVert \hat\rho_{\mathrm Z}^{(2)}-\hat\rho_{\mathrm X}^{(2)}\rVert _1 T = 2 1 ∥ ρ ^ Z ( 2 ) − ρ ^ X ( 2 ) ∥ 1 1 2 ( 1 + T ) \tfrac12(1+T) 2 1 ( 1 + T ) (3) 純粋状態の Bloch ベクトル n \bm{n} n y y y a n x a\,n_x a n x a a a
解答 (1) ρ ^ Z ( 2 ) = 1 2 ( ∣ ↑ ↑ ⟩ ⟨ ↑ ↑ ∣ + ∣ ↓ ↓ ⟩ ⟨ ↓ ↓ ∣ ) \hat\rho_{\mathrm Z}^{(2)}=\tfrac12(| \uparrow\uparrow \rangle \langle \uparrow\uparrow |+| \downarrow\downarrow \rangle \langle \downarrow\downarrow |) ρ ^ Z ( 2 ) = 2 1 ( ∣ ↑↑ ⟩ ⟨ ↑↑ ∣ + ∣ ↓↓ ⟩ ⟨ ↓↓ ∣ ) ρ ^ X ( 2 ) = 1 2 ( ∣ + + ⟩ ⟨ + + ∣ + ∣ − − ⟩ ⟨ − − ∣ ) \hat\rho_{\mathrm X}^{(2)}=\tfrac12(| ++ \rangle \langle ++ |+| -- \rangle \langle -- |) ρ ^ X ( 2 ) = 2 1 ( ∣ + + ⟩ ⟨ + + ∣ + ∣ − − ⟩ ⟨ − − ∣ ) σ z ⊗ σ z \sigma_z\otimes\sigma_z σ z ⊗ σ z ∣ ↑ ↑ ⟩ | \uparrow\uparrow \rangle ∣ ↑↑ ⟩ ∣ ↓ ↓ ⟩ | \downarrow\downarrow \rangle ∣ ↓↓ ⟩ + 1 +1 + 1 ⟨ σ z ⊗ σ z ⟩ = 1 \langle \sigma_z\otimes\sigma_z \rangle =1 ⟨ σ z ⊗ σ z ⟩ = 1 ⟨ + ∣ σ z ∣ + ⟩ = 0 \langle + | \sigma_z | + \rangle =0 ⟨ + ∣ σ z ∣ + ⟩ = 0 ⟨ + + ∣ σ z ⊗ σ z ∣ + + ⟩ = 0 \langle ++ | \sigma_z\otimes\sigma_z | ++ \rangle =0 ⟨ + + ∣ σ z ⊗ σ z ∣ + + ⟩ = 0 ∣ − − ⟩ | -- \rangle ∣ − − ⟩ ⟨ σ z ⊗ σ z ⟩ = 0 \langle \sigma_z\otimes\sigma_z \rangle =0 ⟨ σ z ⊗ σ z ⟩ = 0 1 2 1 \tfrac12\mathbf 1 2 1 1
(2) Z では必ず + 1 +1 + 1 σ z ⊗ σ z = + 1 \sigma_z\otimes\sigma_z=+1 σ z ⊗ σ z = + 1 1 2 ( 1 + ⟨ σ z ⊗ σ z ⟩ ) = 1 2 \tfrac12(1+\langle \sigma_z\otimes\sigma_z \rangle )=\tfrac12 2 1 ( 1 + ⟨ σ z ⊗ σ z ⟩) = 2 1 1 2 ⋅ 1 + 1 2 ⋅ 1 2 = 3 4 \tfrac12\cdot1+\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac34 2 1 ⋅ 1 + 2 1 ⋅ 2 1 = 4 3 ρ ^ Z ( 2 ) − ρ ^ X ( 2 ) \hat\rho_{\mathrm Z}^{(2)}-\hat\rho_{\mathrm X}^{(2)} ρ ^ Z ( 2 ) − ρ ^ X ( 2 ) T = 1 2 T=\tfrac12 T = 2 1 1 2 , − 1 2 , 0 , 0 \tfrac12,-\tfrac12,0,0 2 1 , − 2 1 , 0 , 0 1 2 \tfrac12 2 1 1 2 ( 1 + 1 2 ) = 3 4 \tfrac12(1+\tfrac12)=\tfrac34 2 1 ( 1 + 2 1 ) = 4 3 相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部第8章 ）、偶奇の測定が最善になっている。複製が無ければ当てる確率は 1 2 \tfrac12 2 1
(3) y y y α \alpha α ( n x , n z ) ↦ ( n x cos α + n z sin α , n z cos α − n x sin α ) (n_x,n_z)\mapsto(n_x\cos\alpha+n_z\sin\alpha,\ n_z\cos\alpha-n_x\sin\alpha) ( n x , n z ) ↦ ( n x cos α + n z sin α , n z cos α − n x sin α ) ( 0 , 0 , ± 1 ) (0,0,\pm1) ( 0 , 0 , ± 1 ) n x = 0 n_x=0 n x = 0 0 \bm{0} 0 ( ± 1 , 0 , 0 ) (\pm1,0,0) ( ± 1 , 0 , 0 ) ± a \pm a ± a ( cos a , 0 , − sin a ) (\cos a,0,-\sin a) ( cos a , 0 , − sin a ) ( − cos a , 0 , − sin a ) (-\cos a,0,-\sin a) ( − cos a , 0 , − sin a ) ( 0 , 0 , − sin a ) (0,0,-\sin a) ( 0 , 0 , − sin a ) ρ ^ = 1 2 1 \hat\rho=\tfrac12\mathbf 1 ρ ^ = 2 1 1 ⟨ σ z ⟩ \langle \sigma_z \rangle ⟨ σ z ⟩ 0 0 0 − sin a -\sin a − sin a ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ | \psi \rangle \langle \psi | ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
